2019年四川省成都市金牛区中考数学一模试卷(解析版)

2019年四川省成都市金牛区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．cos30°的值是（）
A．B．C．D．
2．如图，几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
3．在一个有10 万人的小镇，随机调查了1000 人，其中有120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（）
A．B．C．D．
4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
5．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）
A．5B．10C．20D．24
6．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）
A．x2﹣x﹣1＝0B．4x2﹣6x+9＝0C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
7．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1＝5.2米，L2＝6.1米，L3＝7.8米，L4＝10米四种备用材料
中，拉线AC最好选用（）
A．L1B．L2C．L3D．L4
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，△ADE、△ABC
的面积分别为S1、S2，则的值为（）
A．B．C．D．2
9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）
A．56元B．57元C．59元D．57元或59元
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；
⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则y1＜y2
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为．
12．如图，已知在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，AC＝10，则△ABC的面积为．（结果保留根号）．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ABC的高AM交DE于NE，则的值为．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．解方程：
（1）计算：cos30°+3tan45°﹣20180；
（2）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
18．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥
EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针
旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G 交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．
20．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AN2＝AE•AC．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m＝．
22．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos ∠BAC的值为．
23．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1个小球，
记下数字，前后两次的数字分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P在函数y＝图象上的概率为．
24．如图，D是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，DC⊥y轴于
点C，直线m：y＝﹣x+2经过点C，与x轴交于点B．将直线m绕点C顺时针旋转15°，与x轴交于点A，若四边形DCAE的面积为4，则k的值为．
25．如图，点D，C的坐标分别为（﹣1，﹣4）和（﹣5，﹣4），抛物线的顶点在线段CD上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为．
五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
26．我县在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
27．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP ∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C
＝∠DPE＝45°，BC＝6，CE＝4，则DE的长为．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x 轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
2019年四川省成都市金牛区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．cos30°的值是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【解答】解：cos30°＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．如图，几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
3．在一个有10 万人的小镇，随机调查了1000 人，其中有120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（）
A．B．C．D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．
【解答】解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；
B、图象位于第二、四象限，故B正确；
C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；
D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）
A．5B．10C．20D．24
【分析】根据菱形的性质即可求出答案．
【解答】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，
∴菱形的边长为：＝5，
∴菱形的周长为：4×5＝20，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
6．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）
A．x2﹣x﹣1＝0B．4x2﹣6x+9＝0C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1＝5.2米，L2＝6.1米，L3＝7.8米，L4＝10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（）
A．L1B．L2C．L3D．L4
【分析】先利用三角函数计算出AC，然后进行无理数估算后进行判断．
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵CD＝5，∠CAD＝60°，
∴AC＝＝＝米，
∴拉线AC最好选用L2．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，△ADE、△ABC
的面积分别为S1、S2，则的值为（）
A．B．C．D．2
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（）
A．56元B．57元C．59元D．57元或59元
【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，
根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，
整理得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59．
∵要使顾客获得实惠，
∴x＝56．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；
⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则y1＜y2
其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用二次函数的性质结合二次函数的图象确定符合条件的选项，即可得出结论．【解答】解：①观察图象知最高点为（﹣1，4），故最大值为4正确；
②当x＝2时，y＜0，故4a+2b+c＜0正确；
③∵抛物线对称轴为x＝﹣1，故一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2正确；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故错误；
⑤∵x1＜﹣1＜x2，且x1+x2＞﹣2，∴P（x1，y1）距离对称近，∴y1＞y2，故错误；
故正确的有①②③3个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质及二次函数的最值的知识，解题的关键是能够结合图象发现其有关的结论，难度不大．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，则m﹣n的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2n代入方程得到x2﹣2mx+2n＝0，然后把等式两边除以n即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n＝0的根，
∴4n2﹣4mn+2n＝0，
∴4n﹣4m+2＝0，
∴m﹣n＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．如图，已知在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，AC＝10，则△ABC的面积为．（结果保留根号）．
【分析】过点A作BC边的垂线AD，得到两个直角三角形，根据锐角三角函数的定义，求出AD 和BC的长，再计算出三角形的面积．
【解答】解：如图：
过点A作AD⊥BC于点D，
则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠C＝60°．
在直角△ACD中，CD＝AC•cos C＝10×＝5．
AD＝AC•sin C＝10×＝5．
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝5．
∴S
＝BC•AD＝（5+5）×5＝．
△ABC
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形，过点A作BC的垂线，把△ABC分成两个直角三角形，解这两个直角三角形，求出BC和AD的长，然后用三角形的面积公式求出三角形的面积．
13．如图，已知DE为△ABC的中位线，△ABC的高AM交DE于NE，则的值为．
【分析】由条件可知DE∥BC，AD＝AB，利用平行线分线段成比例可求得答案．
【解答】解：
