江苏省苏州市艺术高级中学2018-2019学年高二数学文模拟试卷含解析

江苏省苏州市艺术高级中学2018-2019学年高二数学文
模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．
【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，
以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令四棱锥的棱长为2，
则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），
E（），
∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），
∴设AE，SD所成的角为θ，
cosθ=|cos＜＞|==，
sinθ==．
∴AE，SD所成的角的正弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．
2. 已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 5位同学报名参加两个小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共( ）种
A．10种 B．20种 C．25种
D．32种
参考答案：
D
略
4. 设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．4πB．6πC．8πD．10π
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】作出三棱锥的直观图，根据三视图数据计算外接球半径，从而得出面积．【解答】解：根据三视图作出棱锥的直观图如图所示，
由三视图可知底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2，PA⊥平面ABC，PA=2．
∴PC==2，
取AC的中点D，PC的中点O，连结OD，BD，OB，则OD∥PA，OD=PA=1，BD=AC=1，
∴OD⊥平面ABC，∴OA=OC=OP=PC=，OB=．
∴OA=OB=OC=OP=，
即三棱锥的外接球球心为O，半径为．
∴外接球的面积S=4π×（）2=8π．
故选C．
5. 在极坐标系中，点（1，0）与点（2，π）的距离为（）
A．1 B．3 C． D．
参考答案：
B
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】点（1，0）与点（2，π）分别化为直角坐标：P（1，0），Q（﹣2，0），即可求出点（1，0）与点（2，π）的距离
【解答】解：点（1，0）与点（2，π）分别化为直角坐标：P（1，0），Q（﹣2，0）．∴点（1，0）与点（2，π）的距离为3．
故选B．
6. 复数等于
A.i－1
B.1－i
C.1+i
D.－1－i
参考答案：
7. 执行图的程序框图后，输出的结果为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：执行程序框图，有
a=0，S=0，i=1，
a=1，S=1，不满足条件i≥4，
有i=2，a=3，S=，不满足条件i≥4，
有i=3，a=6，S=，不满足条件i≥4，
有i=4，a=10，S=，满足条件i≥4，输出S的值为．
故选：A．
8. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）
A．30种 B．12种 C． 6种 D．36种
参考答案：
A
略
9. 是 ( )
A.最小正周期为的偶函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的奇函数
参考答案：
D
10. 如图是一个几何体的三视图，
则该几何体的体积为：
A．B．
C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
参考答案：
(±4,0)x±y＝0
12. 在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，，若平面ABC的一个法向量为，则点P到平面ABC的距离为______.
参考答案：
【分析】
根据题意表示，由平面的一个法向量为，可得的值，利用点到面的距离公式即可求出点到平面的距离。

详解】∵，，∴，∵，
∴到平面的距离为.
【点睛】本题考查利用空间向量法求点到面距离的问题，考查学生空间想象能力以及计算
能力，属于基础题。

13. 如图所示，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，，且
,，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为
__________.
参考答案：
【分析】
由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值。

【详解】连接，则，
即为异面直线与所成的角，
又，，，
平面，
，
即，
为直角三角形，
.
【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。

14. 用数学归纳法证明时，从推到
时，不等式左端应添加的代数式为
参考答案：
15. （x﹣3）dx= ．
参考答案：
﹣4
【考点】定积分．
【分析】欲求函数x﹣3的定积分值，故先利用导数求出x﹣3的原函数，再结合定积分定理进行求解即可．
【解答】解：（x﹣3）dx=（x2﹣3x）=﹣4．
故答案为：﹣4．
16. 双曲线的焦点到渐近线的距离为．
参考答案：
1
略
17. 在△ABC中，BC=2，，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的同侧），当变化时，线段CD的最小值为________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；
(3)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.
参考答案：
(3)∵(a＋k c)∥(2b－a)，
又a＋k c＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－ (14)
19. （本小题满分15分）
甲厂以千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得
利润是元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
参考答案：
（1）根据题意，解得………………… 6分
（2）设利润为元，则
…… 11分
故时，
元．……………………… 13分
答：（1）的取值范围为；
（2）甲厂以6千克/小时的速度运输生产某种产品可获得最大利润为457500元． 14分20. 已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点，一条边所在的直线方程是
x+3y﹣5=0，求其他三边所在直线的方程．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】计算题；待定系数法；直线与圆．
【分析】根据两条直线相交求出正方形的中心C的坐标，根据正方形的一条边所在的方程设出其它三边的直线方程，再由C到正方形四条边的距离相等列出方程，求出直线方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
解得，
所以正方形中心C的坐标为（﹣1，0）．
点C到直线x+3y﹣5=0的距离d==．
设与x+3y﹣5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0（m≠﹣5），
则点C到直线x+3y+m=0的距离
d==，
解得m=﹣5（舍去）或m=7，
所以与x+3y﹣5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0．
设与x+3y﹣5=0垂直的边所在直线的方程是3x﹣y+n=0，
则点C到直线3x﹣y+n=0的距离d==，
解得n=﹣3或n=9，
所以与x+3y﹣5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x﹣y﹣3=0和3x﹣y+9=0．
【点评】本题考查了两条直线平行与垂直故选的应用问题，也考查了点到直线的距离的应用问题，是综合性题目．
21. 已知命题命题若命题
是真命题，求实数的取值范围.
参考答案：
略
22. 已知函数，函数．
（1）若函数在(－∞,2]和[2,+∞)上单调性相反，求的解析式；
（2）若，不等式在上恒成立，求a的取值范围；
（3）已知，若函数在[1,2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围。

参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
1若函数在和上单调性相反，得到是对称轴，进行求解即可求的分析式；
2利用参数分离法将不等式在上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；
3根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．
【详解】1由单调性知，函数为二次函数，
其对称轴，解得，
所求
2依题意得，
即在上恒成立，
转化为在上恒成立，
在上恒成立，
转化为在上恒成立，
令，则转化为在上恒成立
即，所以
3，
设，，，
则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点．
当时，在内为减函数，，为增函数，且，，函数在区间有唯一的交点；
当时，图象开口向下，对称轴为，
在内为减函数，，为增函数，
且，
.
当时，图象开口向上，对称轴为，
在内为减函数，，为增函数，
则由，
.
综上，所求a的取值范围为
【点睛】本题主要考查一元二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。