2020年初三数学上期末试卷带答案(1)

2020年初三数学上期末试卷带答案(1)
一、选择题
1．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1
B ．m ＞1
C ．m≥1且m≠3
D ．m ＞1且m≠3
2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
3．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．50°
D ．55°
4．二次函数236y
x x =-+变形为()2
y a x m n =++的形式，正确的是（ ）
A ．()2
313y x =--+ B ．()2
313y x =--- C ．()2
313y x =-++ D ．()2
313y x =-+-
5．一元二次方程x 2+x ﹣
1
4
＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根
D ．无法确定
6．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．若抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为( ) A ．k ＞﹣1 B ．k ≥﹣1
C ．k ＞﹣1且k ≠0
D ．k ≥﹣1且k ≠0
8．下列函数中是二次函数的为（ ）
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝3x 2－1
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝x 3＋2x －3
9．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( )
A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9-
10．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A ．确定事件 B ．必然事件 C ．不可能事件 D ．不确定事件
11．如图，AOB V 中，30B ∠=︒．将AOB V 绕点O 顺时针旋转52︒得到A OB ''△，边
A B ''与边OB 交于点C （A '不在OB 上），则A CO '∠的度数为（ ）
A ．22︒
B ．52︒
C ．60︒
D ．82︒
12．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
A ．4－
9
π
B ．4－
89
π C ．8－
49
π D ．8－
89
π 二、填空题
13．如图，将二次函数y ＝
1
2
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
14．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．
15．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．
16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOE ＝78°，点C 、D 是弧BE 的三等分点，则∠COE ＝_____．
18．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y=ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为_____．
19．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B 出发，沿表面爬到母线AC 的中点D 处，则最短路线长为_____．
20．函数 2
y 24x x =-- 的最小值为_____.
三、解答题
21．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用3
5y x =+表示，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，且30OAB ︒∠=．在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用2
13
y x bx c =-
++表示．
（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）求水柱离坡面AB 的最大高度；
（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 22．若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为a 、十位上的数字为b ，三位数t 是“差数”，我们就记：()()F t b a b =⨯-，其中，19a ≤≤，09b ≤≤．例如三位数514．∵514-=，∴514是“差数”，∴()()5141514F =⨯-=．
（1）已知一个三位数m 的百位上的数字是6，若m 是“差数”，()9F m =，求m 的值；
（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为n ，请判断n 是不是“差数”，若是，请求出()F n ；若不是，请说明理由．
23．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程
230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．
24．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ． （Ⅰ）求证：∠A ＝∠EBC ；
（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE ＝130°，求∠CED 和∠BDE 的度数．
25．解方程： （1）x 2-3x+1=0；
（2）x （x+3）-（2x+6）=0．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】
解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根，
∴2
30
(4)4(3)(2)0m m -≠⎧⎨∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由AC 是⊙O 的切线可得∠CAB=90︒,又由50C ∠=︒，可得∠ABC=40︒;再由OD=OB ，则∠BDO=40︒最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD 计算即可. 【详解】
解：∵AC 是⊙O 的切线 ∴∠CAB=90︒, 又∵50C ∠=︒ ∴∠ABC=90︒-50︒=40︒ 又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40︒ 又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD ∴∠AOD=40︒+40︒=80︒ 故答案为C. 【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
3．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵CC′∥AB ， ∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50°． 故选C ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据配方法，先提取二次项的系数-3，得到(
)
2
32y x x =--，再将括号里的配成完全平方式即可得出结果． 【详解】
解：()()
()2
2
2
2
36=323211313y x x x x x x x =-+--=--+-=--+，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查的是配方法，正确的掌握配方的步骤是解题的关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=2＞0，即可判断有两个不相等的实数根． 【详解】
∵△＝12﹣4×1×（﹣1
4
）＝2＞0， ∴方程x 2+x ﹣1
4
＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知： A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；
D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故选D.
考点：轴对称图形和中心对称图形识别
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
8．B
解析：B
【解析】
A. y=3x−1是一次函数，故A错误；
B. y=3x2−1是二次函数，故B正确；
C. y=(x+1)2−x2不含二次项，故C错误；
D. y=x3+2x−3是三次函数，故D错误；
故选B.
9．C
解析：C
【解析】
由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，
故选C.
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D．
考点：随机事件．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得∠B′=∠B=30°，∠BOB′=52°，再由三角形外角的性质即可求得A CO
∠'的度数.
【详解】
∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解决问题的关键.
12．B
解析：B
【解析】
试题解析：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S扇形AEF=
2
80?28 3609
ππ
=，
S△ABC=1
2
AD•BC=
1
2
×2×4=4，
∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-8
9π．
二、填空题
13．y=05(x-2)+5【解析】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1m）B （4n）∴m=（1﹣2）2+1=1n=（4﹣2）2+1=3∴A（11）B（43）过A作AC∥x 轴交B′B的延长线于点
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=
1
2
（1﹣2）
2+1=11
2
，n=
1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1
1
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B
的延长线于点C，则C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中
的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向
上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）
2+5．故答案为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
14．相离【解析】r=2d=3则直线l与⊙O的位置关系是相离
解析：相离
【解析】
r=2,d=3,则直线l与⊙O的位置关系是相离
15．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝
解析：4
【解析】
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．16．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长
解析：12
【解析】
【分析】
首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.
