数学寒假教案 九年级-3 反比例函数的综合

《动态数学思维》教案
一、导入（观看完导入后分析）
师：通过前面的两讲知识内容的学习，我们已经初步理解和掌握了反比例函数的图象和性质的应用，以及会运用图象和性质解决简单的相关反比例函数的问题了，但是，我们不能满足于会解简单的问题就行了，我们今天继续学习反比例函数与其他知识的综合型问题.接下来让我们通过课件导入进入今天的学习.
师：下面，在分别请两位同学解释一下导入中求解△OMN面积的方法.
生1：第一种方法是通过特殊图形面积与特殊图形面积之差得到△OMN面积，只需要求解出直线AB的解析式，然后求出A，B坐标即可.
生2：第二种方法是通过图形面积的相互转化以及反比例函数中k的几何意义得到的.第二幅图中，因为四边形NOPM的面积等于S+S3，第三幅图中四边形NOPM的面积等于S4+S5，又因为，在反比例函数中k的几何意义可知S3= S4，所以S= S5，也就是△OMN面积等于直角梯形的面积.
师：这两位同学回答的非常好，看来对前面反比例函数的学习是真的下功夫了，尤其是两位同学总结的“通过特殊图形面积与特殊图形面积之差”或“通过图形面积的相互转化以及反比例函数中k的几何意义”得到的△OMN面积的求解方法，语言精准简练，谢谢这两位同学.
二、教学新授
师：通过对导入的学习，同学们在看下本讲的例2，相信大家都可以独主求解了，下面给大家5分钟的时间，用自己喜欢的方法求解一下.
例2如图所示，已知反比例函数y=
k
x
(k≠0)的图象经过点（
1
2
，8），直线
y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．
答案：
（1）解：点（
1
2
，8）代入y=
k
x
，得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=
4
x
.
点Q（4，m）代入y=
4
x
，得m=
4
4
=1，即Q（4，1）.
点Q（4，1）代入y=-x+b，得b=5，
∴直线的函数表达式为y=-x+5.
（2）解：∵直线y=-x+5与反比例函数y=
4
x
图象交点为P、Q，
∴
4
,
5,
y
x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
解得
1,
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4,
1,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即P(1，4).
分别令直线解析式y=-x+5中x或y为0，得B（0，5）、A（5，0）.
∴S
△POQ
=S
△AOB
-S
△BOP
-S
△AOQ
=
1
2
×5×5-
1
2
×5×1-
1
2
×5×1=
15
2
.
学生独立完成，然后指定基础一般的学生汇报答案讲解.
师：通过例2，我们复习巩固了前面所学的反比例函数解析式的求解方法以及其中k的几何意义.下面，大家在通过例1加深对反比例函数知识的理解. 教师读题
例1如图所示，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，且A（-4，0），B（6，0），D（0，3）．
（1）写出点C的坐标，并求出经过点C的反比例函数解析式和直线BC的解析式；
（2）若点E是BC的中点，请说明经过点C的反比例函数图象也经过点E．
答案：
（1）解：∵等腰梯形ABCD为轴对称图形，且A（-4，0），B（6，0），
∴其对称轴为x=
46
2
-+
=1.
∵D（0，3），
∴点D关于直线x=1对称点C的坐标为（2，3）.
设反比例函数解析式为y=
m
x
，
∵点C（2，3）在该反比例函数图象上，
∴m=xy=2×3=6，即反比例函数解析式y=
6
x
.
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（6，0），C（2，3）在直线BC上，
则
60
23
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
4
9
2
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线BC的解析式为y=-
3
4
x+
9
2
.
（2）解：∵点E是BC的中点，点B（6，0），C（2，3），
∴点E的坐标为（4，
3
2
）.
∵把x=4代入y=
6
x
，得y=
6
4
=
3
2
，
∴反比例函数y=
6
x
的图象经过点E.
师：谁有求解点C坐标的想法了？
生1：过点C向x轴引垂线，由等腰梯形的性质可知Rt△AOD≌Rt△BFC，易得点C的坐标.
师：谁还有别的方法呢？
α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．
答案：
（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵点A（0，23），点B（2，0）在直线AB上，
∴
20,
23,
k b
b
+=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
解得
3,
23,
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
∴直线AB的解析式为y=3
-x+23.
