均值不等式及其应用- 高一数学 (人教B版2019必修第一册)

2.2.4 均值不等式及其应用
一、单选题
1．若a ，b 都为正实数且1a b +=，则2ab 的最大值是（ ）
A ．29
B ．18
C ．14
D ．12
【答案】D
【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为a ，b 都为正实数，1a b +=， 所以212222
a b ab +⎛⎫≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =，即11,22a b ==时，2ab 取最大值12. 故选：D
2．已知0x >，则2x x +
的最小值为（ ） A 2B ．2 C ．22D ．4 【答案】C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为0x >，则22222x x x x +≥⋅=，当且仅当2x x
=，即2x =时取“=”， 所以2x x +的最小值为22. 故选：C
3．函数y ＝3x 2＋
261x +的最小值是( ) A ．2－3
B ．3
C ．2
D ．23 【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】()()
2222663132313218362311y x x x x =++-≥+⋅-=-=-++， 当且仅当221x =-时等号成立.
故选：D .
4．若关于x 的不等式()226910ax a a x a -++++<的解集是{}x m x n <<，则11m n
+的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2 【答案】A 【分析】根据三个“二次”的关系可知，x m =和x n =是方程()226910ax a a x a -++++=的两根，由韦达定
理求出,m n mn +，即可将11m n
+化成关于a 的式子，变形，由基本不等式即可求出其最小值． 【详解】根据题意可得x m =和x n =是方程()226910ax a a x a -++++=的两根且0a >，即269a a m n a
+++=，1a mn a
+=. 故()()()2214141169414448111
a a m n a a a m n mn a a a ++++++++====+++≥+=+++， 当且仅当1a =时，等号成立.
故选：A ．
5．已知 0,0x y >>且141x y
+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ B ．{}|3x x ≤-} C ．{}|1x x ≥ D ．{}|91x x -<<
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取x y +的最小值，从而可求实数m 的取值范围.
【详解】∵0,0x y >>，且141x y
+=， ∵1444()()5259y x y x x y x y x y x y x y
+=++=++≥⋅+=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∵min ()9x y +=，
由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，
解得：91m -<<，
故选：D.
6．已知,x y 为正实数，且2x y xy +=，则2x y +的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】C
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为2x y xy +=，所以121y x
+=，而,x y 为正实数， 所以()214244248x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当4,2x y ==时取等号，故2x y +的最小值为8. 故选：C
7．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式
2351m m x y +>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}41m m -<<
B ．{1m m <-或}4m >
C ．{}14m m -<<
D ．{0m m <或}3m > 【答案】C
【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦
()16114202941x y x y ⎡⎤+≥+⋅=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当
()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<，
即 ()()410m m -+<，解得14-<<m .
故选：C.
8．已知正实数,a b 满足
4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 【答案】B
【分析】令211a b a b b +=+++-，用1a b b +++分别乘
4111a b b +=++两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为4111
a b b +=++，且,a b 为正实数 所以1(414(1))41111)(a b b a b b a b b a b b a b b +++=++++++++=+++++
4(1)5291a b b b a b
++≥+⨯=++，当且仅当4(1)1a b b b a b ++=++即2a b =+时等号成立. 所以219,28a b a b ++≥+≥.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A ．若a ，b R ∈，则44222a b a b +≥
B ．若a ，b R ∈，则66
332
a b a b +≤ C ．若0a >，0b >，则()()()()11211a b a b -+-≥--D ．若a ，b R ∈，则2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD
【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可.
【详解】解：对于A 选项，由()2
220a b -≥，得44222a b a b +≥，故A 正确； 对于B 选项，由()2330a b -≥，得66332a b a b +≥，即6633
2a b a b +≤，故B 正确； 对于C 选项，虽然0a >，0b >，但不一定有10a ->，10b ->，故C 不一定成立，故C 不正确；
对于D 选项，由基本不等式2a b ab +≥，得2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题.
10．设0a >，0b >，则下列说法正确的是（ ）
A 12ab a b ≤+
B ．2+ab ab a b
C 2
4ab ab ≥D ．11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
【答案】CD
【分析】根据特值可判断A ，利用基本不等式可判断BCD.
