湖南高考数学试题含详解

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔
将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x
<}，则
A ．{|0}A
B x x =<I B ．A B =R U
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B =∅I
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14
B ．π8
C ．12
D ．
π4
3．设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为 A.13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24
,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
6．6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
8．下面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在
和
两个空白框中，可以分别填
入
A ．A >1 000和n =n +1
B ．A >1 000和n =n +2
C ．A ≤1 000和n =n +1
D ．A ≤1 000和n =n +2
9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，
直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
11．设x 、y 、z 为正数，且235x
y
z
==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .
14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，
，，则32z x y =-的最小值为 .
15．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双
曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .
16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆
O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
.
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 18.（12分）
如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o
. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o
，求二面角A ?PB ?C 的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2
(,)N μσ．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及
X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95
10.12 9.96
9.96
10.01 9.92
9.98
10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑
，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需
对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，
160.997 40.959 2≈
0.09≈．
20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
P 4（1
）
中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12分）
已知函数2()e
(2)e x
x f x a a x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a . 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知函数
2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.
（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
答案解析
绝密★启用前 1． 【答案】A
【解析】由31x
<可得0
33x
<，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I
{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U ，故选A.
2．
【答案】B
【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2
a ，正方形的面积为2
a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性
可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色
部分的概率是2
21ππ
248
a a ⋅
=，选B.
秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率
p 满足
11
42
p <<，故选B. 3．
【答案】B 4． 【答案】C
【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ⨯=+
=+=，联立112724,61548
a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.
5．
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 6． 【答案】C 【解析】因为666
22
11(1)(1)1(1)(1)x x x x x +
+=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22
261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x
⋅=，故2x 的系数为151530+=，
选C. 7． 【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为1
2(24)2122
⨯+⨯⨯=，故选B. 8． 【答案】D
【解析】由题意，因为321000n
n
->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D. 9．
【答案】D
【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则
22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+
=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π
12个单位长度得到2C ，故选D.
10． 【答案】A
11． 【答案】D
【解析】令235(1)x
y
z
k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =
∴
22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 12． 【答案】A
【解析】由题意得，数列如下： 则该数列的前(1)
122
k k k ++++=
L 项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭
L L ， 要使
(1)
1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k L 的部分和，设1
2122
21t t k -+=+++=-L ，
所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5
2329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数2930
54402
N ⨯=
+=，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
【答案】【解析】2
2
2
|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=o
a b a a b b
，所以
|2|+==a b .
秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长
度，则为14
【答案】5-
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
易求得1111
(1,1),(,),(,)3333A B C ---，
由32z x y =-得322
z
y x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，
所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-.
15．
【解析】
如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线b
y x a
=
上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o
， 点(,0)A a 到直线b
y x a
=
的距离||AP =
在Rt PAN △中，||cos ||
PA PAN NA ∠=
，代入计算得22
3a b =，即a =， 由2
2
2
c a b =+得2c b =，
所以
3c e a ===
. 16．
【答案】三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a
c B A =.
由正弦定理得1sin sin sin 23sin A
C B A =
. 故2
sin sin 3
B C =.
18.（12分）
【解析】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PF
AD ⊥，垂足为F ，
由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF
⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA u u u r
的方向为x 轴正方向，||AB uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.
由（1）及已知可得(
2A ，(0,0,2P ，(2B ，(,1,0)2
C -.
所以(PC =u u u r ，CB =u u u r ，PA =u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r . 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则
0,0,PC CB ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即220,2
220,
x y z x
⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩
可取(0,1,2)=--n .
设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则
0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即220,
22
0.
x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
可取(1,0,1)=m . 则3
cos ,||||3
⋅=
=-
<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3
-. 19．（12分）
（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可
以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
1
(169.979.22)10.0215
⨯-=，
因此μ的估计值为10.02.
162
221
160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为22
1(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，
因此σ
0.09≈.
20.（12分）
【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由22221113
4a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2221
1,
1
31,
4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,
1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故C 的方程为2
214x y +=.
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t
（
t
，.
则121k k +==-，得2t =，不符合题设.
从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
2
14x y +=得
222(41)8440k x kmx m +++-=.
由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=2244
41m k -+. 而1
21212
11
y y k k x x --+=+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=.
由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即22244
8(21)(1)04141m km
k m k k --+⋅+-⋅=++.
解得12
m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-
+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.
21.（12分）
【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+，
（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减.
（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.
综上，a 的取值范围为(0,1).
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．
【解析】（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=. 由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525
-. 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分） 【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①
当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤
，从而1x <≤. 所以()()f x g x ≥
的解集为{|1x x -≤≤.
（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.。