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AD＝AB，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质和中位线定理，由条件得到DE∥BC是解题的关键．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是10．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD＝BC＝3，CD＝AB＝7，再由垂直平分线的性质得出AE ＝CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+（DE+AE）＝AD+CD＝3+7＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．三．解答题（共6小题，满分54分）
15．解方程：
（1）计算：cos30°+3tan45°﹣20180；
（2）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入即可求解；
（2）把常数项﹣2移到等号的右边；在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用配方法即可．
【解答】解：（1）原式＝+3×1﹣1＝；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1
（x﹣1）2＝3
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，特殊角的三角函数值的相关运算．
16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题
（1）本次调查所得数据的众数是1部，中位数是2部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为54度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，
故答案为：1、2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：×360°＝54°；
故答案为：54；
（3）条形统计图如图所示，
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）＝＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意平均条数＝总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
18．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥
EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知
GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°
＝；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC tan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AH sin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针
旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G 交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，利用旋转的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再证明△ABO≌△BCH得到CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，则C（4，1），然后把C点坐标代入y＝
中可计算出k的值；
（2）画出过点C的反比例函数y＝的草图，结合条件点P在图象G上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）由Q（0，m），得到OQ＝m，得到M（，m），N（3m，m），根据点M在点N左侧，列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBH，
在△ABO和△BCH中，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，
∴C（4，1），
∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×1＝4；
（2）过O作OP∥BC交y＝的图象于点P，过P作PG⊥x轴于G，∵∠POG＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠PGO，
∴△OAB∽△OHP，
∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，
∵点P在y＝上，
∴3y P•y P＝4，
∴y P＝，
∴点P的坐标为（2，）；
（3）∵Q（0，m），
∴OQ＝m，
∵OM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，
∴M（，m），N（3m，m），
∵点M在点N左侧，
∴＜3m，
∵m＞0，
∴m＞．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AN2＝AE•AC．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，∠CAD＝45°，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；
（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AN2＝AE•AC．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN，
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN
∴，且AN＝AM，
∴AN2＝AE×AC
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m＝﹣2．【分析】把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
【解答】解：根据题意将x＝0代入原方程得：m2﹣4＝0，
解得：m＝2或m＝﹣2，
又∵m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
22．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos
∠BAC的值为．
【分析】如图，找出格点D、E，连接CD、AD，易知△ACD是直角三角形，A、C、E三点共线，
然后勾股定理逆定理可判断△AEB是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：如图，找出格点D、E，连接CD、AD，
易知△ACD是直角三角形，
∴A、C、E三点共线，
连接BE，
由勾股定理可知：AB2＝1+9＝10，AE2＝1+1＝2，BE2＝4+4＝8，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴△ABE是直角三角形，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故答案为：
【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识．
23．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1个小球，
记下数字，前后两次的数字分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P在函数y＝图
象上的概率为．
【分析】首先利用树状图得出所有的可能，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出答案．【解答】解：由题意可得：
，
可得，一共有9种可能，符合题意的有：（1，2），（2，1）在函数y＝图象上，
故点P在函数y＝图象上的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出所有符合题意的点是解题关键．
24．如图，D是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，DC⊥y轴于
点C，直线m：y＝﹣x+2经过点C，与x轴交于点B．将直线m绕点C顺时针旋转15°，与x轴交于点A，若四边形DCAE的面积为4，则k的值为﹣2．
【分析】首先根据y＝﹣x+2可以求出C的坐标，然后根据题意列出关于直线BC的方程y＝﹣x+n，代入y＝﹣x+n可以确定n的值，设D（a，2），用a表示DC、EO，再根据梯形DCAE 的面积为4可以得到关于a的方程，解方程求出a，最后利用反比例函数解析式求出k．
【解答】解：∵y＝﹣x+2经过C点，
∴当x＝0时，y＝2；
∴C（0，2）．
∵将直线m绕点C顺时针旋转15°与x轴交于点A，
∴直线BC的方程y＝﹣x+n，
∵y＝﹣x+n也经过点C，
∴2＝﹣0+n．
∴n＝2．
∴y＝﹣x+2．
当y＝0时，x＝2；
∴A（2，0）．
∵DC⊥y轴于C，
∴设D（a，2）．
∴DC＝EO＝﹣a，DE＝2．
∴EA＝2﹣a．
∵D为反比例函数，y＝（k＜0）图象上一点，
∴2a＝k．
＝（DC+EA）•DE＝（﹣a+2﹣a）×2＝2﹣2a＝2﹣k＝4，
∵S
梯形DCAE
∴k＝﹣2
【点评】此题考查了利用一次函数的性质解题和利用几何图形的面积求反比例函数的解析式．25．如图，点D，C的坐标分别为（﹣1，﹣4）和（﹣5，﹣4），抛物线的顶点在线段CD上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为﹣9．
【分析】当顶点在D点时，B的横坐标最大，此时，DB两点的水平距离为4，故AB＝8，同样当当顶点在C点时，A点的横坐标最小，即可求解．
【解答】解：当顶点在D点时，B的横坐标最大，
此时，DB两点的水平距离为4，
∴AB＝8，
当顶点在C点时，A点的横坐标最小，
∴A的横坐标最小值为﹣5﹣•AB═﹣9，
故答案为﹣9．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，涉及到的对称轴位置，求解AB的长度是本题的关键．五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
26．我县在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可．
【解答】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：a＝，
故y与x之间的关系式为y＝x2；
（2）图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z＝kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为z＝﹣x+30；
W＝zx﹣y＝﹣x2+30x﹣x2
＝﹣（x﹣75）2+1125，
∵﹣＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
27．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP ∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C
＝∠DPE＝45°，BC＝6，CE＝4，则DE的长为．
【分析】感知：先判断出，∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；
探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；
拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC＝AB＝6；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．
【解答】解：感知：∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABP∽△PCD．
探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．
∵∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠CPD．。