[试卷合集3套]上海市徐汇区某名校2021年九年级上学期期末质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知二次函数y=mx 2+x+m （m-2）的图像经过原点，则m 的值为（ ）
A ．0或2
B ．0
C ．2
D ．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m 的方程，解之得出m 的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
【详解】解：∵二次函数y=mx 1+x+m （m-1）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m （m-1）=0，
解得：m=0或m=1，
又∵二次函数的二次项系数m ≠0，
∴m=1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象上的点满足函数解析式及二次函数的定义是解题的关键．
2．如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB ＝3，BC ＝5，DF ＝12，则DE 的值为（ ）
A ．94
B ．4
C ．92
D ．152
【答案】C
【分析】由a b c ∥∥，利用平行线分线段成比例可得DE 与EF 之比，再根据DF ＝12，可得答案．
【详解】a b c ，
AB DE BC EF
∴=， 35AB BC ==∵，，
DE 3=EF 5
∴， 12DF =，
39=82
DE DF =∴，
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．
3．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（ ）箱．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【分析】先计算出这些水果的总质量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数．
【详解】解：∵8+9+16+20+22+27=102（个）
根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，
∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，
由于102是3的倍数，
所以拿走的篮球个数也是3的倍数，
只有9和27符合要求，
假设拿走的篮球的个数是9个，则（102-9）÷3=31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，
假设拿走的篮球的个数是27个，则（102-27）÷3=25，剩下的篮球是25个，只有9+16=25，所以剩下2箱篮球，
故这六箱球中，篮球有3箱，
故答案为：B ．
【点睛】
本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．
4．用公式法解一元二次方程2231x x +＝时，化方程为一般式当中的a b c 、、依次为（ ） A ．2,
3,1﹣ B ．231，，﹣ C ．231﹣，﹣，﹣ D ．231﹣，，
【答案】B 【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出a b c 、、即可. 【详解】方程2231x x +＝化为一般形式为：22310x x +﹣＝，
231a b c ∴＝，＝，＝﹣．
故选：B ．
题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.
5．点(1,2)-关于原点的对称点坐标是（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．(1,2)
D ．(2,1)- 【答案】B
【分析】坐标系中任意一点(),P x y ，关于原点的对称点是(),x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】根据中心对称的性质，得点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-．
故选B ．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
6．用配方法解方程2230x x +-=时，可将方程变形为（ ）
A ．2(1)2x +=
B ．2(1)2x -=
C ．2(1)4x -=
D ．2(1)4x +=
【答案】D
【分析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧,左右两边同时加一次项系数一半的平方,配方即可.
【详解】解：2230x x +-=
223x x +=
2214x x ++=
()214x +=
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解方程的步骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键.
7．计算11111133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯的结果是（ ） A ．1937 B ．1939 C ．3739 D ．3839
【答案】B
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【详解】解：原式＝1111111111(1)233557793739
⨯-+-+-+-+⋅⋅⋅-
=
11(1)239
⨯- =1939 ． 故选B ．
【点睛】
本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算． 8．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )
A ．x 2＋1＝0
B ．x 2＋2x ＋1＝0
C ．x 2＋2x ＋3＝0
D ．x 2＋2x －3＝0 【答案】D
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】A 、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B 、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C 、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D 、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故选D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）的对应值如下表所示：
则方程ax 2＋bx ＋1.37＝0的根是（ ）
A ．0或4
B 4-
C ．1或5
D ．无实根
【答案】B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，
抛物线经过点1)-，由于方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，则方程ax 2+bx+1.37=0的根理解
为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为124x x =.