点D（-1，a）在直线y=3
-x+23上，
∴D（-1，33）.
又∵点D（-1，33）在反比例函数y=
m
x
的图象上，
∴m=xy=-1×33=-33，反比例函数解析式为y=
33
x
-
.
（2）解：∵直线AB：y=3
-x+23与反比例函数y=
33
x
-
的图象的交点为C，D.
联立
323,
33
,
y x
y
x
⎧=-+
⎪
⎨-
=
⎪
⎩
解得
1,
33
x
y
=-
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
或
3,
3,
x
y
=
⎧⎪
⎨
=-
⎪⎩
即C（3，3
-）.
∴OC=()2
2
3323
+-=.
∵OA=23，
∴△AOC是等腰三角形，即∠OAB=∠ACO
又∵OB=2，
∴在Rt△AOB中可得∠OAB=30°.
∴∠ACO=30°.
（3）解：∵OC′⊥AB，且∠ACO=30°，
∴∠COC′=α=60°.
又∵∠OAB =30°，∠ABO =60°，∠BO B′=α=60°，
∴B′落在线段AB的中点处.
又∵AB=4，
∴AB′=2.
三、巩固拓展（课堂练习）
1.如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（-3，2），若反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）
A.-6
B.-3
C.3
D.6
2.如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数y=1
k
x
（x＞0）和y=2
k
x
（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（）
A．∠POQ不可能等于90°
B．1
2
k
PM
QM k
=
C．这两个函数的图象一定关于x轴对称
D．△POQ的面积是
12
1
()
2
k k
+
3.如图，点A是反比例函数
2
y
x
=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数
3
y
x
=-的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x
轴上，则S □ABCD 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.如图,△OAP ，△ABQ 均是等腰直角三角形，点P ，Q 在函数4y x
=（x ＞0）的图象上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点B 的坐标为（ ）
A ．（21+，0）
B ．（51+，0）
C ．（3,0）
D ．（51-，0）
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师：通过上节课三道例题的学习，更加深入的理解了反比例函数与一次函数之间的结合问题以及反比例函数中k 的几何意义的应用，接下来，我们继续应用反比例函数的性质学习下面的两个例题.首先同学们各自看下例4.
二、教学新授
例4如图所示，是反比例函数1y x =的图象，当x 取1，2，3，…，n 时，对应在反比例函数图象上的点分别为M 1，M 2，M 3，…，M n ，则11222311n n n P M M P M M P M M S S S --+++V V V L =_________．
答案：12n n
- 师：由题目的问题可以看出，很明显，我们要总结出第（n -1）个三角形的面积，谁能告诉大家，第一个三角形的面积如何计算？
生1：112112M P M P ⋅ =14
. 师：大家同意他的答案吗？
生：同意.
师：A 同学，告诉大家第二个三角形的面积
生2：223212M P M P ⋅ =112
. 师：是不是说第（n -1）个的面积就是11112
n n n n M P M P ---⋅？ 生：是的
师：我们只需要知道M n-1，M n ，P n-1的坐标就可以得到P n-1 M n-1与P n-1 M n 的长度呢？
生：是的
师：B 同学，你说下P n-1 M n-1长度是多少呢？
生：P n-1 M n-1=11n --1n
. 师：C 同学，你说下P n-1 M n 长度是多少呢？
生：P n-1 M n =1
师：大家快速的计算一下最终结果（解题思路如下）
学生独立完成，汇报答案
师：读题例5
例5题目，老师为同学们分开几组讨论题目，在讨论之前，老师先提示一下大家，对于第（2）问中以O 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形时点D 的坐标，大家可以多思考一下，首先同学们可以仔细阅读后面的思维导引，通过导引中的方法求解，另外，同学们也可以认真思考平行四边形的性质，是不是可以利用题目中所给出的中点坐标的求解方式解答.
