2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案20—期末复习—学生版

一、集合与命题
1区分集合中元素的形式:
{x| y = f (x)}{y |y = f(x)}{(x,y)| y = f (x)}*…
函数的定义域函数的值域函数图象上的点集*・・
2 •研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性.
3•集合的性质：① 任何一个集合P都是它本身的子集，记为P •
②空集是任何集合P的子集，记为0 9 P •
③空集是任何非空集合P的真子集，记为..u P • 注意：若条件为A —B，
在讨论的时候不要遗忘了A = 的情况.
集合的运算：④ A B C二A B C、A B C二A B C ;
痧A D B =( u A)U(?u B)、痧A U B =( u A)Pl(?u B) •
⑤ A ri B=A= A U B^B U A5B= SUB- uAu API ?u B =二• ⑥对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子
集、非空子集、非空真子集的个数
依次
为：
2n、2n-1、2n_1、2n_2 •
4•命题是表达判断的语句•判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题.
①命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果：•，那么1 ;
逆命题：如果［，那么〉；否命题：如果：•，
那么〒；
逆否命题：如果〒，那么1;
②等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲二乙”那么这样的两个命题叫做等价命题.
③互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题.
④当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑.
5 •常见结论的否定形式：
原结论是都是定p或q p且q大于小于
否定形式不是不都是不一定p且q p或q不大于不小于
原结论至少一个至多一个至少n个至多n个对所有x都成
立对任何x不成立
否定形式
一个也
没有至少两个至多n T个至少n + 1个
存在某x不成
立
存在某x成
\立
期末复习
知识梳理
6
、不等式 1基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）
①
a b 且 b c=a c ；
② 推论：i.
a.b ：=a_c ・
b±c ； ac bc c 0
③
a b= ac 二be =0
c = 0 ; ac :: bc c :: 0
④ 推论：i. a
b 0,
c d
0= ac bd ; 1
1
ii. a 0 b —
a
b
b b m
⑤
a b 0, m 0 =
a a + m
[A O [A b
⑥ a -b * =0 二 a * =b ；
严0
严b
2. 解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式） ①
一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：
i.
分解因式=找到零点；
i.画数轴=标根=画波浪线； i.根据不等号，确定解集；
注意点：i.分解因式所得到的每一个因式必须为
X 的一次式；
i.每个因式中X 的系数必须为正.
② 绝对值不等式
关键 > 去绝对值:
i. xca=—a£xca(a>0)；
iv. f (x j>g (x ) (g (x »O) = f (x )<—g (x
诫 f (x )>g (x )；
v. f (x jc g (x 戸-g (x )< f (x )c g (x )；
③ 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键. 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述 ④ 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想
”、“分离变量思想”以及“图象思想
3.
基本不等式：
i. a b 且 c d=ac bd ；
i. a b 且 a 、b 同号=• 1 ：：：1 ；
a b iii. a • b • 0 ,用 >0= a -J b ： ,「a > 普b ；
①a, b • R，则a2• b2 - 2ab，当且仅当a二b时，等号成立.
a, b，R •，则a，b - 2、ab，当且仅当a二b时，等号成立.
当且仅当X-1,即X =1时,等号成立
X 1
当且仅当X-1,即x =-1时，等号成立
X
4. 不等式的证明：
① 比较法：作差 T 因式分解或配方 ② 综合法：由因导果.
③ 分析法：执果索因；基本步骤：要证 ④ 反证法：正难则反.
⑤最值法：a ■ f x max ，则a - f (x)恒成立；a ：：： f x min ，则a ：：： f (x)恒成立. 三、函数
1.函数的要素：定义域、值域、对应法则 ①
定义域：
i.
给出函数解析式，求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的
x 的范围)
(1) y 二[f(x)]0= f(x) = O ； (2) ■^二 Q(x) = O ； (3) y = 2n P(x)二 P(x) 一 0 .
Q(x)
ii.
使实际问题有意义的自变量的范围.
iii. 求复合函数的定义域：
若f x 的定义域为a,b 1,贝U f g x 】的定义域由不等式a 乞g x < b 解出； 若f g x 的定义域为 a,b 1, 则f X 的定义域相当于 X a,b 1时g X 的值域. ②
值域：函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法？
i.二次函数型或可化为二次函数型；ii.单调性；i.基本不等式；iv.换元法；v.数形结合;
2.
函数的基本性质： ① 奇偶性：
i.
定义判断奇偶性的步骤：
(1)定义域D 是否关于原点对称；(2)对于任意 X D ，判断f(-X )与f (X)的关系：
综上，若a,b 三R ，贝U a 2 b 2
(a b)2
_2ab ，当且仅当
*②若 a,b • R :
当且仅当
x 0, X :: 0,
T 与"0 ”比较大小T --
若f(-x) = f(x)，也即f(-x)-f(x)=O= y 二f(x),x・ D 为偶函数；
若f (-X)- - f (x)，也即f(-x) f(x) =0 y 二f (x), x D 为奇函数.
ii.图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称=奇函数；函数图象关于y轴对称=偶函数;
i.判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？
iv.如果奇函数 y = f (x)在x = 0处有定义，则f (0) = 0 . v. —个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为： f(x)=0,x ・D (其中定义域 D 关于原点对称)
vi.
如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空) ，则有：
奇+奇=•奇；奇+偶=•非奇非偶；偶+偶 =•偶；奇X 奇二.偶；奇X 偶二.奇；偶^偶=偶. ② 单调性：设任意x 1,x^ D ，且x 1 : x 2，则f(xJ = f(X2)=无单调性
f (x i ) .f(X 2)=减函数
-
2
0 ； f(xj .f(X 2)=增函数
-
2
0 ；
在比较f(X i )与f(X 2)大小时，常用“作差法”，比较f(xJ-f(X 2)与0的大小.
i.
奇函数的图象在 y 轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在 y 轴两侧的单调性相反.
ii. 互为反函数的单调性一致.
iii. 增函数+增函数 =增函数；减函数+减函数 =减函数. V.复合函数单调性由“同增异减”判定.
V.注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性”
、“单调性”)
四、幕函数
① 定义：一般地，形如 y =x a (X ・R)的函数称为幕函数。

