(2021年整理)必修四第一章三角函数知识点及例题详解

第一章必修四第一章三角函数知识点及例题详解
第二章
第三章
第四章编辑整理：
第五章
第六章
第七章
第八章
第九章尊敬的读者朋友们：
第十章这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修四第一章三角函数知识点及例题详解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

第十一章本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为必修四第一章三角函数知识点及例题详解的全部内容。

第十二章
第十三章 三角函数 知识点详列
一、角的概念及其推广
正角:一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角
1、任意角
零角：射线不做任何旋转形成的角
负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角
记忆法则：
第一象限全为正,二正三切四
余弦。

α
αcsc sin 为正 全正
α
αcot tan 为正 α
αsec cos 为正
例1、(1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin
• ②,423tan 4sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛-•π
③
)
cos(sin )
sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且
答案：+ — -
2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几
象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z
3、终边相同的角：一般地,所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），可以表示为.,360Z k k ∈+•α
4、特殊角的集合:
（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{
};,2Z k k ∈=παα （2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα (3）终边在X 轴上的角的集合为{
};,Z k k ∈=παα （4)终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα
(5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈-
=Z k k π
παα (6)终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα
（7)终边在坐标轴上角的集合为;
,2⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈=Z k k παα
(8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα
(9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈-
=Z k k π
πα
α 二、弧度
1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180
π
=
，180157.3π⎛⎫
=≈
⎪⎝⎭
．
3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r
α= 4、两个公式：
若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，
2C r l =+,211
22
S lr r α==．
三、三角函数
1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y ） 则P 与原点的距离0222
2
>+=
+=
y x y
x r
2。

比值r
y
叫做α的正弦 记作： r y =
αsin 比值
r x
叫做α的余弦 记作：
r x
=αcos
比值x y
叫做α的正切 记作：x y
=αtan
比值y
x 叫做α的余切 记作y
x =
αcot 比值x
r
叫做α的正割 记作： x
r
=
αsec 比值
y r
叫做α的余割 记作： y
r =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数。

2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；
(2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
==
; （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ． 3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变,符号看象限．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
例2．化简（1）sin()cos()44
ππαα-++;
（2）已知32,cos(9)5
παπαπ<<-=-，求11cot()2π
α-的值．
解：(1)原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044
ππ
αα=---=．
（2）3cos()cos(9)5
απαπ-=-=-，∴3
cos 5α=，
∵2παπ<<,∴4sin 5α=-，sin 4
tan cos 3
ααα=
=， ∴1134
cot()cot()tan 223
ππααα-=--=-=．
例3 确定下列三角函数值的符号
（1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°) （4))3
11tan(π
解：（1）∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
(2）∵4π-
是第四象限角，∴0)4
sin(<-π
（3）tan （－672°）＝tan(48°－2×360°)＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0
（4） 3
5tan
)235tan(311tan
π
πππ=+= 而35π是第四象限角，∴03
11tan
<π
. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°）sin750°+tan495°．
解：原式=sin （—4×360°+120°）·cos(3×360°+30°）
+cos(-3×360°+60°）sin （2×360°+30°）+tan （360°+135°） =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135° =
2
1
212323⨯+⨯-1=0
题型一 象所在象限的判断
例5（1)如果α为第一象限角，试问2
α是第几象限角？
（2）如果α为第二象限角，试问：απαπ
α+--,,分别为第几象限角？
答案：（1）第一或者第三；(2）第三，第一，第四. （3)已知角α的终边与角3
π
的终边相同，在[)π2,0内，哪些角的终边与
3
α
的终边相同？
答案：913,97,
9π
ππ
题型二 弧长、扇形面积等有关问题
例6 已知扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R 。

（1）若,10,60cm R == α
求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积。

（2）若扇形的周长是一定值),0(>C
C 当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
答案：（1）)(233502
cm ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π (2）当且仅当,4
α
α=即)2(2舍去-==αα时，扇形面积有最大值162
C 。

题型三 函数值符号的判定
例7 确定下列三角函数值符号：
（1）tan(55612)'-︒，（2)16cos
5π，(3)17cot()8
π
-
解:(1)tan(55612)tan(36019612)tan(19612)0'''-︒=-︒-︒=-︒< （2）1644cos cos(4)cos()0555
πππ
π=-=-< （3)17cot()cot(2)cot()0888
πππ
π-
=--=-< 例8 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° (2）)4sin(π- (3）tan(－672°） (4）)311tan(
π
解：（1）∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
（2)∵4π-
是第四象限角,∴0)4
sin(<-π
（3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°)＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0
(4) 35tan
)235tan(311tan
π
πππ=+= 而35π是第四象限角,∴03
11tan <π。

题型四 三角函数线的应用
例9利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1
sin
≥2
1
2 tan >
3
3 解： 1 2
30≤
≤150 30
<
<90
或210<<270
例10 求证：若2
021π
αα≤<≤时，则sin 1
<sin
2
证明:分别作
1
,
2
的正弦线x 的终边不在x 轴上 sin
1=M 1P 1 sin
2=M 2P 2
∵2
021π
αα≤
<≤
∴M 1P 1 <M 2P 2 即sin
1
<sin
2
题型五 利用三角函数关系进行化简与求值
例11．化简（1）sin()cos()44
ππ
αα-++;
（2)已知32,cos(9)5
παπαπ<<-=-，求11cot()2π
α-的值． x
y o
P 1
P 2
x
y o
T A
210︒
30︒ x
y
o P 1
P 2
M 1
M 2
解：(1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044
ππ
αα=---=．
（2）3cos()cos(9)5
απαπ-=-=-，∴3
cos 5α=,
∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4
tan cos 3
ααα==，
∴1134
cot()cot()tan 223
ππααα-=--=-=．
例12．(1）
若tan α=,求值①
cos sin cos sin αα
αα
+-；②222sin sin cos cos αααα-+．
（2）求值66441sin cos 1sin cos x x
x x
----
解:(1
）①原式sin 1cos 3sin 1cos α
ααα
+
=
==---
②∵2211
cos 1tan 3
αα==+，
∴原式221
cos (2tan tan 1)3
ααα+=-+=．
（2）∵66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )x x x x x x x x +=+-⋅+
2222222(sin cos )3sin cos 13sin cos x x x x x x =+-⋅=-⋅．
又∵442222222sin cos (sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x x x +=+-⋅=-⋅．
∴原式6644
1sin cos 3
1sin cos 2
x x x x --==--．
例13 已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根,
322
π
θπ<<，求角θ． 解：∵2
sin cos 21sin cos 416(21)0m m m m θθθθ+=⎧⎪-⎪
⋅=⎨⎪
⎪∆=-+≥⎩，代入2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+⋅，
得m =322πθπ<<，∴21
sin cos 04
m θθ-⋅=<，
sin cos m θθ+==
1sin 2θθ==，又∵322
π
θπ<<， ∴56
πθ=．
题型六 平方关系得应用 例14 的值求x x x x 33cos sin 2
1cos sin -=
-
说明：通过平方关系得到重要关系式:x x x x cos sin 21)cos (sin 2±=± 例15 求证：
x
x
x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 212
2+-=-- x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x tan 1tan 1sin cos sin cos )sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos cos sin 2cos sin 2
2222+-=
+-=+--=
--+=证明：左边
说明: 利用平方关系得到“1”的妙用，即x x 22cos sin 1+= 例16 化简)2
0(2
cos
2
sin
212
cos
2
sin
21π
αα
α
α
α
<
<++-
2
sin
22
sin
2
cos
2
sin
2
cos
02sin 2cos 2
2
0,2
0α
ααα
α
α
α
π
α
π
α=++-=>><
<
<
<故原式即由2
sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2(cos )2sin 2(cos
22α
ααααααα
++-=++-=解：原式 说明： 本题利用平方关系，和三角函数的大小关系进行化简 题型七 商数关系的应用 例17 的值求
已知α
αα
ααcos sin cos sin 2
tan -+=
解： 1
tan 1
tan 1cos sin 1
cos sin cos sin cos sin -+=-+=-+αααααα
αααα 31
21
22tan =-+==故原式由α
题型八诱导公式的应用
例18 例2．已知1
cos(75)3
α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值
解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+(k Z ∈)，
∵1
cos(75)3
α+=，∴75α+
是第四象限角，∴sin(75)α+==，
∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3
αααα+=---=+-+=-
题型九 证明三角恒等式
例19 求证α
α
ααcos sin 1sin 1cos +=
-
解：（不止一种方法）
注：关于三角恒等式的证明，常用方法：
①从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简； ②左右扫一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
③凑和方法,即针对题设与结论间的差异，由针对性的变形，以消除差异的方法；
④比较好，即设法证明“0=右边—左边”或“
1=右边
左边
"； ⑤分析法，即从被征的等式出发，逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立。

题型九 三角函数的简单应用
例20 已知θθcos sin 、
是关于x 的方程)(02R a a ax x ∈=+-的两个根。

（1）求)2
(sin )2(cos
33
θπ
θπ++-的值；
（2）求θ
θπtan 1
)tan(--的值。

答案：（1)21-
；（2）12+。

三角函数的图像与性质
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+()k ∈Z 时，
max 1
y =;当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时，min 1y =-．
当
()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =;当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小
值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
单调性
在2,22
2k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在
32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z 对
称
轴()2
x k k π
π=+
∈Z
对
称
中心(),02
k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪
⎝
⎭
对称轴()x k k π=∈Z
对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
无对称轴
2、函数
)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =图像的关系
（1）振幅变换：)1,0(sin ≠>=A A x A y
的图像可以看成是x y sin =图像上所有点的纵坐标
都伸长)1(>A 或都缩短()10<<A 到原来的A 倍（横坐标不变而得到的）。

（2）周期变化:
()1,0sin ≠>=ωωωx y 的图像，可以看成是x y sin =的图像上各点的横坐
标都都缩短()1>ω或伸长()10<<ω到原来的
ω
1
倍(纵坐标不变）而得到的，由于x y sin =的
周期为π2，故()1,0sin ≠>=ωωωx y 的周期为
ω
π
2。

（3）相位变化：
()0)sin(≠+=ϕϕx y 的图像，可以看成是把x y sin =的图像上各点向左
()0>ϕ或向右()0<ϕ平移ϕ各单位而得到的。

思考：由x y sin =的图像得到)sin(ϕω+=x A y 的图像有哪些方法？ 例1 画出函数sin 2,y x x R =∈与1
sin ,2
y x x R =∈的简图。

解：函数sin 2,y x x R =∈的周期为22
T π
π==，我们先画在［0，π］上的简图 令2,sin sin 2z x z x ==(换元法）
列表2： 描点连线：
函数1sin ,2
y x x R =∈的周期为2412
T π
π==,我们先画在[0，4π]上的简图
令12X x =，则1
sin sin 2
X x =（换元法）
列表3：
2z x =
2π π
32π 2π
x
0 4π 2π 34
π π
sin 2x
1
-1 0
1
2X x =
0 2
π π
32π 2π x
π
2π
3π
4π
sin y x
=sin 2y x
=
例2 函数)32sin(3π
+=x y
的图像可由x y 2sin 3=的图像（）
A.向左平移
3
π个单位长度得到
B.向右平移3
π
个单位长度得到
C.向左平移
6
π
个单位长度得到
D.向右平移
6
π
个单位长度得到
例3 求函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 24sin π的单调增区间。

解：
.,87,83.
8
783.
,2324222,
42sin 24sin Z k k k Z k k x k Z k k x k x x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ
ππππ
ππππππ函数的单调区间是，解得令
sin 2x
0 1 0 —1 0
注意易错点:直接把⎪
⎭
⎫
⎝⎛-x 24π带入2222ππππ+≤≤-k x k 中求出x . 题型一 函数的定义域问题
三角函数的定义域是研究其他性质的前提，求三角函数的定义域就是解简单的图像或三角函数线来求解,注意数形结合的思想的应用。

