高考复习数学(浙江)第3章 第1节 课时分层训练15
高中生物第3章体液调节第1节激素与内分泌系统课时分层作业含解析选择性1
激素与内分泌系统（建议用时：40分钟)题组一激素的发现和激素的研究实例1．(多选）沃泰默没有发现促胰液素,斯他林和贝利斯发现了促胰液素，下列关于这些科学家的实验和对实验现象的解释的叙述中,正确的是（）A．他们设计实验时都遵循了单一变量原则和对照原则B．沃泰默设置的实验变量是有无神经C．斯他林和贝利斯的实验变量是有无小肠黏膜物质D．沃泰默失败的根本原因是没有把小肠上的神经完全剔除干净ABC［沃泰默失败的根本原因是没有大胆质疑,固执的认为这是个神经调节,D错误。
］2．下面是科学家为揭开糖尿病的发病原因，以狗为实验动物进行研究的结果，对该实验结果的分析,不正确的是()实验组实验操作实验结果A切除胰腺出现糖A．由A、C实验可知：胰岛提取液可防止糖尿的出现B．由A、B实验可知：胰腺由内分泌部和外分泌部组成C．由B、C实验可知：胰岛提取液是由胰岛细胞分泌的D．该研究证明:糖尿病的发病可能与胰岛细胞的分泌物有关B［A和C实验是一组对照实验，变量为是否注射了胰岛提取液，注射的狗不出现糖尿，不注射的狗出现糖尿,说明胰岛提取液可防止糖尿的出现，故A正确，A和B实验也能形成对照，变量是有无胰岛素，A组切除了胰腺，胰岛随着被切除，不能分泌胰岛素,出现了糖尿，B组结扎了胰管，胰腺萎缩,不能产生胰液，但胰岛细胞活着，能够分泌胰岛素,没有出现糖尿,说明胰岛素可以防止糖尿的产生，故B不正确；综合分析BC实验、胰岛提取液中含胰岛素，由胰岛分泌，故C也正确;B和C实验中动物的体内都有胰岛素，动物都不出现糖尿,而A切除了胰腺即没有胰岛素，出现了糖尿，说明了糖尿病的发病可能与胰岛细胞的分泌物有关，故D正确.]3．科研人员分别给三只大白鼠注射了①②③三种激素后，观察到的相应反应是：①可引起低血糖，甚至昏迷；②促进蛋白质的合成，并使软骨生长明显；③使呼吸、心率加快，并使体内产热量增加。
据此判断激素①②③的化学名称依次是()A．甲状腺激素、胰岛素、生长激素B．胰高血糖素、生长激素、甲状腺激素C．胰岛素、生长激素、甲状腺激素D．生长激素、胰岛素、甲状腺激素C[①为胰岛素，注射后能降低血糖,引起低血糖，严重时出现昏迷；②为生长激素，注射后能促进生长，主要是促进蛋白质的合成和软骨的生长；③为甲状腺激素，能促进新陈代谢和生长发育，注射后会引起代谢加强，产热量增加.］4．（多选）现有体重相似、发育正常且处于相同阶段的甲、乙、丙、丁四只雄性小狗，对丁狗不做处理，甲、乙、丙狗分别做不同的处理。
2019-2020学年人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第三章 3.1 3.1.2 Word
姓名，年级：时间：第三章3。
1 3.1.2 用二分法求方程的近似解课时分层训练‖层级一‖｜学业水平达标|1．下列函数中不能用二分法求零点的是（)A．f(x）＝2x＋3 B．f(x）＝ln x＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f（x）＝2x－1解析：选C f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1）2≥0，零点是1,它的左、右两侧函数值同号．2．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时,不可能求出的零点是( ）A．x1B．x2C．x3D．x4解析:选C 观察图象知，x3附近两边的函数值都是负值，因此不能用二分法求．3．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0。
1)是（)f(1)＝－1f（2)＝3f(1。
5）＝－0。
125f(1。
75)＝1。
109375f（1。
625)＝0.416 01562f(1。
562 5）＝0。
127 19726A。
1.75C．1。
612 5 D．1。
56解析：选D ∵f（1。
5）·f(1。
562 5)<0，且｜1。
562 5－1.5｜＝0。
062 5<0。
1，∴函数f(x)在(1，2）上零点可以是（1。
5，1。
562 5)上的任何一个值,故选D.4．设函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是( ) A．(0,1）B．(1,2)C．(2，3) D．(3，4)解析:选B 令f(x)＝x2－错误!x－2,则f（0）＝－4<0，f(1）＝－1<0,f(2）＝3>0，∴f（x）的零点在区间(1,2）内，即函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点的横坐标x0∈（1，2)．5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2）内近似解的过程中得f（1)<0，f（1.5)〉0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ）A．(1,1。
高考复习数学(浙江)第3章 第4节 课时分层训练18
课时分层训练(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．] 2．(2017·浙江测试卷)为得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝2cos 2x 的图象( ) 【导学号：51062111】A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位D [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π8个单位，可得函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.【导学号：51062112】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.6分 (2)图象如图所示．15分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间. 【导学号：51062113】 [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.7分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122， 求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分 ∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.7分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，10分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.12分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.15分。
浙江省宁波市九校(余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题
浙江省宁波市九校（余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12） D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-5．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．16．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3πD ．2π 7．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．D ． 8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18- B ．63-C ．18 D ．6310．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则AB =( ) A ．{}32x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<11．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立12．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练
——教学资料参考参考范本——浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练______年______月______日____________________部门A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D ．RC [由cos x －≥0，得cos x≥，∴2k π－≤x≤2k π＋，k∈Z.] 2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f ＝( ) A ．1 B. C ．－1D ．－12A [由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ，所以f ＝sin ＝sin ＝1.]3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝sin ，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝sin ，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( ) 【导学号：51062105】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知＋＝k π＋(k∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(20xx·台州二次适应性测试)若函数f(x)＝sin －cos ωx(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝sin 的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T ＝＝2×＝π，ω＝2，f(x)＝sin.