(其中x 是自变量，〉是常数) ②几个常见幕函数的图像及性质
y = x
2
y
=x
3
y = x
1
y = x
定义域 R R R
{x| x 式 0}
奇偶性 奇 偶
奇 非奇非偶 奇 在第I 象限的
在第I 象限单
在第I 象限单
在第I 象限单 在第I 象限单
在第I 象限单 增减性
调递增
调递增
调递增
调递增
调递减
幕函数y =x a
(X ・R)的图像在第一象限的分布规律是:
1) 所有幕函数y =x a (x ・R)的图像都过点(1,1)； 2) 当〉=1,2,3,1时函数y 二x a 的图像都过原点(0,0)；
2
3)
当〉=1时，y =x a 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 C 2);
4)
当〉=2,3时，y =x a 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c ,)
5) 当〉=丄时，y =x a 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如
C 3)
2
6) 当〉二-1时，y =x a 的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线(如 C 4) ③ 通过特殊幕函数的图像与性质总结幕函数的图像:
当二=0时，幕函数y = x a有下列性质:
（1）图象都通过点
0,0 , 1,1 ；
（2）在第一象限内都是增函数;
（3）在第一象限内，：• .1时，图象是向下凹的； 0= ：：:1时，图象是向上凸的。

当：• ：：： 0时，幕函数Y 二X 有下列性质:
（1）图象都通过点
1,1 ；
注意：无论：•取任何实数，幕函数 y 二x a 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

五、指数函数
① 定义：一般地，函数y= a x （a > 0,a? 1）叫做指数函数.
与幂函数不同，在这个函数中，自变量
x 是指数，而底数a 则是常数。

② 基本性质：1 ）函数的定义域为 R ； 2）函数的值域为（0,・二）；
3）当0 ：：： a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数。

③
函数图像:
1） 指数函数的图象都经过点（0, 1 ），且图象都在第一、二象限；
2） 指数函数都以x 轴为渐近线（当0 ：：： a ::: 1时，图象向左无限接近 x 轴，当a 1时，图象向右无限接近 x 轴）； 3）对于相同的a （a 0,且a=1），函数y =a x 与y = a 」的图象关于y 轴对称。

④
函数值的变化特征:
0 va <1
a >1
① x >0 时 0 c y c1 ①x>0时y >1， ②x = 0时y = 1 ②x = 0时y = 1 ③x < 0时y > 1
③ x v0 时 0 v y c 1
六、指数与对数的概念 指数： ①
分数指数幕
m
___
1) a " =
( a 〉0,m, ，且 n^1 )
② 根式的性质 1) (n a)n =a
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凹的。

（在第一象限内| :• |越大，图象下落的速度越快）
0<tJ< 1
a>l 1
J z
0]
2)
(a - 0,m, n N ，且 n 1)
1
m n
2)当n 为奇数时，^a ^ = a ；当n 为偶数时， 好=|a|= -a,a <0
③
有理指数幕的运算性质 1) a r a s =a r *(a >0, r, s w Q) 2) (a r )s = a rs (a 0, r, s 二 Q) 3) (ab)r = a r b r (a 0, b 0, r Q)
注：若a >0, p 是一个无理数，则a p
表示一个确定的实数•上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕 都适用。

对数：
(1) 对数的定义：如果 a b =N(a 0,且a")，那么幕指数b 叫做以a 为底N 的对数。

记作：log a^ b , 其中a 叫做底数，N 叫做真数。

(2) 指数式与对数式的互化式：a b 二Nu log a N =b(a .0,a=1,N ■ 0)
⑶对数的换底公式：log a N 」°
g m N
( a 0,且a=1, m 0,且m = 1, N 0)
log m a
(4)
对数恒等式：a logaN =N (a 0,且 a=1, N 0)
log a a
=n
(5) 对数的四则运算法则：若a >0,
1, M >0, N>0，贝U
① log a (MN ) =log a M log a N
源 :学&科&网］
N
③ log a M nlog a M (n = R);
④ log m N n =卫 log a N(n ,m^ R)
a
m
(6)常用对数和自然对数
以10为底的对数logj ，叫做常用对数，简记为lgx 。

以无理数e 为底的对数叫做自然对数，记作
log e x ,
简记为Inx ,其中e =2.718……。

温馨提示
(1)当n 为偶数时,盲=|a|
(2)不要把 log a (MN ) Tog a M log a N 记成了 log a (M N^log a M log a N 等。

方法总结
解决指数问题时常常需要取对数，而解决对数问题又需要将它转化成指数问题，这种互化是数学解题的有 力杠杆。

我们
在这里称之为“对指互化”。

rm
1
注意对数恒等式、对数换底公式以及恒等式
log a n b m = — log a b,log a b = ------------ 在解题中的灵活运用。

n
对于对数连等式等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁。

注意方程和方程组思想的有效运用。

解对数和指数不等式，常用同底法，即把不等式的两边变成底数相同的对数和指数。

3
如：log 2 x 3= log 2 x log 2 2。

七、对数函数 ①定义：函数y=log a X (a 0,且a=1)称对数函数,
1)函数的定义域为(0,
; 2)函数的值域为 R ;
1、 2、 3、 4、 5、 log b a
3)当0 ：：： a .1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数；
4)对数函数y = log a x与指数函数y二a x(a . 0,且a =1)互为反函数。

②函数图像：
1)对数函数的图象都经过点(0, 1),且图象都在第一、四象限；
2)对数函数都以y轴为渐近线(当0 ::: a ::: 1时，图象向上无限接近y轴；当a 1时，图象向下无限接近
3)对于相同的a(a 0,且a=1)，函数y =log a x与log 1x的图象关于x轴对称。

a
③函数值的变化特征：
0 ca c1 a >1
①x a 1时y c 0
②x = 1时y = 0
③0 c x c1 时y >0程: ①x =1时y A0
②x = 1时y = 0
③x c0时0 c y c1
①指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程; 在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方
程。

②解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

③指数方程的基本类型：
(1) a x二c(a 0,a = 0,c 0),其解为x = log a c ；
(2) a f(x) =a g(x)(a 0,^=1)，转化为代数方程f(x)二g(x)求解；
(3) a f(x^b g(x)(a 0,a",b 0,b=1)，转化为代数方程f(x)lg a = g(x)lg b求解;
(4) F(a x)=0(a •0,a=0)，用换元法先求方程F(y)=0的解，再解指数方程a x= y。