例1 求下列函数的定义域： （
1)()f x =
(2）()tan(sin )f x x =；
（3
）()tan 1
f x x =+．
解：（1)
由tan 0x ≥
，得tan x ≤()2
3
k x k k Z π
π
ππ-
<≤+
∈．
∴()f x 的定义域为(,]()23
k k k Z ππ
ππ-+∈．
（2）∵1sin 122
x ππ
-<-≤≤<，∴x R ∈．即()f x 的定义域为R ．
由已知2cos 10lg(tan 1)0tan 10()2x x x x k k Z ππ-≥⎧⎪+≠⎪⎪⎨+>⎪⎪≠+∈⎪⎩,得1cos 2tan 0
tan 1()
2x x x x k k Z π
π⎧
≥⎪⎪≠⎪⎨>-⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴223342k x k x k k x k πππππππππ⎧-≤≤+⎪⎪≠⎨⎪⎪-<<+⎩()k Z ∈,
∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43
k k k k k Z ππ
ππππ-+∈．
{
()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
+≠≠+≤≤-∈+
≠⎪⎩
⎪⎨⎧∴⎪⎩
⎪
⎨⎧∴∈+≤≤-∈≠-≥≠≥+≠2,,322322)(2
,)3(),(32232).(,21cos 0tan ,
01cos 2,
0tan ππππππππ
ππππππk x k x k x k x f Z k k x Z k k x k Z k k x x x x x 且的定义域为
，故又
题型二 三角函数的值域
例2．求下列函数的值域：（1）22sin cos 1sin x x y x =+；（2）23sin log 3sin x
y x
-=+；（3）1sin 3cos x y x +=+．
解：由题意1sin 0x +≠，∴222sin (1sin )11
2sin (1sin )2(sin )1sin 22
x x y x x x x -=
=-=--++， ∵1sin 1x -<≤，∴1sin 2x =时，max 1
2y =，但sin 1x ≠-，∴4y >-,
∴原函数的值域为1
(4,]2
-．
（2）∵1sin 1x -≤≤，又∵3sin 613sin 3sin x x x -=-++,∴13sin 223sin x
x
-≤≤+，∴11y -≤≤，∴函数
2
3sin log 3sin x
y x
-=+的值域为[1,1]-． （3）由1sin 3cos x
y x
+=+得sin cos 31x y x y -=-
)31x y ϕ+=-，
这里cos ϕ=
，sin ϕ=
∵|sin()|1x ϕ+≤
，∴|31|y -≤304y ≤≤，∴原函数的值域为3
{|0}4
y y ≤≤．
题型三 三角函数最值问题
三角法术最值的求法类似于求函数的值域，常见的题型有以下几类
（1）形如
)sin(ϕω+=x A y 或可化为此类的函数最值问题，应用三角函数的有界性求解。

（2）可化为
,sin sin 2C x B x A y ++=换元转化为二次函数求解，有时需对所含参数进行分
类讨论.
（3）)sin sin (cos cos d
x c b
x a y d x c b x a y
++=++=
或型，可利用分离常数法，或1cos ≤x 来求解。