当2k π－≤2x－≤2k π＋，即k π－≤x≤k π＋，k∈Z 时，f(x)＝sin单调递增．因此结合各选项知f(x)＝sin 的一个单调递增区间为，故选A.]二、填空题6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k∈Z) [由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2k π＋≤2x≤2k π＋得k π＋≤x≤k π＋(k∈Z)．]7．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ＝f ，则f 的值为________. 【导学号：51062106】2或－2 [∵f＝f ，∴x ＝是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ＝±2.]8．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是________．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k∈Z [由2x ＋＝k π(k∈Z)得，x ＝－(k∈Z)， ∴函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是，k ∈Z.] 三、解答题9．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T ＝＝.4分 依题意，得＝π，解得ω＝1.7分(2)由(1)知f(x)＝sin.函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z).10分由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).14分10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，3分所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.7分(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.10分当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；12分当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·台州二次质量预测)将函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在上单调递减，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点对称B [由题意得函数g(x)＝－cos＝－sin 2x，易知其为奇函数，由－＋2kπ＜2x＜＋2kπ，k∈Z得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x的单调递减区间为，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x在上单调递减，故选B.]2．设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062108】[2，＋∞)[∵f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin∈[－2,2]．又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥|f(x)|max，∴a≥2.]3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．[解] ∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).2分(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)，将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对∀x∈R都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜，∴φ＝.7分(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.10分又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π，∴＋φ＝，φ＝，∴f(x)＝sin.13分令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.15分。
高中生物 第3章 基因的本质 第1节 DNA是主要的遗传物质课时分层作业(含解析)新人教版必修2-新
第1节 DNA是主要的遗传物质(建议用时：40分钟)题组一肺炎链球菌的转化实验1．如图表示肺炎链球菌的转化实验，下列有关说法正确的是( )A．该实验模拟的是艾弗里实验B．从d中死亡小鼠中提取的S型细菌可能是R型细菌自身变化而来C．从d中死亡小鼠中提取的S型细菌可能是死亡的S型细菌“死而复生”D．该实验证明加热致死的S型细菌中含有某种转化因子，使R型细菌转化为S型细菌D[该实验模拟的是格里菲思实验，A项错误；b实验否定了从死亡小鼠中提取的S型细菌是R型细菌自身变化而来的可能，B项错误；c实验否定了从死亡小鼠中提取的S型细菌是死亡S型细菌“死而复生”的可能，C项错误；该实验证明加热致死的S型细菌中含有某种转化因子，使R型细菌转化为S型细菌，D项正确。
]2．在肺炎链球菌的转化实验中，在培养有R型细菌的1、2、3、4四支试管中，依次加入从S型活细菌中提取的DNA、DNA和DNA酶、蛋白质、多糖，经过培养，结果发现试管内仍然有R型细菌的是( )A．3和4 B．1、3和4C．2、3和4D．1、2、3和4D[2、3、4三支试管内只有R型细菌，因为没有S型细菌的DNA，所以三支试管中的R 型细菌都不会发生转化。
1号试管因为有S型细菌的DNA，所以会使部分R型细菌发生转化，故试管内仍然有R型细菌存在。
]3．(不定项)下列关于肺炎链球菌体内和体外转化实验的说法，正确的是( )A．二者所用的材料相同，都是R型和S型两种肺炎链球菌B．两实验都遵循对照原则、单一变量原则C．二者均把DNA和蛋白质分开，单独处理并观察它们各自的作用D．体外转化实验是在体内转化实验的基础上进行的ABD[二者所用的材料相同，都是R型和S型两种肺炎链球菌，A正确；两实验都遵循对照原则、单一变量原则，B正确；肺炎链球菌体内转化实验没有把DNA和蛋白质分开，C错误；体外转化实验是在体内转化实验的基础上进行的，D正确。
]4．如图为肺炎链球菌转化实验的部分图解，请据图回答：(1)该实验是______________所做的肺炎链球菌转化实验的部分图解。
高考数学课时分层练3.docx
课时分层练(三) 函数的图象与性质(建议用时：45分钟)【A组强化练·保一本】一、选择题1．(2015·湖北高考)函数f(x)＝4－|x|＋lg x2－5x＋6x－3的定义域为( )A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]2．(2015·天津模拟)设a＝0.812，b＝0.714，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a>b>c3．(2015·贵州八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f(－8)值为( )A．3 B.13C．－13D．－34．(2015·济南模拟)函数y＝xe cos x(－π≤x≤π)的大致图象为( )A． B.C． D.5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－147．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．48．(2015·济南模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )二、填空题9．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是________．11．(2015·潍坊模拟)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )，现有以下三种叙述：①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________．12．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．【B 组 押题练·冲名校】1．已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图132所示，那么g (x )＝( )图13 2A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝3，则实数a 的值为________．【详解答案】【A组强化练·保一本】1．C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.C 9．3 10.[－2，2] 11.①②③12.①④【B组押题练·冲名校】1．D 2.±1。
高考复习数学(浙江)第3章 第5节 课时分层训练19
课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32 B.22 C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B.92C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35 B.45 C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.]7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________.【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8＝2(1＋cos 8)＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2(sin 4－cos 4)2＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.6分(2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72C [∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________．13 79 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.]3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第三章 3.1 3.1.1