分组，生生互动
例5 阅读下面材料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）为端点的线
段的中点坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线3y x =-（x ＜0）和k y x =（x ＞0）的图象关于y 轴对称，直线1522
y x =+与两个图象分别交于A （a ，1），B （1，b ）两点，点C 为线段AB 的中点，连接OC 、OB ．
（1）求a 、b 、k 的值及点C 的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D ，使得以O 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D 的坐标．
答案：
（1）解：∵A ，B 在直线15
22
y x =+上， ∴分别将A （a ，1），B （1，b ）代入15
22
y x =+，得a=-3，b=3，
又∵点B (1，3)在双曲线k
y x =上，
∴k=3.
∵点C 为线段AB 的中点 ∴x C =
31
122A B x x +-+==- ， y C =13222
A B y y ++==，
故点C 的坐标为(-1，2).
①参考图 ②参考图 ③参考图 （2）解：以O 、C 、B 、D 为顶点的平行四边形有如下三种情况： ①以OC 、BD 为对角线的平行四边形； ②以OB 、CD 为对角线的平行四边形； ③以OD 、CB 为对角线的平行四边形. 点D 的坐标求解如下：
①以OC 、BD 为对角线的平行四边形，
由平行四边形对角线互相平分及线段的中点坐标公式可有：
22O C B D x x x x ++=，22O C B D y y y y ++=， ∵O (0，0)、C (-1，2)、B (1，3)， ∴
10122D x +-=，30222
D
y ++=
， 即点D 的坐标为(-2，-1)；
②以OB 、CD 为对角线的平行四边形， 同理①方法，可有
22O B C D x x x x ++=，22
O B C D
y y y y ++=
， 解得点D 的坐标为(2，1)；
③以OD 、CB 为对角线的平行四边形， 同理①方法，可有
22O D B C x x x x ++=，22
O D B C
y y y y ++=
， 解得点D 的坐标为(0，5).
综上所述，符合条件的点D 坐标为（-2，-1）或(2，1)或（0，5）. 解析1：由平行四边形性质：“对角线互相平分”及线段的中点坐标公式可求得点D 的坐标．
师：通过大家的讨论，我看到很多同学已经得出了答案，每一组选出一个代表为大家解释下你的思路，所用的方法. 分组汇报思路、结果，教师指正
①参考图 ②参考图 ③参考图
三、巩固拓展
5.如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、C 在双曲线1
1k y x
=-上，B 、D 在双曲线2
2k y x
=
上，k 1=2k 2（k 1＞0），AB ∥y 轴，S □ABCD =24，则k 1= ________．
6.如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1
y x
=
图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2
y x =-图象的一个分支，在x 轴的上方有一条平
行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足
分别为C、D．若四边形ABDC的周长为8,且AB＜AC，则点A的坐标为____________．
7.如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线
k
y
x
=（k＞0）
经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长．
四、课堂总结
1.理解反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数图象中的面积与k的相互转化.
2.反比例函数解析式求解方法：
I.待定系数法；
II.利用图形面积求解k.
3.在反比例函数图象中S△OPQ =S梯形PCDQ.
拓展延伸
例1 我们规定：形如
ax k
y
x b
+
=
+
(a、b、k为常数，且k≠ab)的函数叫做“奇
特函数”.当a =b=0时，“奇特函数”ax k y x b +=
+就是反比例函数k
y x
=(k ≠0). （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(9,0)，(0,3).点D 是OA 的中点，连接OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6
ax k
y x +=
-的图象经过B 、E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式； ②I.把反比例函数3
y x
=
的图象向右平移6个单位，再向上平移_____个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.
II.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标.
答案：
（1）解：由题意得，(2+x )(3+y )=8. ∵2+x ≠0，
∴3+y =8
2
x +，整理得y =322x x -++.
根据定义，y =32
2
x x -++是“奇特函数”.
（2）①解：由题意得，B (9，3)，D (9
2
，0)，
易得直线OB 解析式为13y x = ，直线CD 解析式为2
33
y x =-+.
由 1
3y x =， x =3，
2
33y x =-+， 解得 y =1，
∴点E (3，1).
将点B (9，3)、E (3，1)代入函数6
ax k
y x +=
-中，
得
9
3
96
a k
+
=
-
，a=2，
3
1
36
a k
+
=
-
，解得k=-9，
∴“奇特函数”的解析式为
29
6
x
y
x
-
=
-
.
（2）②I.2
II. P1(7，5)，P2(15，7
3
)，P3(-3，
5
3
)，P4(5，-1).