④对数方程的基本类型：
(1)log a x=b(a 0,a =1),其解为x=a b；
卩(x) = g(x)
(2)log a f (x) =log a g(x)(a >0,a 工1)，转化为* f(x)>0 求解；
L g(x)>0
(3)F(log a X)=0(a ・0,a =0)，用换元法先求方程F(y)=0的解，再解对数方程log a y。

⑤指数方程和对数方程的近似解
y轴)；
利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解
例题解析
-、集合不等式
【例1】若集合A - [x 2a 1 <x <3a -5 ? , B - [x 3 <x< 22｝，则能使A二B成立的所有实数a的集合是()
A . !a 1 _a _9f B. !a 6 _a _9j C. la a _9f D .J
【例2】用集合的交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来
【例3】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题所有男生都爱踢足球”的否定是________
【例4】设集合M ={1,2,3,4,5,6} , S j, S2」|（, S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S={a , b},
S j 二佝,b j} （i = j , i、j {1,2,3,, I, k}）,都有min 旦，—=min ，—（min{ x, y}表示两个数x, y
W a J [6 a j j
中的较小者），则k的最大值是__________________ .
【例5】若实数a,b,c同时满足下列条件：(1) abc 0 ； (2) a b c 0 ； (3) a b ■ c ； (4) ab bc c^ 0 ,
则下列判断正确的是 _____ .(将正确的序号都填上)
(1) a 0, (2) b 0, (3) c 0, (4) a b , (5) a2 c2.
【例6】解下列不等式（组）
【例8】设0 ：：： b ：：： 1 • a ，若关于x 的不等式 x-b 2 >（ax j 的解集中的整数解恰有 3个，则（）
A . -V a < 0
B . 0 a < 1
C . 1 < a 3
D . 3 a 6
【例9】（1）当0<x<2时，函数y = 2x （1 - 2x ）的最大值为 ________
(1)
x>0
』3 —x 2 —x ! ---- > ------
3 + x 2 + x
(2)
2x-1 - xc|x + 3 +1
【例7】关于x 的不等式组
2
x —x — 2 >0
2x 1 2 (2k 5)x 5k ：：
的整数解的集合为 { -2}，求实数k 的取值范围.
1 9
(2)已知x>0, y>0 ,且x + y= 1,求x+ y的最小值_____________
5 1
(3)已知x<-，求函数y= 4x—2+ --------- 的最大值
4 4x—5
(4)已知x>0, y>0 , x+ 2y + 2xy= 8,贝U x+ 2y 的最小值是 _________
216
(5)已知a>b>0,则a+占的最小值是----------------------
【例10】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上, 且对角线MN过点C，已知AB= 3米，AD = 2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.
1 1
- > —2x3x
1 1
x2_x 1 x2x 1
C.
1 1
x2 1 x2 2
1 1
2|x| x2 1
【巩固训练】 1 集合x^R, y^R 二A =女2 +x+1,_x, _x _1! B =』一y, _*, y+1?, A=B，求x, y .
2•已知集合A = ・—2k+6<xvk2—3>,B = ｛x—k <xvk｝，若A三B,求实数k的取值范围.
3.下列说法：
①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；
②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；
③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；
④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题.
其中正确的说法是（）
A .①② B.①③④ C .②③④ D .①②③
4 •设S为集合｛1,2, 3^1 ,50｝的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被
个.
5.已知X，R，下列不等式中正确的是（）
7整除，则S中元素最多有多少
6.不等式x 2-mx-2m 兰0有实数解，且对于任意的实数解 Xi,X2恒有Xi-x?兰3,求实数m 的取值范围.