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点(5,1)-
所以抛物线经过点(45,1)--
方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，
所以方程ax 2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为125,45x x ==-.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．用配方法解一元二次方程
时，原方程可变形为（ ） A ．2(2)1x +=
B ．2(2)7x +=
C ．2(2)13+=x
D ．2(2)19+=x 【答案】B
【解析】试题分析：243x x +=，24434x x +=++，2(2)7x +=．故选B ．
考点：解一元二次方程-配方法．
11．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ） A ．12 B ．110 C ．1100 D ．11000
【答案】C
【分析】根据排列组合，求出最后两位数字共存在多少种情况，即可求解一次解锁该手机密码的概率．
【详解】根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有210=100 种可能
∴一次解锁该手机密码的概率是
1100 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键．
12．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是 （ ）
A ．直线x ＝－1
B ．直线x ＝1
C ．直线x ＝－2
D ．直线x ＝2
【答案】B
【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．
【详解】解：∵解析式为()212y x =-+，
∴对称轴是直线1x =．
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.
【答案】14π
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径1＋底面周长×母线长÷1．
【详解】解：∵圆锥母线长为5cm ，圆锥的高为4cm ，
∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π， ∴侧面面积＝12
×6π×5＝15π； ∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝14π．
故答案为14π．
【点睛】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14．二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为
_______________________
【答案】3
【分析】根据解析式求出A 、B 、C 三点的坐标，即△ABC 的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A 点的坐标为(1,0)，B 点的坐标为(3,0)，C 点的坐标为(0,3)，则AB=2， 所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x 轴、y 轴的交点.
15．若函数()
21m m y m +=-是二次函数，则m 的值为__________． 【答案】-1
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵函数()
21m m y m +=-是二次函数， ∴m 1+m=1，且m-1≠0，
∴m=−1．
故答案为-1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键．
16．在平面直角坐标系中，反比例函数k y x =的图象经过点(),4A m ，(B ，则m 的值是
__________． 【答案】32- 【分析】将点B 的坐标代入反比例函数求出k ，再将点A 的坐标代入计算即可； 【详解】（1）将()6,6B -代入k y x =
得，k ＝66-⨯=-6， 所以，反比例函数解析式为6y x
=-， 将点(),4A m 的坐标代入得64m
=- 所以m ＝32
-， 故填：32
-. 【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
17．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，11AB =，6BC =，则sin A 的值是__________．
【答案】611
【分析】直接利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如下图，在Rt ABC ∆中，
6sin 11
BC A AB =
= 故答案为：611． 【点睛】
本题考查的知识点是正弦的定义，熟记定义内容是解此题的关键．
18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
【答案】115°
【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=1
2
，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
35 r
【分析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）证明：连接OD，
OB OD =，
3B ∴∠=∠，
1B ∠=∠，
13∴∠=∠，
在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，
()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒，
OD AD ∴⊥，
则AD 为圆O 的切线；
（2）设圆O 的半径为r ，
在Rt ABC ∆中，tan 4AC BC B ==， 根据勾股定理得：224845AB =+=
45OA r ∴=，
在Rt ACD ∆中，1tan 1tan 2
B ∠==， tan 12CD A
C ∴=∠=，
根据勾股定理得：22216420AD AC CD =+=+=，
在Rt ADO ∆中，222OA OD AD =+，即()22520r r =+， 解得：35r =
【点睛】 此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 20．如图，在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥， 垂足为, D AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F .
(1)若30, 6B AC ∠=︒=，求CE 的长；
(2)过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明原因.
【答案】（1）CE＝23；（2）菱形，理由见解析.
【分析】（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；
（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴
3
cos30633
2
CD AC
=⋅︒=⨯=，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴∠ACD＝∠CAF，
1
2
DE AE
=，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝
22
33
33
CD=⨯=23；
（2）四边形CEGF是菱形．
证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
21．某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数.
(1)试求y 与x 之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).
【答案】（1）30960y x =-+；（2）241920.
【分析】（1）先利用待定系数法确定每月销售量y 与x 的函数关系式y=-30x+960；
（2）根据每月获得的利润等于销售量乘以每件的利润得到w=（-30x+960）（x-16），接着展开后进行配方得到顶点式P=-30（x-24）2+1920，然后根据二次函数的最值问题求解．
【详解】(1)设y=kx+b ，
∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210
∴36020{21025k b k b =+=+，解得30{960
k b =-= ∴y=-30x+960(16≤x≤32)；
(2)设每月所得总利润为w 元,
则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.
∵-30<0
∴当x=24时，w 有最大值.
即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元.