分析过程：
i.由题意及I 可知“奇特函数”
29
6
x
y
x
-
=
-
关于点M(6，2)成中心对称；
ii.由反比例函数图象与正比例函数图象性质可知四边形BPEQ为平行四边形；
iii.由平行四边形性质可知
1
4
BMP BPEQ
S S
∆
=
Y
, 由反比例函数k的几何意义可
知S
△BMP =S
梯形BNFP
（可参考本讲例2（2））
iv.设点P(m，n)，则BN=3-2=1，NF= m-9，PF=n-2，由S
△BMP =S
梯形BNFP
=4
及点P(m，n)在“奇特函数”
29
6
x
y
x
-
=
-
的图象上，可求得m，n的值，即点
P坐标.
v.当点P在点B上方时，同理可求得满足题意的点坐标，点P关于点M对称点亦满足题意.
【类似性问题】
1. D
2. D
3. D
4. B
5. 8
6. (1
3
，3)
7.
解：过点C作CG⊥OA于G，
∵等边△OAB的边长为4，C为OB的中点，
∴OC=1
2
OB=2，∠COG=60°，∴∠OCG=30°，
∴OG=1
2
OC=1，∴CG=22
OC OG
-=3，∴C（1，3）.
把点C的坐标代入
k
y
x
=，得k=3，∴双曲线所表示的函数解析式为
3
y
x
=.
（2）过点D作DH⊥AF于H，设AD=a，
∵△AEF是等边三角形，∴∠DAH=60°，∴∠ADH=30°，
∴AH=1
2
AD=
1
2
a，∴22
AD AH
-
3
2
a，∴D（4+
1
2
a，
3
2
a）.
把点D的坐标代入
3
y
x
=，得
3
2
a =
3
4
2
a
+
，整理得a2+8a-4=0，解得a=254
-.
∵点D时AE的中点，∴AE=2AD=458
-，即等边△AEF的边长为458
-.
手册答案
1.B（使用了相似的知识，需教师说明）
2.D
3.C
4.
33
-
5. 9
6.y=-
1
2
x+3+
1
2
7.（1）-4；（2）0＜a＜2或
2
33
11-
-
＜a＜
2
33
11+
-
8.
7
10
（使用了相似的知识，需教师说明）
9.解：（1）∵A（-4，0），∴OA=4.
∵AC=BC，OC⊥AB，∴OB=OA=4，∴B（4，0），P（4,2）.
把点P的坐标代入
m
y
x
=，得m=8，∴反比例函数的解析式为
8
y
x
=.
把点A，P的坐标代入y=kx+b，得
40,
42,
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
,
4
1,
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴一次函数的解析式为y=
1
4
x+1. （2）对于y=
1
4
x+1，令x=0，得y=1，∴C（0，1）.
如图，若四边形BCPD是菱形，则CD⊥PB.
∵PB⊥x轴，∴CD∥x轴.
易知四边形OBEC是矩形，根据菱形的性质可知CD=2CE=2OB=8，
∴D （8，1）. ∵点D 在反比例函数8
y x
=的图象上， ∴在8
y x
=
的图象上反比例函数存在点D （8，1）使得四边形BCPD 是菱形. 10. 解：（1）y=8
x
.
（2）（使用了相似的知识，需教师说明）
解：过点P 作PM ⊥x 轴于M ，过点Q 作QN ⊥x 轴于N ， 则∠PMO=∠QNO=90°，∴∠POM+∠OPM=90°. ∵OQ ⊥OP ，∴∠POM+∠QON=90°，∴∠OPM=∠QON . ∴△POM ∽△OQN ，∴
OM PM OP
QN ON OQ
==.∵OP=2OQ ，∴OM=2QN ，PM=2ON . ∵Q （m ，n ），其中m ＜0，n ＞0，∴ON=-m ，QN=n ，∴OM=2n ，PM=-2m ，∴P （2n ，-2m ）.
∵点P 在反比例函数y=8
x
的图象上，∴-2m=82n ，∴n=2m -，其中-4＜m ＜21-.
（3）当n=1时，m=-2，∴Q （-2，1）.根据勾股定理得5OP=25 ∴S △POQ =12OP ·OQ=1
2
5×5=5.。