第三章3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3，＋∞)解析：选C 若f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0则f (x )在(a ，b )上一定存在零点．因为f (2)>0，f (3)<0，所以f (x )在(2,3)上一定存在零点．2．函数f (x )＝ax ＋8的零点为4，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选B 由题意得4a ＋8＝0，即a ＝－2. 3．函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x ＞0.则函数f (x )的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由⎩⎨⎧2x －1＝0，x ≤0，得x ＝0，由⎩⎨⎧x 2－3x ＋1＝0，x ＞0，得x ＝3±52， ∴函数f (x )的零点的个数为3.5．函数f (x )＝2x ·|log 0.5x |－1的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由2x ·|log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，由图可知两个函数的图象有两个交点，∴f (x )有2个零点．6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎨⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－6， 所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13. 答案：－12，－137．已知函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________.解析：由题意知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数． 且f (9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0， f (10)＝lg 10＋10－10＝1>0， 即f (9)f (10)<0，所以函数f (x )在(9,10)内存在唯一的零点，因为函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，所以k ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在[－2,0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23.所以，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－239．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋b ； (2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3； (3)f (x )＝log 3(x ＋2)； (4)f (x )＝2x －2.解：(1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是x ＝－b2. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3.(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1. (4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1.10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)由题意得⎩⎨⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.(2)由题意得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)由题意知⎩⎨⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.‖层级二‖|应试能力达标|1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．无法确定解析：选B 因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B.2．若x 0是方程e x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 构造函数f (x )＝e x ＋x －2，由f (0)＝－1，f (1)＝e －1>0，显然函数f (x )是单调函数，有且只有一个零点，则函数f (x )的零点在区间(0,1)上，所以e x ＋x ＝2的解在区间(0,1)上．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾，故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：选C由题意可得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0,3)，故选C.5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.答案：306．已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：分a>1与0<a<1两种情况，画出函数y＝a x与函数y＝x＋a的图象，如图所示．由图知，当a>1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示．观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c.答案：a<b<c8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若g(x)＝m有零点，则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)和f(x)的图象，如图．因为f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，所以m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.由Ruize收集整理。
2018高考一轮数学浙江专版练习第3章 第1节 课时分层训
课时分层训练(十五)任意角、弧度制及任意角的三角函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.]3．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意可得⎩⎨⎧ cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎨⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.]4．(2017·宁波镇海中学)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3C [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π.]5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45B [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]二、填空题6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.【导学号：51062095】π3[设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.]7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.－8 [因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.]8．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________.【导学号：51062096】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.]三、解答题9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.4分∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.8分 ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.14分10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.[解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ，2分 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.4分当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；9分当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·杭州二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )A.35B.45 C ．－35D ．－45D [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D.]2．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________. 【导学号：51062097】⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12，∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .] 3．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z.4分(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限.8分 (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；10分 当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号.14分。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式教