22．（1）解方程：22240x x --=.
（2）如图，,,,A B C D 四点都在O 上，BD 为直径，四边形OABC 是平行四边形，求D ∠的度数.
【答案】（1）126,4x x ==-；（2）30︒
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据圆内接四边形求角度，再根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆周角的一半解答
即可.
【详解】（1）解：2224x x -=，
221241x x -+=+，
即2
(1)25x -=，
即15x -=±，
解得126,4x x ==-.
（2）解：∵四边形OABC 是平行四边形，OA OB OC ==，
∴四边形OABC 是菱形，即OBC ∆是等边三角形，
∴60COB ︒∠=，
∴30D ︒=.
【点睛】
本题主要考察了解一元二次方程以及圆的相关性质，熟练掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质是解题的关键.
23．如图，已知点O 是坐标原点，B C 、两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.
（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将OBC ∆放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的''OB C ∆；
（2）若OBC ∆内部一点M 的坐标为(),a b ，则点M 对应点M '的坐标是______；
（3）求出变化后''OB C ∆的面积 ______ .
【答案】 (1)见解析;(2) ()2,2a b --；(3)10
【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用（1）中对应点的关系求解；
（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．
【详解】解：（1）如图， ''OB C ∆为所作；
（2）点M 对应点M '的坐标是()2,2a b --；
（3）''OB C ∆的面积11144232121311022)2(OCB S ∆==⨯⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．
24．如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y ＝﹣2x+b 上，反比例函数y ＝
k x
(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求a 和k 的值；
(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．
①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点的坐标；
②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是等腰三形，求所有满足条件的m 的值.
【答案】 (1)a ＝4，k=8；(2)①E(5，85
)；②满足条件的m 的值为4或5或5【分析】(1)把点A 坐标代入直线AB 的解析式中，求出a ，求出点B 坐标，再将点B 坐标代入反比例函数解析式中求出k ；
(2)①确定出点D(5，4)，得到求出点E 坐标；
②先表示出点C ，D 坐标，再分三种情况：当BC ＝CD 时，判断出点B 在AC 的垂直平分线上，即可得出结论，当BC ＝BD 时，表示出BC ，用BC ＝BD 建立方程求解即可得出结论，当BD ＝AB 时，m ＝AB ，根据勾股定理计算即可.
【详解】解：(1)∵点A(0，8)在直线y ＝﹣2x+b 上，
∴﹣2×0+b ＝8，
∴b ＝8，
∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x+8，
将点B(2，a)代入直线AB 的解析式y ＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a ，
∴a ＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y ＝k x (x ＞0)中，得k ＝xy ＝2×4＝8； (2)①由(1)知，B(2，4)，k ＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x ， 当m ＝3时，将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，
∴D(2+3，4)，即D(5，4)，
∵DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数y ＝
8x 的图象于点E ， ∴E(5，85
)； ②如图，
∵将线段AB 向右平移m 个单位长度(m ＞0)，得到对应线段CD ，
∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ，
∵A(0，8)，B(2，4)， ∴C(m ，8)，D((m+2，4)，
△BCD 是等腰三形，
当BC ＝CD 时，BC ＝AB ，
∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，
∴m ＝2×2＝4，
当BC ＝BD 时，B(2，4)，C(m ，8)，
∴()()22284BC m =
-+-， ()()22284m m -+-=，
∴m ＝5，
当BD＝AB时，22
2425
m AB
==+=，
综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或25.
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25．（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组频数频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
【答案】（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）2
5人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x ＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有： 1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A ，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB ，BA 共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P=
820=25
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．如图，平面直角坐标系内，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()(),2,04,0A B -，与y 轴交于点()0,6C .
()1求二次函数的解析式；
()2点D 为x 轴下方二次函数图象上一点，连接,,,AC BC AD BD ，若ABD △的面积是ABC 面积的一半，求D 点坐标.
【答案】（1）233642y x x =-++；（2）点D 坐标为()131,3--或)
131,3- 【分析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标，运用待定系数法即可解答；
（2）由ABD △的面积是ABC 面积的一半，则D 点的纵坐标为-3，令y=3，求得x 的值即为D 点的纵坐标.