【详解】因为0a >，0b >，
令1a b ==，则1 1.52ab a b
+=>+，故A 错误． 因为20a b ab +≥>，
所以222ab a a b ab a b b
≤=+，当且仅当a b =时取等号，故B 错误； 所以22
()(2)4a b ab ab ab ab
+≥=，当且仅当a b =时取等号，故C 正确； 因为()112224b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等号，故D 正确. 故选：CD.
三、填空题
11．函数y =1-2x -3x
(x <0)的最小值为_______. 【答案】1+26
【分析】因x <0，则-2x 与3x
-是二正数，利用基本不等式求解即得.
【详解】因为x <0，所以y =1-2x -3x =1+(-2x )+3()x -≥1+23(2)()x x -⋅-=1+26，当且仅当x =-62
时取等号，故y 的最小值为1+26. 故答案为：1+26
12．已知0a >，0b >，21a b +=，则1a a b
+的最小值为______. 【答案】4
【分析】把21a b +=代入12a b a a b a b
+=++，再用基本不等式即可. 【详解】0a >，0b >，21a b +=，12224a b a b a a b a b a b
∴+=++≥+⋅=， 当且仅当13
a b ==时取等. 故答案为：4
【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型.
13．已知0a >，0b >，则()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的最小值为___________. 【答案】18
【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.
【详解】0a >，0b >，
()2828101021088128b a b a b a b a a b a b =++≥+⨯=⎛⎫∴+⎝⎭
++= ⎪ 当且仅当28b a a b =，即2b a =时，等号成立，()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
∴的最小值为18. 故答案为：18.
14．已知实数x ，y 满足223x y +=，则
2211(2)(2)x y x y ++-的最小值为__________． 【答案】415
【分析】通过换元，设2(2)x y m +=，2(2)x y n -=，再根据题干中223x y +=这个条件，即可得到15m n +=，然后利用均值不等式即可得到答案.
【详解】设2(2)x y m +=，(0)m >，2(2)x y n -=，(0)n >
可得2222(2)(2)5()15m n x y x y x y +=++-=+=，
则2211111114()()(2)(22)(2)(2)15151515
n m n m m n x y x y m n m n m n +=++=++≥+⋅=+-. 当且仅当
n m m n =，即152m n ==时，等号成立. 故答案为：415
.
四、解答题
15．已知关于x 的不等式2250ax bx a +-+<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭． (1)求实数a ，b 的值；
(2)若0m >，0n >，且1am bn +=，求
1n m n +的最小值． 【答案】(1)3a =，2b =．
(2)232+
【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数,a b ；
（2）先求出321m n +=，利用基本不等式求解
1n m n +的最小值. （1）
因为关于x 的不等式2250ax bx a +-+<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，
所以1-和13是方程2250ax bx a +-+=的两个根，所以250,11250,9
3a b a a b a --+=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 解得3,2.
a b =⎧⎨=⎩ 当3a =，2b =时，2250ax bx a +-+<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，符合题意，所以3a =，2b =． （2）
由（1）知3a =，2b =，所以321m n +=，
又0m >，0n >，所以
132********n n m n n m n m m n m n m n m n ++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当3n m n m =，即2333
m -=，23n =-时等号成立，所以1n m n +的最小值为232+． 16．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入()
216006x -万作为技改费用，投入1505x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【答案】(1)40元
(2)当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【分析】1（）根据条件列出不等式26510000t t -+≤，解不等式即可；
2（）将问题转化为不等式有解问题()2112585060056ax x x ≥⨯+++-有解，然后分离参数1501165
a x x ≥++有解，利用基本不等式求最值．
（1）
设每件定价为t 元，依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭
， 整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）
依题意知，当25x >时，不等式()2112585060056
ax x x ⨯+++-有解， 等价于当25x >时，1501165a
x x ++有解， 由于1501150121066
x x x x +⨯=，当且仅当1506x x =，即30x =时等号成立， 所以10.2a ≥．
答：当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入 不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。