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一 二三四五六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －απ－απ2－απ2＋α 正弦 sin α－sinα－sinαsin α cosαcos_α余弦 cos α－cosαcos α －cos_α sinα －sin α正切 tan αtan α－tanα－tan_α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·某某质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.] [规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：51062099】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·某某质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·某某模拟训练卷(三))已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，则sin α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________.－2319 [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，得sin α＝－23；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防X]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(十六)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－24B.24C ．－22D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3.cos 350°－2sin 160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2017·某某镇海中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.] 5．(2017·某某某某五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2tan 2θ＋13tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32＋1]3×－32－1＝1013.故选C.]二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.14分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 2．(2016·某某高考冲刺卷(二))若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θ＝1.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，则sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，则有sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.word 11 / 11 ∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.]3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α. (1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：51062102】 [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·si n α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。
高考复习数学(江苏版)第3章 第15课 课时分层训练15
课时分层训练(十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．下列命题中正确的是________．(填序号)①y＝x＋1x的最小值是2；②y＝2－3x－4x(x＞0)的最大值是2－43；③y＝sin2x＋4sin2x的最小值是4；④y＝2－3x－4x(x＜0)的最小值是2－4 3.②[①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.②正确，因为y＝2－3x－4x＝2－⎝⎛⎭⎪⎫3x＋4x≤2－23x·4x＝2－4 3.当且仅当3x＝4x，即x＝233时等号成立．③不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋4t，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，∴y＝2－3x－4x＝2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3x)＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≥2＋4 3.当且仅当－3x＝－4x，即x＝－233时等号成立．]2．关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋a x1x2的最小值是________．433[依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a 2，∴x1＋x2＋ax1x2＝4a＋a3a2＝4a＋13a≥24a ·13a ＝433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值为43 3.] 3．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为________. 【导学号：62172086】16 [因为a ＞0，b ＞0，所以由m3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3ab ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.]4．(2017·盐城模拟)若x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是________．32＋2 [由2x ＋y ＝2得x ＋y 2＝1. ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＝1＋12＋y 2x ＋x y＝32＋y 2x ＋x y ≥32＋2y 2x ·x y ＝32＋ 2.] 5．要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．160元 [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160.当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号．] 6．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，若1x ＋m y (m ＞0)的最小值为3，则m 的值为________．4 [由2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y得x ＋y ＝3，则 1x ＋m y ＝13(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋m y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m ＋y x ＋mx y ≥13(1＋m ＋2m )，∴13(1＋m ＋2m )＝3，即(m ＋1)2＝9，解得m ＝4.]7．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 22 [由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.]8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________.【导学号：62172087】3 [由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] 9．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值为________．