《创新设计》2017届高考文科数学(全国通用)二轮教师文档讲义：指导一技巧——巧解客观题的10大妙招

技巧——巧解客观题的10大妙招
(一)选择题的解法
选择题是高考试题的三大题型之一，全国卷12个小题.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.
方法一 直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有
a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n ＜a 恒成立，则实数a 的最小值为( )
A.12
B.23
C.32
D.2
解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，
则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n
＝a 1＝13.
故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜12， 由于S n ＜a 对任意n ∈N *恒成立，
故a ≥12，即实数a 的最小值为12.
答案 A
探究提高 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.
【训练1】 (2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .
若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB
→＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝
2PO
→＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB
→＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.
答案 B
方法二 特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.
【例2】 (1)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，
Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，
则其体积之比为(
)
A.3∶1
B.2∶1
C.4∶1
D.3∶1
(2)已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有( )
A.f (x )＜－1
B.－1＜f (x )＜0
C.f (x )＞1
D.0＜f (x )＜1
解析 (1)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝
0)，则有V C －AA 1B ＝V A 1－ABC ＝V ABC －A 1B 1C 13
. (2)取特殊函数.
设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y ＝2x ·2y )，且满足x ＞0时，f (x )＞1，根据指数函数的性质，当x ＜0时，0＜2x ＜1，即0＜f (x )＜1.
答案 (1)B (2)D
探究提高 特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.
【训练2】 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )
A.130
B.170
C.210
D.260
解析 取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210.
答案 C
方法三 排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.
【例3】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )
解析 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x ≤π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1，
f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极
大值点为2π3，靠近π，排除D.
答案 C
探究提高 (1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个.
(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.
(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除.
(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.
(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.
【训练3】 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A.0＜a ≤1
B.a ＜1
C.a ≤1
D.0＜a ≤1或a ＜0
(2)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图象是( )
解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，
x ＝－1，排除B.
(2)f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π3时，g ′(x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.选A. 答案 (1)C (2)A
方法四 数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.
【例4】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
A.0
B.1
C. 2
D.3
解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示：
由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.
答案 C
探究提高 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.
【训练4】 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B.－33 C.±33 D.－ 3
解析 由y ＝1－x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其所表示的图
形是以原点O 为圆心，1为半径的上半圆(如图所示).由题
意及图形，知直线l 的斜率必为负值，故排除A ，C 选项.当其斜率为－3时，直线l 的方程为3x ＋y －6＝0，点
O 到其距离为
|－6|3＋1
＝62＞1，不符合题意，故排除D 选项.选B. 答案 B
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.
【例5】 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
＜θ＜π，则tan θ2等于( ) A.m －39－m B.m －3|9－m | C.－15 D.5 解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2＜θ＜π，所以π4＜θ2＜π2，故tan θ2＞1.所以D 正确.
答案 D
探究提高 估算法的应用技巧：
估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.
【训练5】 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A.1
B. 2
C.2－12
D.2＋1
2
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一
边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－1 2.
答案 C
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法.
2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.
3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.
(二)填空题的解法
填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.
填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如
命题真假的判断等.
方法一 直接法
对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.
解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得
⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
故|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＜|F 1F 2|，
得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1
， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，
在Rt △PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ，
∴e ＝c a ＝ 3.
答案 3
探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.
【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. (2)(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12
，∴tan θ＝－13， 即⎩
⎨⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010.
∴sin θ＋cos θ＝－105.
(2)从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误.故选D.
答案 (1)－105 (2)D
方法二 特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.
【例2】 (1)若f (x )＝12 015x －1
＋a 是奇函数，则a ＝________.
(2)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，
且AP ＝3，则AP →·AC
→＝________.
解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，
而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1
＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014，解得a ＝12.
(2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC
→＝18.
答案 (1)12 (2)18
探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.
【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M
的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP
→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ
＝________. 解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC
重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.
答案 2
方法三 图象分析法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
【例3】 (1)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2
－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |（0＜x ≤10），－12x ＋6（x ＞10），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
则abc 的取值范围是________.
解析 (1)函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相
同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a
的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y ＝f (x )
在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)
＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.
(2)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，
∵f (a )＝f (b )＝f (c )，
如图所示，由图象可知，0＜a ＜1，
1＜b ＜10，10＜c ＜12.
∵f (a )＝f (b )，
∴|lg a |＝|lg b |.
即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .
则ab ＝1.所以abc ＝c ∈(10，12).
答案 (1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 (2)(10，12) 探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.
【训练3】 设函数f (x )＝⎩
⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________.
解析 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .
由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.
联立两方程解得b ＝4，c ＝2.
于是，f (x )＝⎩
⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.
在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点.
答案 3
方法四构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.
【例4】如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥
平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于
________.
解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝
（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，所以R＝
6
2，故球O的体积V＝
4πR3
3＝6
π.
答案6π
探究提高构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.
【训练4】已知a＝ln
1
2 013－
1
2 013，b＝ln
1
2 014－
1
2 014，c＝ln
1
2 015－
1
2 015，
则a，b，c的大小关系为________.
解析令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1
x－1＝
1－x
x.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，1)上是增函数.∵1＞
1
2 013＞
1
2 014＞
1
2 015
＞0，∴a＞b＞c.
答案a＞b＞c
方法五综合分析法
对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.
【例5】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；
②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.
解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：
根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，正确.
答案①③④
探究提高对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.
【训练5】给出以下命题：
①双曲线y2
2－x
2＝1的渐近线方程为y＝±2x；
②命题p：“∀x∈R
＋，sin x＋
1
sin x≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为y
^＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④已知
2
2－4
＋
6
6－4
＝2，
5
5－4
＋
3
3－4
＝2，
7
7－4
＋
1
1－4
＝2，
10
10－4
＋
－2
－2－4
＝2，
依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
n
n－4
＋
8－n
（8－n）－4
＝2(n≠4).
则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).
解析①由y2
2－x
2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为
y＝±2x，正确.
②命题不能保证sin x，
1
sin x为正，故错误；
③根据线性回归方程的含义正确；
④根据验证可知得到一般性的等式是正确的.
答案①③④
1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.
2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；
(3)要重视对所求结果的检验.。