7 •已知集合 A ={x|(|x —3)(x 2 +|x —2)兰 0,x 壬 R , B={x|x 2 —ax —12 兰 0,x € R ，若 A G B ，则实数 a 的
取值范围是 _______________ .
x ：：： 2，则
x -
3x 3
的最大值为
x —2
(2)若 x 2 y 2 =1，贝H xy 的取值范围 _________________________
(4)已知x ■ 0, y 1，且x(y -1) =2，则2x y 的最小值 _____________________________
8. (1)
已知
，此时x 二 (3) 已知 x, y R ，且 x 2y =3,
1
1
则—
-的最小值为
x 2 2y 1
(5)设x, y都是正数，且使x y = k x y，则实数k的最大值_____________________
(6) 设正数a、b满足2a +3b=ab，贝y a + b的最小值是 _________
(7) _________________________________________________ 若a、b是正数，则(3a+1)2+(3b+1)2的最小值
为 _________________________________________________________ .
b a
二、函数的概念
【例11】函数=y二.kx2_6x k 8的定义域为R，则k的取值范围是__________________
【例12］已知f (x)为二次函数，且f(x-2) = f(-x-2)，且f 0=1,图象在x轴上截得的线段长为2 2,求
f(x)的解析式.
【例13】设f」x为f x =2x- x・1.0,2 1的反函数，
则
1
y = f x f ~ x的最大值为
【例14】设定义在D上的两个函数f (x)、g(x)，其值域依次是
①若a d，则对任意x2• D，f (xj . g (x2)恒成立；
②若存在为、x2• D，使f (xj • g(x2)成立，则必有a d
③若对任意D，f(x) g(x)恒成立，则必有a d ；
④若a d，则对任意D，f (x) g(x)恒成立.
其中正确的命题是_______ (请写出所有正确命题的序号). ［a, b］和［c, d］，有下列4个命题:
1 x x 1
【例15】已知f(x) 2 -2 的反函数为f (x)，则不等式
2
f'(x) a 1的解集为 __________
1 1
【例16】f X = x2-X 2
(1)证明：函数f X有反函数，并求出反函数
(2)反函数的图像是否经过点(0,1 )?反函数的图像与y
(3)设反函数y=f'(x)，求不等式f'(x) -0的解集.
x有无交点?
【巩固训练】
-------- x 匸 2 — 2
1定义两种运算a - b —. a 2 - b 2, a b a - b |，则函数f (x)
的解析式是( )
2㊉x
2•若函数f(x)的定义域为1-2,2 ],则函数f( x)的定义域是
x - 1
3.求y =二 在x • [2, 4]上的最大值和最小值.
x +2x
4.已知函数f 屮 的值域为丨-1,4丨，求实数a,b 的值.
x +1
x
A °心厂，…-
x
B f(x —E ，x
C .
(-2,2).
x (-叫 - 2)
(2, •：：).
y = f '(X 1)，则 f 2016
f(x)
x ( Y , _ 2)
(2, •:：).
f (x)=
5•已知函数f(x)定义在R上，存在反函数，且f (9) =18，若y=f(xV)的反函数是
三、函数的性质
【例17】若函数y = f (x),x • D，为非奇非偶函数，则有(
(A) 对于任意的x D，都有f(-x；) = f(xj且f(-xj - f(x)；
(B) 存在x D，使f (-X；) = f (x.)且f (-xj = - f (无)；
(C) 存在X i,X2 D，使f (-X i) = f (x i)且f (_X2)= - f(X2)；
(D) 对于任意的x D，都有f(「X：) = f (x)或f (「X-,) = - f(X,)-
【例18】已知f(x、g(x)的定义域均为R , f (x )是偶函数，g(x )是奇函数，且f (x )+g( x)= 2X*，则
f x 二 ______ ,
g X 二_______
』 1
【例19】f 的单调递增区间____________
x-2x
【例20】已知函数f(x)=x2•旦，(x=0, R)，若函数f (x)在2, 上为增函数，求a的取值范围.
x
_2 +a
【例21】已知定义在R上的函数f(x) 刁(a,b为实常数)，
2^+b
(1)当a =b =1时，证明：f(x)不是奇函数；
(2)设f (x)是奇函数，求a与b的值；
(3)当f (x)是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f(x) ：：：C2-3C 3成立.
【例22】若f (x)是R上的奇函数，且f(x)在［0,；)上单调递增，则下列结论：①y=| f(x)|是偶函数；②对任意
的x R都有f (-x) | f(x)|=0 ；③y = f (-x)在(-二,0］上单调递增；④y = f (x)f(-x)在(-：：,0］上单调递增•其中