22 [由题意可得：点A 的坐标为(2,1)，所以2m ＋n ＝1，所以4m ＋2n ＝22m ＋2n ≥222m ·2n ＝222m ＋n ＝2 2.]10．(2017·苏州期末)已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________. 【导学号：62172088】4＋423[∵ab ＝14，∴b ＝14a .∴11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1＝11－a＋24a －1＋2＝44－4a＋24a －1＋2＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤24－4a ＋14a －1[](4－4a )＋(4a －1)＋2 ＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋2＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a ＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423. 当且仅当a ＝1＋224＋22时，取“＝”．]二、解答题11．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·扬州期末)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．3 [由2log a b ＋3log b a ＝7得log a b ＝12或log a b ＝3(舍去)， ∴a ＝b 2，∴a ＋1b 2－1＝b 2＋1b 2－1＝(b 2－1)＋1b 2－1＋1≥2(b 2－1)·1b 2－1＋1＝3.当且仅当b 2－1＝1b 2－1，即b ＝2，a ＝2时等号成立．]2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．2 [因为x y ＝x 2－y 2xy ，所以(2yx ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0.故x y ＋(2yx＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值． [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解] (1)当0<x ≤40，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x >40，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎨⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104； ②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥240 000x ×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当产量为32万只时，W 取最大值为6 104美元．。
2023届高考数学一轮复习收官卷03(浙江专用)(原卷版)
2023届高考数学（浙江专用）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}()}22280,{ln 3P x x x Q x y x x =∈--<==-Z ∣∣,则P Q =( )A.{}0,3B.{}1,2C.()0,3D.()1,22、复数52iz =-的虚部是( ). A.iB.53C.5i 3D.13、给出三个数123a =，312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2c =，则它们的大小顺序为( )A.b c a <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a <<4、设a 为实数，函数32()(2)f x x ax a x =++-的导函数是)'(f x ，且)'(f x 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为( ) A.2y x =-B.3y x =C.3y x =-D.4y x =-5、已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( ) 23 C.256．（2022·浙江·高二阶段练习）甲盒中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有3个红球，2个白球和2个黑球（球除颜色不同外，大小质地均相同）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以事件12,A A 和3A 表示从甲盒中取出的球是红球、白球和黑球；再从乙盒中随机取出一球，以事件B 表示从乙盒中取出的球是红球．下列结论正确的个数是（ ） ①事件1A 与2A 相互独立；②123,,A A A 是两两互斥事件； ③()()23P B A P B A =；④31()72=P B ． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）直三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在同一球面上，若1323AB AC AA BAC π∠====，，，则此球的表面积为（ ）A ．409πB ．403πC ．323πD ．32π8．（2022·浙江·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·浙江温州·高二期末）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组），则下列结论正确的是（ ）A ．直方图中0.005a =B ．此次比赛得分及格的共有55人C ．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75D ．这100名参赛者得分的第80百分位数为7510．（2022·浙江杭州·高二开学考试）已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 的倾斜角一定大于30D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等11．（2022·浙江杭州·高一期末）已知实数12,x x 为函数21()()log (2)3x f x x =--的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A ．12(3)(3)0x x --< B ．120(2)(2)1x x <--< C ．12(2)(2)1x x --=D ．12(2)(2)1x x -->12．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是直角三角形，且1AC BC ==，13AA =，E 为1B C 的中点，点F 是棱11A C 上的动点，点P 是线段1A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．异面直线AB 与1BC 所成角的余弦值是24B ．三棱柱111ABC A B C 的外接球的球面积是20π C ．当点P 是线段1A B 的中点时，三棱锥1P B CF -的体积是312D ．PE PF +的最小值是75三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在()52x y +的展开式中，含32x y 项的系数为__________.14．（2022·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）已知函数2()(1)(0)f x ax b x c a =+-+≠的图象关于y 轴对称，且关于x 的方程()f x x =有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数()f x =______.15．（2022·浙江温州·高二期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“如图，点M ，N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得∠MPN 最大”.如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （1，2），N （3，4），点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P的横坐标为_________.16．（2022·浙江衢州·高三阶段练习）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当n＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．(2022·深圳模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＋a ＝b(3sin C＋cos C)．(1)求B；(2)若a＝2，求c的取值范围．n24688513(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为S n，求S n.19．（2022·浙江杭州·高二期中）(2022·新余模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，已知P A＝PB＝PC＝AB＝AC，E是P A的中点．(1)求证：平面P AB ⊥平面BCE ；(2)若BC ＝62AB ，求平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值．20．（2022·浙江浙江·高三期中）自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份 数学 物理 化学 总计 2018 4 7 6 17 2019 5 8 5 18 2020 6 9 5 20 2021 8 7 6 21 202298623请根据表格回答下列问题：(1)统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x 为年份与2017的差，y 为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程，并以此预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；(2)在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X ；(3)经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆy bxa =+为回归方程，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．21．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知抛物线22(0)y px p =>上一点()4,t 到其焦点的距离为5.(1)求p 与t 的值；(2)过点()21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由.22．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()()e sin ,ln 1sin xf x a xg x x a x =-=+-.(1)若()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()cos f x x ≥在(1,)-+∞上恒成立，判断函数()g x 在()1,1-上的零点个数，并说明理由.。
高考复习数学(浙江)第2章 第3节 课时分层训练5
课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lgx 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 A [由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x 1－x为奇函数，故选A.] 3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2 D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝() 【导学号：51062027】A．－2 B．2C．－98 D．98A[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：51062028】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·浙江五校二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________.－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·杭州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1，求f(x)的表达式. 【导学号：51062029】[解]在f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1(－x)2－(－x)＋1，4分又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝1x2＋x＋1，8分联立方程⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，12分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.15分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．[解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，10分 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －2，x <2，x 2，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062030】254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254. 因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.7分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，12分 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].15分。
高考复习数学(浙江)第4章 第1节 课时分层训练22
课时分层训练(二十二) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.]2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )【导学号：51062136】A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b|b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →) ＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________.【导学号：51062137】平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2[在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]8．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN ＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.] 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 【导学号：51062138】图4-1-1[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .4分AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b .14分10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →， ∴AC →与CD →共线.4分又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.7分 (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.9分 ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，12分 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为 ( )A.13B.12 C ．1D ．2A [∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A.]2．(2017·浙江嘉兴高三双基测试)如图4-1-2，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________. 【导学号：51062139】图4-1-223 [因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，3分整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .7分因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，13分解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上.15分。
(浙江专用)高考数学大一轮复习课件：第三章导数及其应用核心素养提升(三)
设 h(x)＝ex－1x，则 h′(x)＝ex＋x12＞0， 所以函数 h(x)＝g′(x)＝ex－1x在(0，＋∞)上单调递增． 因为 g′12＝e12－2＜0，g′(1)＝e－1＞0， 所以函数 g′(x)＝ex－1x在(0，＋∞)上有唯一零点 x0，且 x0∈ 12，1.
因为 g′(x0)＝0，所以 ex0＝x10，即 ln x0＝－x0.当 x∈(0，x0)时， g′(x)＜0；当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0. 所以当 x＝x0 时，g(x)取得最小值 g(x0)． 故 g(x)≥g(x0)＝ex0－ln x0－2＝x10＋x0－2＞0. 综上可知，当 m≥1 时，f(x)＞1.
图示验证如图． 当 x≠0 时，函数 y＝ex 的图象在直线 y＝1＋x 的上方， 即 x≠0 时，ex＞1＋x. 同理可证(4)ln x＜x＜ex(x＞0)．图示验证如图．
事实上 ex＞x＋1＞x＞x－1＞ln x(x＞0 且 x≠1)．
(1)逆向问题 已知不等式 aex≥b＋x(x∈R)． ①若当 a＝1 时不等式恒成立，求 b 的最大值； ②若当 b＝1 时，原不等式恒成立，求 a 的范围； ③当 n∈N*时，记 n！＝1×2×3×…×n.证明 n2－n≥2ln n!
所以 b≤f(x)min＝1， 即 b 的最大值为 1. ②当 b＝1 时，不等式 aex≥b＋x 即为 a≥1＋ex x. 令 g(x)＝1＋ex x(x∈R)， 所以 g′(x)＝1·ex－（（e1x）＋2x）ex＝－exx，
当 g′(x)＝0 时，x＝0，
当 g′(x)＞0 时，x＜0，
当 g′(x)＜0 时，x＞0. 所以 g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以 g(x)max＝g(x)极大值＝g(0)＝1＋e0 0＝1. 所以 a≥g(x)max＝1， 即 a 的范围为 a≥1. ③证明：由①②可得 ex≥1＋x. 所以 e0≥1，e1≥2，e2≥3，…，en－1≥n. 所以 e0·e1·e2·…·en－1≥1×2×3×…×n.
