北京市东城171中2024学年高三第一次统考数学试题

北京市东城171中2024学年高三第一次统考数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2x
f x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式
()212f x -<-<的解集是（ ）
A ．()0,2
B ．()2,2-
C ．()1,1-
D ．()1,3
2． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．
的是( )
A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大
B ．这五年，2015年出口额最少
C ．这五年，2019年进口增速最快
D ．这五年，出口增速前四年逐年下降
3．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，
且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154
x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
4．已知{}
1A x x =<，{
}
21x
B x =<，则A B =（ ）
A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,-+∞
D ．(),1-∞
5．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ）
A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
6．为得到
的图象，只需要将的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位 7．函数52sin ()([,0)
(0,])33x x
x x
f x x -+=
∈-ππ-的大致图象为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知斜率为2-的直线与双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且
4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）
A 5
B ．3
C 3
D ．
32
4
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB
为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．3y x =
B ．33
y x =± C ．2y x =±
D ．12
y x =±
10．已知平面向量,a b ，满足1
,13
a b =
=，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6
π
B ．
3π C ．
23
π D ．
56
π
11．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M ,N 两点,若||6MN =
,则
MNF 的面积为( )
A ．
28
B ．38
C ．
32
8
D ．
32
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
14．将函数()sin f x x =的图象向右平移3
π
个单位长度后得到()y g x =函数的图象，则函数()()y f x g x =⋅的最大值为______.
15．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值是 ．
16．若函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，
M 为线段11C D 上一点，且满足1111
4
MC D C =，F 为MC 的中点.
（1）求证：//EF 平面1A DC ；
（2）求二面角1
N AC F --的余弦值. 18．（12分）已知函数2
()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+
-a
g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值
（3
）证明
()*
1
1
ln(21)2
=>
+∈n
k n n N
19．（12分）已知函数()2x
f x xe x =- （1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围. 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin 3cos 2
cos 3sin x y θθθθ=--⎧⎨
=+⎩
（θ为参数），坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，D 是曲线1C 上的动点，求ABD △面积的最大值. 21．（12分）已知函数2
1()ln 2
f x x mx x =
++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <
，2
m ≤-
，求()()12f x f x -的最小值. 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且
2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H
点，4OH =
C
的离心率为
2
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-，求ABO ∆的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解题分析】
先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【题目详解】
据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21x
f x x =+-.分析知，函数()f x 在R 上为增函数.
又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【题目点拨】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 2．D 【解题分析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【题目详解】
对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确； 对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；
对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 3．D 【解题分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【题目详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得2
22
66a a b
=--，解答222b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4．D 【解题分析】
分别解出集合,A B 、然后求并集. 【题目详解】
解：{}{
}
111A x x x x =<=-<<，{
}{
}
210x
B x x x =<=<
A B =(),1-∞
故选：D 【题目点拨】
考查集合的并集运算，基础题. 5．A 【解题分析】
先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =
+，故可得11
33
AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得2
3
BP AB AC =-
+，故可计算λμ+的值． 【题目详解】
因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，
所以11311
,22222AD AB AC AP AB AC =
+∴=+, 所以11
33
AP AB AC =+,
所以21
33
BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+， 所以211
=,,333
λμλμ-=∴+=-，故选A ．
【题目点拨】
对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()
1
3
AG AB AC =
+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()
1
3
AG AB AC =
+，那么G 为ABC ∆的重心． 6．D
【解题分析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 7．A 【解题分析】 因为5()2sin()52sin ()()3333
x x x x
x x x x
f x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-π
π
π=>-，排除C ，故选A ．
8．B 【解题分析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【题目详解】
4OM y k x =
=-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222
()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，
∴2121221212()()AB
y y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，22228,13b b e a a
∴=∴=+=．
故选：B ． 【题目点拨】
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系． 9．B 【解题分析】
由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又2
22b MN c
==，从而可得C 的渐近线方程.
【题目详解】
设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由
222
22
221
x y c x y a
b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b y
c =±，所以2
22b
MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =
，所以a =C 的渐近
线方程为3
y x =±. 故选B 【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 10．C 【解题分析】
根据2a b a b +=+， 两边平方2
2
2a b a b +=+，化简得()
2
23ab a =-，再利用数量积定义得到
()
2
2cos ,3a b a b a =-求解.
【题目详解】
因为平面向量,a b ，满足1
,13
a b ==，且2a b a b +=+， 所以2
2
2a b a b +=+， 所以()2
23ab a =-，
所以 ()
2
2
cos ,3a b a b a =-，
所以1cos ,2
a b =-
，
所以a 与b 的夹角为23
π. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 11．C 【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【题目详解】 ∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，
∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 12．B 【解题分析】
由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==，MN =得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4
π
，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【题目详解】
由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，
由于C M C N ''==MN =C M C N ''⊥，∴4
C MN π
'∠=，4
NOx π
∠=
，
∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =，2
p =
，
∴4
F ，1132248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯
=． 故选：B.
