【3年高考2年模拟】(新课标)版高考数学一轮复习 9.3椭圆课件

焦点在y轴上
x2 b2 y2 2 a+
标准方程 ②
) 图形
=1(a>b>0 ③ =1(a>b>0
x2 a2 y2 2 + b
)
焦点坐标 对称性 ④ F1(-c,0),F2(c,0)
⑤ F1(0,-c),F2(0,c)
关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2 (0,b)
.
2
答案 x
3 2 + 2 y =1
解析
不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<
1,c>0).
AF F1 B 又∵|AF1|=3|F1B|,∴由 =3 B 1 得
5c 2 b 2 y2 25c 2 , =1得 + , 代入 x+3 3 b 2 =1, 9
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) |x|≤b,|y|≤a
范围 长轴、短轴 离心率
|x|≤a,|y|≤b
长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长为2b
e=⑥Leabharlann c ax2 y 2 1.设P是椭圆 + =1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等 25 16
x2 4.已知P是椭圆 +y2=1上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°, 4
则△F1PF2的面积是
.
答案
3 3
解析
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=4.
2 2 又 r12 + r22 -2r1r2cos 60°=|F1F2| ,即(r1+r2) -3r1r2=12,
3 4 1 ∴r1r2= ,S = r1r2sin 60°= .
3 2
3
5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 ,且过P(-5,4),则椭圆的 方程为
5 5
.
x2 y 2 + =1 45 36 x2 y2 5 2 2 2 2 由e= 可得a =5c ,所以b =4c ,故椭圆的方程为 + =1,将P(-5, 5c 2 4c 2 5
解析
(1)设椭圆的标准方程为
x2 y 2 y 2 x2 + =1或 + =1(a>b>0). 2 2 2 2 a b a b
由已知得a=2b,由于椭圆过点A(2,-6),
22 (6) 2 (6) 2 22 从而有 + =1或 +2 =1, a2 b2 a b2
解得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13.
于 (
)
A.4
答案
B.5
D
C.8
D.10
由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=10,故选D.
2.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于 ( A.
)
1 2
B.2
C.4
D.
1 4
答案 D
2 y 1 1 2 由x + 1 =1(m>0)及题意知,2 =2×2×1,m= ,故选D. m 4 m
2
答案
解析
2 2 x y 4)代入可得c =9,故椭圆的方程为 + =1. 45 36
典例题组
求椭圆的标准方程 典例1 (2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x + =1(0<b<1)的左、右
2
y2 b2
焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的 方程为
3.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 ( A.
1 3
)
B.
3 3
C.
2 2
D.
1 2
2 2 x y 答案 B 2x2+3y2=m(m>0)⇒ m +m =1, 2 3 m m m 1 ∴ c2= - = ,∴ e2 = ,∴e3 = .故选B. 2 3 6 3 3
1-1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,-6);
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6; (3)椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆
2 3
的长轴长是6,且cos∠OFA= ;
6 (4)椭圆过点(3,0),且离心率e= . 3
∴A不是长轴的端点,而是短轴的端点.
又椭圆的长轴长是6,∴|AF|=a=3,又|OF|=c,
∴ = .∴c=2,∴b2=32-22=5.
x2 y 2 x2 y 2 ∴椭圆的标准方程是 + =1或 + =1. 9 5 5 9
c 2 3 3
(4)当椭圆的焦点在x轴上时,
a=3, = ,∴c= 6, 从而b2=a2-c2=9-6=3,
b4 9b 2
又c =1-b ,∴b
2
2
2
2 = . 3
故椭圆E的方程为x2+ y2=1.
3 2
求椭圆标准方程的方法: (1)定义法:根据题目条件判断是否满足椭圆的定义,若满足,求出相应的a,b, 即可求得方程. (2)待定系数法:首先确定焦点所在的位置,然后根据条件建立关于a,b的方 程组.若焦点位置不确定,则要分类讨论.有时为了解题方便,也可把椭圆方 程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式.
课标版 § 9.3
理数 椭 圆
知识梳理
1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的① 距离的和 等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距 离叫做椭圆的焦距,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). 2.椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
x2 y2 y 2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1或 + =1. 148 37 52 13
(2)如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=
c,|A1A2|=2b,2c=6,
∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18.
x2 y 2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9 2 (3)∵cos∠OFA= , 3
x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 3
c a
6 3
当椭圆的焦点在y轴上时,
2 2 a b 6 c b=3, = ,∴ = ,∴6 a2=27. 3 a a 3 x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 27 x2 y 2 x2 y 2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1或 + =1. 9 3 9 27