正确结论的个数为( )
A . 1B. 2C. 3D. 4
【巩固训练】
x
1.设a>0, f(x) = e+段是R上的偶函数，贝U a = ______________
a e
X<]
€(主)=口1叭片 + 2)———(GE R), x>I f +1
若对任意的 .
1(.
■，均有.：「：_ ：2、；，则实数 的取值范围是
4.已知集合 M 是满足下列两个条件的函数
f (x)的全体：①f (x)在定义域上是单调函数；②在
存在闭区间［a,b ］,
使f(x)在
［a,b ］
上的值域为|，2 •若函数g(x)……，g(x)
取值范围是 _________________ .
2 •设函数f(x)是定义域为R 的奇函数,
1
f
(1
h 2，
(x 2) = f(x) f (2)，求 f (5)的值.
3.已知函数二 1
-- + log. X
2 ®
f (x)的定义域内
M ，则实数m 的
Y Y
5•设函数 g(x) =3 , h(x) =9 .
(1)解方程:x log 3(2g(x) -8) = log 3(h(x)
9)；
)--P(竺)PC 2013) =q(丄)q 』)
m 2012) q(竺)； 2014 2014 2014
2014
2014 2014
(3)若f(x)=:也
是实数集*上的奇函数，且 f(h(x)-1) • f(2-k ・g(x)) . 0对任意实数x 恒成
g(x )+b
立，求实数k 的取值范围.
6•问题求方程3x 4^5x 的解”有如下的思路：方程3x 4^5x 可变为(5)x (5)^1,考察函数f(x)二(5)x (5)x 可知，f(2)=1,且函数f(x)在R 上单调递减，•••原方程 有唯一解x =2 •仿照此解法可得到不等
式：
(2)令 p(x)
g(x)
, q(x)
g(x) .3
，求证:
h(x) 3
1 2 P( ) - P(- 2014
2014
x6—(2x+3) A(2X+3)3—x2的解是________ •
四、幕指对函数
2
【例23】已知幕函数y=x m之心(m^Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.
【例24】已知函数f(x) =ab x・c(b .0,b=1), x・［0,；)，若其值域为［-2,3)，则该函数的一个解析式可以为
f(x) = _________ .
【例25】如果函数f (x) =|lg |2x-1||在定义域的某个子区间(k -1,k 1)上不存在反函数，则k的取值范围是_________ .
【例26】函数f(x)=log2 2x 1的反函数为y=f'(x)，若关于x的方程「(x)二m，f(x)在［1, 2］上有解,
则实数m的取值范围是 _______ .
1
【例27】已知a R，函数f(x) =log2( a).
x
(1)当a = 5时，解不等式f(x) 0 ；
(2)若关于x的方程f (x) -log2[(a -4)x • 2a -5] =0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
1
(3)设a・0,若对任意r [-,1]，函数f(x)在区间[t,t 1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值
范围.
【巩固训练】
1 .下列命题中：
⑴幕函数的图像不可能出现在第四象限;
⑶幕函数的图像都经过点(0,0)、(1,1); 其中正确的命题序号是_____________ .
⑵ 当n=0时，y=x n的图像是一条直线；
⑷ 若幕函数y=x n为奇函数，贝U y二x n在定义域内为增函数
2. f (x)= x
a -2
x
1 2
,a • T，求值域，讨论奇偶性.
3.若y=log a(2-ax)在］0, 1］上是减函数，贝U a的取值范围是_________
4•若方程(lgax)(lg ax2) =4所有的解都大于1，求a的取值范围
5•设m、R，定义在区间［m,n］上的函数f (x) = log? (4-| x|)的值域是［0,2］，若关于t的方程
口］+m+1=0 ( W R )有实数解，则m + n的取值范围是 ______________________
2
2.基本不等式.
(1)应用公式的条件：a2b2-2ab的条件是a,b・R ；. ab的条件是a,b R .
2
2 2 a + b J—
(2)取等号的条件：a b -2ab和ab取等号的条件都是a = b .
2
3•函数定义域是研究函数的前提.
4.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x) - f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，
比较便于判断•要清楚认识奇偶性与周期的判断方法(有形用形，没形用代数式即定义证明) •应用方面：形--对称
作图、平移作图；数--f(x)与f(-x)互求、f(x+T)与f(x)互求，提升理解为x,y两者具备一定量关系的互求.
5•函数单调性判断的依据是定义，复合函数结论。

应用方向：比较大小，求最值值域(x的大小与y的大小的互求)
2•函数
4
3.已知x 1，则函数y =3x
1的最小值是 __________________
x —1
4.已知 fg^XX-1
J,
f(2x ) =5(其中 x 0)，则 x 二 _______________ 4
x 2
-X 十1
5.
若x 1，则函数y _____ 的最小值为
x T
6•函数f
（X ）= 1 - ■ X -1 （ X - 2）的反函数是 ______
7•函数y = f x 的反函数为y = f ' x ，如果函数y = f x 的图像过点 2,-2，那么函数y = f 一1
-2x 1 的图像一定过点 .
1.已知
A - ;x
「11
a 2 x 5
b = 0?，且 A\ B .，则 AU B = ______________
课后练习
y = ig(x-i)
8设定点A(0,1)，若动点P 在函数y = U(x . 0)图像上，则PA 的最小值为 _____________________
x
(其中a,b 为常数)，则函数g(x) = a
x
b 的大致图象是(
)
10•设函数F(x)和f(x)都在区间D 上有定义，若对 D 的任意子区间［u,v ］，总有［u,v ］上的实数p 和q ，使得不 等式f (p) _ F(u) _F(v)乞f (q)成立，则称F(x)是f(x)在区间D 上的甲函数，f(x)是F(x)在区间D 上的乙
U —V
2
函数•已知F(x) -x -3x,x ・R ，那么F(x)的乙函数f(x)二 ________________ •
2 5 1
11.设 p,q 是两个命题：p ： log j (x —3)>0 , q : x — — x+ — >0，贝U p 是q 的( ) 2 6 6
A •充分而不必要条件
B •必要而不充分条件
C .充分必要条件
D •既不充分也不必要条件
12 •已知不等式ax 2 x ^0的解集为 R ,且不等式x 2 - 2 a • c x • a c -- - 0的解集为R ,则
2
2
cx ■ c x a 0的解集是( )
A •、
B • R
C •心
D •不能确定
3
13.若函数f(x) =x -ax ( a 0 )的零点都在区间［-10,10］上，则使得方程 f(x)=1000有正整数解的实数 a 的 取值个数为
( )
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9•若函数f(x) =log a (x b)的图象如左下图所示
(C )
(A) (B)
(D)
2x _ _
14•设函数f (x) (x. R)，区间M =[a,b] , (a ::: b)，集合N 二｛ y | y = f (x),x・ M｝，则使M =N 成立的实
1 + |x|
数对a, b有( )
A . 3对；
B . 5对；
C . 1对；
D .无数对.
15.己知函数f (x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当「J是定义域中的数时，有：
畑)「f^i)
②f(a) =- 1 (a>0, a是定义域中的一个数)；
③当0v x v 2a 时，f (x)v 0.
试问：(1) f (x)的奇偶性如何？说明理由；
(2)在(0, 4a)上,f (x)的单调性如何？说明理由.
16•设函数f(x)的定义域为D，值域为B，如果存在函数x =g(t)，使得函数y = f (g(t))的值域仍然是B，那么，称函数x =g(t)是函数f (x)的一个等值域变换，
(1)判断下列x=g(t)是不是f(x)的一个等值域变换？说明你的理由；
(A) f (x) =2x b,x R，x 二g(t) =t -2t 3,t R ；
2 t
(B) f(x)=x —x+1,x^R，x = g(t) =2 ,t 乏R ；
2
(2)设f(x) =log2X的值域B珂1,3］，已知x = g(t) = mt
「
3t
n是f(x)的一个等值域变换，且函数
t +1
f (
g (t))的定义域为R，求实数m, n的值；
(3)设函数f (x)的定义域为D，值域为B，函数g(t)的定义域为D1，值域为
B1，写出x二g(t)是f (x)的一个等值域变换的充分非必要条件(不必证明) ，并举例说明条件的不必要性.
i. x >au 乂“或<:-a (a>0)；
1 1
31。