【题目点拨】
本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．54π 【解题分析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【题目详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6
223654V r h πππ==⨯⨯=
故答案为：54π 【题目点拨】
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题. 14．
34
【解题分析】
由三角函数图象相位变换后表达()g x 函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理()()f x g x 的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.
【题目详解】
将函数()sin f x x =的图象向右平移
3π
个单位长度后得到()sin 3y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝
⎭函数的图象， 则21313
()()sin sin sin sin cos sin sin cos 32222y f x g x x x x x x x x x π⎛⎫⎡⎤⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 11cos 231111311sin 2cos 2sin 2cos 222224222423x x x x x π⎛⎫-⎛
⎫=⋅-⋅=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以，当cos 213x π⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭函数最大，最大值为113
424
+= 故答案为：
34
【题目点拨】
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题. 15．
25
5
【解题分析】
试题分析：由三角函数定义知15cos 55
α=
=，又由诱导公式知5
cos()5cos παα-=-=-，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式． 16．0a =或1
2
a ≥ 【解题分析】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-的零点⇔方程224x a x a -+=的根，求出方程的两根为14x a =-，20x =，从而可得40
a -=或42a -≤-，即0a =或1
2
a ≥. 【题目详解】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞的零点⇔方程224x a x a -+=在区间(2,)-+∞的根，所以|2|2||x a x a -=+，
解得：14x a =-，20x =， 因为函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，
所以40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【题目点拨】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析（2）270
35
- 【解题分析】
（1）解法一： 作1D D 的中点H ，连接EH ，FH .利用三角形的中位线证得1//EH A D ，利用梯形中位线证得//FH CD ，由此证得平面1//A DC 平面EHF ，进而证得//EF 平面1A DC .解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线EF 的方向向量和平面1A DC 的法向量垂直，证得//EF 平面1A DC .
（2）利用平面1A CN 和平面1A FC 法向量，计算出二面角1
N AC F --的余弦值. 【题目详解】
（1）法一：作1D D 的中点H ，连接EH ，FH .又E 为11A D 的中点，∴EH 为11A DD ∆的中位线，∴1//EH A D ，又
F 为MC 的中点，∴FH 为梯形1D DCM 的中位线，∴//FH CD ，在平面1A DC 中，1A D CD D =，在平面EHF
中，EH
FH H =，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF ⊂平面EHF ，∴//EF 平面1A DC .
另解：（法二）∵在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，
则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，
(0,4,0)C ，1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，
1(2,4,2)B ，1(0,4,2)C ，(1,0,2)E ，
(1,4,0)N ，(0,3,2)M ，70,,12F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则110
0m A D m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
(,,)(2,0,2)0(,,)(2,4,2)0x y z x y z ⋅--=⎧⇒⎨⋅--=⎩020x z x y z +=⎧⇒⎨
-+=⎩， 令1x =，则1z =-，0y =.∴(1,0,1)m =-，又71,,12
EF ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
， ∵0EF m ⋅=，EF m ⊥，又EF ⊄平面1A DC ，//EF 平面1A DC . （2）设平面1A CN 的一个法向量为()111,,n x y z =，
则1100n A N n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()()111111
,,(1,4,2)0
,,(2,4,2)0x y z x y z ⎧⋅--=⎪⇒⎨⋅--=⎪⎩42020x y z x y z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，
令1y =，则2z =，0x =.∴(0,1,2)n =.
同理可算得平面1A FC 的一个法向量为1(3,2,1)m = ∴111270
cos ,35
m n m n m n
⋅=
=
⋅， 又由图可知二面角1N AC F --的平面角为一个钝角， 故二面角1
D AC N --的余弦值为270
35
-.
【题目点拨】
本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
18．（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解题分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，
可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()2
20000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；
（3）由（1）知
()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x
>，取*21,21k x k N k +=∈-，可得
ln(21)ln(21)
k k >+--，而
=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果. 【题目详解】
（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '
=--，
令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x
-=
，由()'0h x =，可得1x =，
可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：
()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；
（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x
'
=-
-， 由已知得()'0g x =，即2
0002ln 0x x x a --=，①
由()02g x =可得，()2
2
0000ln 20x x x x a --+=，②
联立①②，消去a ，可得()2
0002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2
()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)
'()2x x x t x x x x
--=-
-=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，
01,1x a ∴==；
（3）证明：由（1）知()2
2ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，
故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，222
2ln 1()1
()0x x x f x g x x x
'
---==>，
可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，
因此，当1x >时，()()12g x g >=，即2
1(ln )2x x x +->
，亦即2
2(ln )x >，
0,ln 0x >>
ln x >，取*21
,21k x k N k +=∈-，
ln(21)ln(21)k k >+--
=，
故
1
(ln(21)ln(21))ln(21)n
k n
k k k π==>+--=+∑
1
1
ln(21)()2
n
i x n N *=∴>+∈.