（4）d
x c b
x a y ++=cos sin 型，可用斜率公式或分离常数法来解决。

例2．求下列函数的值域：（1）22sin cos 1sin x x y x =+；(2)23sin log 3sin x
y x
-=+；（3）1sin 3cos x y x +=+．
解：由题意1sin 0x +≠，∴222sin (1sin )11
2sin (1sin )2(sin )1sin 22
x x y x x x x -=
=-=--++， ∵1sin 1x -<≤，∴1sin 2x =时，max 1
2y =，但sin 1x ≠-,∴4y >-，
∴原函数的值域为1
(4,]2
-．
(2）∵1sin 1x -≤≤,又∵
3sin 613sin 3sin x x x -=-++，∴13sin 223sin x
x
-≤≤+，∴11y -≤≤，∴函数
2
3sin log 3sin x
y x
-=+的值域为[1,1]-．
（3）由1sin 3cos x
y x
+=+得sin cos 31x y x y -=-
)31x y ϕ+=-,
这里cos ϕ=
，sin ϕ=
∵|sin()|1x ϕ+≤,
∴|31|y -≤304y ≤≤，∴原函数的值域为3
{|0}4
y y ≤≤．
题型三 周期性问题
例3．求下列函数的周期:
(1）sin 2sin(2)
3cos 2cos(2)3
x x y x x π
π++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x +=-．
解：（1
）1)sin 2sin 226tan(2)6)622
x x x x
y x x πππ+++===++,∴周期2T π=．（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=．（3）1tan 4tan(4)1tan 44
x y x x π
+==+-,故周期4T π=．
例4．若*()sin ,()6n f n n N π
=∈，试求：(1)(2)(102)f f f +++的值．
解：∵*()sin ,()6
n f n n N π
=∈的周期为12，
而212(1)(2)(12)sin sin sin 0666
f f f πππ
+++=+++=，
∴(1)(2)(96)0f f f +++=， ∴原式(97)(98)(102)(1)(2)(6)23f f f f f f =+++=+++=+
题型四 奇偶性问题
例4 ．判断下列函数的奇偶性：
（1）()|sin 2|tan f x x x x =-⋅；（2）cos (1sin )
()1sin x x f x x
-=
-
解：(1）∵()f x 的定义域为{|,}2
x x k k Z π
π≠+
∈,∴定义域关于原点对称，
又∵()|sin(2)|()tan()|sin 2|tan ()f x x x x x x x f x -=---⋅-=-⋅=，∴()f x 为偶函数．
（2）∵()f x 的定义域为{|2,}2
x x k k Z π
π≠+
∈不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数．
例5 函数5sin(2)y x α=+是偶函数，则α的值为 （ ） A 。

,()k k Z π∈ B. (21),()k k Z π+∈ C 。

2,()2
k k Z π
π+
∈ D 。

,()2
k k Z π
π+
∈
题型五 函数图像的变换
例6 为了得到函数R x x y ∈+=),63
sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有点
（ ）
A ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1倍（纵坐标不变） B ．向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1倍（纵坐标不变) C ．向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
题型六 求解析式
例7如下图，它是函数sin()3y A x π
ω=+（0,0,||A ωϕπ>><）的图象，根据图中的数据，写出
该函数解析式
【分析】观察图象,发现它的最大．最小值，找出它的周期．
【解】由图得A=5，
53222T ππ
π=-=
， 得3,T π=则223
T πω==
，所以25sin()33y x π
=+，
所求的表达式为25sin()33
y x π
=+
例8．已知函数sin()y A x b ωϕ=++在同一个周期内有最高点(,3)12π
，最低点7(,5)12
π-，求它的解析式。

【分析】根据最高点和最低点，得到A 、b 及周期.
【解】∵2A=3—(—5）=8，∴A=4。

∵2b=3+（—5）=—2，∴b=-1 ∵
7212122T πππ=-=∴2,2T T
π
πω=∴== 4sin(2)1y x ϕ∴=+-， 又图象过(
,3)12π，从而34sin()16
πϕ∴=+-，得3π
ϕ=
故4sin(2)13y x π
∴=+-
(注:答案不唯一)
例9．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,0,A ωπϕπ>>-≤≤）图象的最高点为(2,2),由这个最高
(例
1）
点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（6,0）。

(1）求这个函数的表达式,并指出该函数的周期、频率、初相； （2）求该函数的单调递减区间.
【分析】读懂题意，转换成图象，发现它的振幅和周期.
【解】(1）由题意，得2624,16,48
T T T ππ
ω=-=∴=∴==
则sin()8y x πϕ=+，又图象经过sin()4
πϕ=+,得4π
ϕ=
所以sin()84
y x ππ=+ 周期16T =，频率1116f T ==,初相4π
ϕ=.
（2）由3222842k x k ππππ
ππ+≤+≤+，解得2161016k x k +≤≤+
所以该函数的递减区间为[216,1016]k k ++.。