(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 解三角形的综合应用课件
角∠CAD等于( B )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
解析 依题意可得 AD＝20 10 m，AC＝30 5 m，又 CD＝50 m，
AC2＋AD2－CD2 所 以 在 △ACD 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos∠CAD ＝ 2AC·AD ＝
30 52＋20 102－502 2×30 5×20 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直
线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，
其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，
C两点间的距离是( )
A.10 2 海里
解析答案
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且角 A 满 足 f(A)＝ 3＋1.若 a＝3，BC 边上的中线长为 3，求△ABC 的面积 S.
解析答案
思维升华
跟踪训练3
已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝1,2cos C＋c ＝2b，则△ABC 的周长的取值范围是________.
解析 在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°， 由正弦定理得sin∠BCBAC＝sin∠ABACB，即sinBC30°＝si6n0405°， 所以 BC＝300 2. 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
CD＝BCtan∠CBD＝300 2·tan 30°＝100 6.
A.5 6
B.15 3
C.5 2
D.15 6
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2021高考浙江版数学一轮复习： 第3章 第2节 课时分层训练16
课时分层训练(十六)同角三角函数的根本关系与诱导公式A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．假设cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，那么tan α等于( )A ．－24 B.24 C ．－22 D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232， ∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，那么θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.] 3.cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32 C.32D. 3D [原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2021·宁波镇海中学二诊)sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，那么sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43， ∴1＋2sin θcos θ＝169， ∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4， 故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，应选B.]5．(2021·浙江杭州五校联盟高三一诊)倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，那么23sin 2θ－cos 2θ＝( )A.103 B ．－103 C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[(－3)2＋1]3×(－3)2－1＝1013.应选C.]二、填空题6．假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】13 [cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，那么tan α＝________. －43[由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－35. 因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35， 所以tan α＝－43.]8．α为第二象限角，那么cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________.【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α ＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分 ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12 10．sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求以下各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B.32 C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得 f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π) ＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.]2．(2021·浙江高考冲刺卷(二))假设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，那么sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，那么sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，那么有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.] 3．f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).(1)化简 f (α)；(2)假设α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值. 【导学号：51062102】[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。
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课时分层训练(十五)
任意角、弧度制及任意角的三角函数
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π
3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2
sin 1
D ．2sin 1
C [由题设知，圆弧的半径r ＝1
sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin 1.]
3．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＞0，
cos α＜0，
所以角α的终边在第二象限，
故选B.]
4．(2017·宁波镇海中学)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，
则θ的值为( )
A.5π
6 B.2π3 C.11π6
D.5π3
C [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－12
3
2＝
－33，则θ＝116π.]
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35
D.45
B [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]
二、填空题
6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π
3，则扇形的弧长等于________.
【导学号：51062095】
π
3
[设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧
l r ＝π6，
12lr ＝π
3，
解得⎩⎨⎧
l ＝π
3，
r ＝2.
]
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝________.
－8 [因为sin θ＝
y
42＋y 2
＝－255，
所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.]
8．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________.
【导学号：51062096】
⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，5π4 [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－2
2.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，5π4.]
三、解答题
9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .
[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，
则⎩⎨
⎧
1
2lr ＝1，l ＋2r ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝1，l ＝2.
4分
∴圆心角α＝l
r ＝2.
如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.8分 ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.14分
10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.
[解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1
x ，2分 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.4分
当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；9分
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－2
2， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.
故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.14分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·杭州二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4的值为( )
A.35
B.45 C ．－35
D ．－45
D [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－4
5.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π
2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D.]
2．函数y ＝sin x ＋
1
2－cos x 的定义域是________. 【导学号：51062097】
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [由题意知⎩⎨⎧
sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧
sin x ≥0，cos x ≤1
2，
∴x 的取值范围为π
3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .] 3．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α
2终边所在的象限；
(3)试判断tan α2sin α2cos α
2的符号．
[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪
⎪⎪
2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z
.4分
(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ， 故α
2终边在第二、四象限.8分 (3)当α2在第二象限时，tan α
2＜0， sin α2＞0，cos α
2＜0，
所以tan α2sin α2cos α
2取正号；10分
当α2在第四象限时，tan α
2＜0， sin α2＜0，cos α
2＞0，
所以tan α2sin α2cos α
2也取正号．
α
2sin α
2cos
α
2取正号.14分
因此，tan。