【题目点拨】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 19．（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <- 【解题分析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可. 【题目详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x
f x x e f e '=+-=-， 此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--. （2）由已知()22ln x
g x xe x x =--， 故1
2'()(1)2(1)(1)()x
x
g x x e x e x
x
=+-+=+-. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，
设2()x
h x e x =-
由于2()x
h x e x
=-在(0,)+∞单调递增 同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞， 故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >， 所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >， 所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值， 故0min 0000()()2(ln )x
g x g x x e x x ==-+
由于0
000000
2
()02ln ln 2x x h x e x e x x x =-
=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20．（1）()2
21:210C x y ++=
，2:40C x +=；（2
）)
31.
【解题分析】
（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数θ，可得出曲线1C 的普通方程，将曲线2C
的极坐标方程变形为
cos sin 40ρθθ++=，进而可得出曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求出点D 到直线AB 的最大距离，以及直线2C 截圆1C 所得弦长AB ，利用三角形的面积公式可求得ABD △面积的最大值. 【题目详解】
（1）由曲线1C 的参数方程得2sin 3cos cos 3sin x y θθ
θθ
+=-⎧⎨
=+⎩，
()()()2
2
2
22sin 3cos cos 3sin 10x y θθθθ∴++=-++=.
所以，曲线1C 的普通方程为()2
2210x y ++=，
将曲线2C
的极坐标方程变形为cos sin 40ρθθ++=，
所以，曲线2C
的直角坐标方程为40x +=； （2）曲线2C 是圆心为()2,0-
，半径为r = 圆心()2,0-
到直线40x +=
的距离为1d =
=，
所以，点D
到直线40x ++=
的最大距离为1d r +=
6AB ==， 因此，ABD △的面积为最大值为(
)(
)
11
613122
AB d r ⋅+=⨯⨯+=.
【题目点拨】
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）[
)2+-∞，
（2）3
ln 24
- 【解题分析】
分析：（1）先求导，再令()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，得到()1
x m 0,x
∞+
≥-+在上恒成立，利用基本不等式得到m 的取值范围.(2)先由()2110x mx f x x m x x ++=++=='得到
1212 ,1x x m x x +=-=，再求得()()112122211ln
2x x x f x f x x x x ⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
，再构造函数()1211 t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫
==--<< ⎪⎝⎭
令
（）再利用导数求其最小值. 详解：（1）由函数()2
1ln 2f x x mx x =
++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为，
由()1
,f x x m x
=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，
()1
x m 0,x
∞∴+≥-+在上恒成立
1
x 0,x 2,x 12x
>+≥==当且仅当时取到最小值
m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得
[
)m 2+∞∴-的取值范围为，
（2）由()1知()()()1
f x 0,,f x x m x
∞+='+
+定义域为， 令()211
0x mx f x x m x x
++=++=='，即210x mx ++=
由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x << 故12,x x 为方程210x mx ++=的两根， 1212,1x x m x x ∴+=-=，
∴ ()12m x x =-+，2
2121221
,x x x x x x =
= 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=
++-++ ⎪⎝⎭
()
()2
2112122
1ln 2x x x m x x x =
-+-+ ()()
2
222112122
1ln 2x x x x x x =
---+ ()
2
211221ln
2
x x x x =-- 1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫
<<==--<< ⎪⎝⎭
令
则 由()211122g x t t =-+' ()2
2102t t -=-
<，则()()0,1g t 在上单调递减
3 2
m ≤-
又
，即()12
x x -+≤12x x ∴+≥
()2
221212121221192222
x x x x x x x x t x x t ∴+=++=
++=++≥ 15
2
t t ∴+≥
1
22
t t ∴≥≤或
由01t <<知102
t <≤
()11113
ln 2ln222224
g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上所述，()()12f x f x -的最小值为
3
ln24
-. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出()()112122211ln
2x x x f x f x x x x ⎛⎫
-=-- ⎪⎝⎭
,其二是构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭
令
（）再利用导数求其最小值. 22．（1）2212x y +=；（2
）
5
. 【解题分析】
（1）根据离心率以及22MF OH =，即可列方程求得,,a b c ，则问题得解；
（2）设直线方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的0OA OB ⋅=，即可求得参数m ，则三角形面积得解. 【题目详解】
（1）设2(,0)F c ，由题意可得222
221,M x y b y a b a
+==±
. 因为OH 是12F F M ∆
的中位线，且4
OH =
所以2||MF =
2b a =
因为2222
c e a b c a =
==+ 进而得2
2
1,2b a ==，
所以椭圆方程为2
212
x y +=
（2）由已知得22OA OB OA OB +=-两边平方 整理可得0OA OB ⋅=.
当直线l 斜率为0时，显然不成立.
直线l 斜率不为0时，
设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，
联立22
112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22
(2)210m y my +--=， 所以1212
2221
,22
m y y y y m m -+=
=++， 由0OA OB ⋅=得12120x x y y += 将11221,1=-=-x my x my 代入 整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，
展开得2
121212()10m y y m y y y y -+++=，
整理得2
m =±
，
所以11212ABO S OF y y ∆=
-=
即为所求. 【题目点拨】
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.。