【详解】
解：x2﹣7x+10＝0
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 17．68°【解析】【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】∵∠AOE=78°∴劣弧的度数为78°∵AB是⊙O的直径∴劣弧的度数为180°﹣78°=1
解析：68°
【解析】
【分析】
根据∠AOE的度数求出劣弧¶AE的度数，得到劣弧¶BE的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧¶AE的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧¶BE的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE
2
3
=⨯102°=68°．
故答案为：68°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
18．（2）【解析】由题意得：即点P 的坐标
解析：（2 ，2）．
【解析】
由题意得：441a a =⇒= 2y x ⇒=
2222OD x x =⇒=⇒= ，即点P 的坐标()
2,2. 19．【解析】【分析】将圆锥侧面展开根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得蚂蚁的最短路线长【详解】如图将圆锥侧面展开得到扇形ABB′则线段BF 为所求的最短路线设∠BAB′＝n°∵∴n＝120即∠BAB′＝ 解析：3
【解析】
【分析】
将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.
【详解】 如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB ′，
则线段BF 为所求的最短路线．
设∠BAB ′＝n °． ∵64180
n ππ⋅=， ∴n ＝120，即∠BAB ′＝120°．
∵E 为弧BB ′中点，
∴∠AFB ＝90°，∠BAF ＝60°，
Rt △AFB 中，∠ABF ＝30°，AB ＝6
∴AF ＝3，BF 2263-＝3，
∴最短路线长为3．
故答案为：3
【点睛】
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
20．-
5【解析】【分析】将二次函数配方即可直接求出二次函数的最小值【详解】∵
y ＝x2﹣2x ﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5∴可得二次函数的最小值为﹣5故答案是：﹣5【点睛】本题考查了二次函数的
解析：-5
【解析】
【分析】
将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【详解】
∵y ＝x 2﹣2x ﹣4＝x 2﹣2x+1﹣5＝（x ﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数的最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
三、解答题
21．（1
）2153y x x =-+
+；（2）254米；（3）水柱能越过树 【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）水柱离坡面的距离d=-
13x 2
+3x+5-（
），整理成一般式，再配方成顶点式即可得；
（3）先求出点C 的坐标为（
1），再求出
y ，与1+3.5比较大小即可得．
【详解】
（1）∵AB=10、∠OAB=30°，
∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠
， 则A （
0）、B （0，5），
将A 、B 坐标代入y=-13
x 2+bx+c ，得：
175035
c c ⎧-⨯++⎪⎨⎪⎩＝＝，
解得：5b c ⎧⎪⎨⎪⎩
＝，
∴抛物线解析式为y=-13x 2+433x+5； （2）水柱离坡面的距离d=-
13x 2+43x+5-（-3x+5） =-
13x 2+53x =-
13（x 2-53x ） =-13
（x-53）2+254， ∴当x=
53时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254米； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，
∵AC=2、∠OAB=30°，
∴CD=1、3
则3
当3y=-13×（32+33
×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质．
22．（1）633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n 是“差数”，()16F n =
【解析】
【分析】
（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，根据()=(6)F m x x -进行求解；
（2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解．
【详解】
解：（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，
∴()=(6)9F m x x -=，
解得，3x =，
∴个位上的数字为：633-=，
∴633m =；
（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，
∴101110202211220844n =++++=，
显然n 是“差数”，()()8444(84)16F n F ==⨯-=．
【点睛】
本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键．
23．（1）94k ≤
；（2）m 的值为32
． 【解析】
【分析】
（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．
【详解】
解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94
k ≤； （2）k 的最大整数为2，
方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，
∵一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32
m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，
而10m -≠，
∴m 的值为
32
． 【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．
24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由旋转的性质可得AC ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ，由等腰三角形的性质可求解．
（Ⅱ）由旋转的性质可得AC ＝CD ，∠ABC ＝∠DEC ，∠ACD ＝∠BCE ＝50°，∠EDC ＝∠A ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．
【详解】
证明：（Ⅰ）∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，
∴AC ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ，
∴∠A ＝180ACD 2︒-∠，∠CBE ＝180BCE 2
︒-∠， ∴∠A ＝∠EBC ；
（Ⅱ）∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，
∴AC ＝CD ，∠ABC ＝∠DEC ，∠ACD ＝∠BCE ＝50°，∠EDC ＝∠A ，∠ACB=∠DCE ∴∠A ＝∠ADC ＝65°，
∵∠ACE ＝130°，∠ACD ＝∠BCE ＝50°，
∴∠ACB ＝∠DCE =80°，
∴∠ABC ＝180°﹣∠BAC ﹣∠BCA ＝35°，
∵∠EDC ＝∠A ＝65°，
∴∠BDE ＝180°﹣∠ADC ﹣∠CDE ＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE ﹣∠CDE=35°
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
25．（1）x 1=
32+，x 2=32
-；（2）x 1=-3，x 2=2． 【解析】
试题分析：（1）直接利用公式法求出x 的值即可；
（2）先把原方程进行因式分解，再求出x 的值即可．
试题解析：（1）∵一元二次方程x 2-3x+1=0中，a=1，b=-3，c=1，
∴△=b 2-4ac=（-3）2-4×1×1=5．
∴==．
即x 1x 2 （2）∵因式分解得 （x+3）（x-2）=0，
∴x+3=0或x-2=0，
解得 x 1=-3，x 2=2．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．解一元二次方程-公式法．。