【详解】解:()1233642
y x x =-++ ()2设D 的坐标为（x ，y D ）
∵ABD △的面积是ABC 面积的一半 ∴132
D y OC ==， 又∵点D 在x 轴下方，即3D y =-.
令y=-3，即2333642
x x -=-++ 解得:1131x =-，2131x ，
∴点D 坐标为()131,3--或
)131,3- 【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD 的高是解答本题的关键.
27．某市有A 、B 、C 三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A 公园游玩的概率是 ；
（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
【答案】（1）13；（2）13
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找两位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）甲去A公园游玩的概率为1
3
；
故答案为：1 3 .
（2）列树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，
∴其概率为31 93 =.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率()m
P A
n
=．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ,与x 轴的负半轴交于点B ,点M 是对称轴上的一个动点．连接,AM BM ,当AM BM -最大时，点M 的坐标是（ ）
A ．()1,4
B ．()1,2
C ．()1,2-
D ．()1,6-
【答案】D 【分析】先根据题意求出点A 、点B 的坐标，A(0,-3),B(-1,0),抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得AM BM -≤AB,当ABM 三点共线时取等号，即M 点是x=-1与直线AB 的交点时，AM BM -最大.求出点M 的坐标即可.
【详解】解:根据三角形三边的关系得：
AM BM -≤AB,当ABM 三点共线时取等号，
当..B A M 三点共线时，AM BM -最大,
则直线AB 与对称轴的交点即为点M ．
由2
23y x x =--可知，()()0,3,1,0A B --, 对称轴2122
b x a -=-=-=- 设直线AB 为y kx b =+．
30
b k b =-⎧∴⎨-+=⎩ 33k b =-⎧∴⎨=-⎩
故直线AB 解析式为33y x =--
当1x =时，3136y =-⨯-=-
()
∴-.
M
1,6
故选：D．
【点睛】
-最大是关键
本题考查了三角形三边关系的应用，及二次函数的性质应用.找到三点共线时AM BM
，
2．如图，将Rt∆ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到∆A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( )
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】B
【分析】根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】∵将Rt∆ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到∆A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，
是解题的关键．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：
①⊙O的半径为
13
2，②OD∥BE ，③PB=
18
13
13
，④tan∠CEP=
2
3
其中正确结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】试题解析：作DK⊥BC于K，连接OE．
∵AD、BC是切线，∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，∴四边形ABKD是矩形，∴DK=AB，AD=BK=4，∵CD是切线，∴DA=DE，CE=CB=9，在RT△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，∴22
DC CK
-，∴AB=DK=12，∴⊙O半径为1．故①错误，∵DA=DE，OA=OE，∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，∴AQ=QE，∵AO=OB，∴OD∥BE，故②正确．
在RT△OBC中，PB=
BC OB
OC
⋅
313
18
13
13
CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP=
BP
PC
=
18
13
13
27
13
13
=
2
3
，故④正确，∴②③④正确，故选C．
4．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（）
A．
3
2
y x
=-B．
2
3
y x
=-C．
3
2
y x
=D．
2
3
y x
=
【答案】A
【分析】根据待定系数法求解即可．
【详解】解：设函数的解析式是y＝kx，
根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣
3
2
．
故函数的解析式是：y＝﹣3
2 x．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．
5．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该
企业一年中应停产的月份是( )
A．1月，2月B．1月，2月，3月C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月
【答案】D
【详解】当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若
1
sin
2
A=，则∠B的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C
【分析】根据特殊角的函数值
1
sin30
2
=可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．
【详解】解：∵
1 sin30
2
=，
∴∠A=30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-∠A=60°
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键. 7．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）
A．22B．2 C．3
2
D5
【答案】B
【分析】连接OD ，利用勾股定理得到CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】连接OD ，如图，设圆O 的半径为r ，
∵CD ⊥OC ，
∴∠DCO=90°，
∴CD=2222OD OC r OC -=-，
∴当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小，
此时D 、B 重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=
12
AB=1， ∴CD 的最大值为1.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.
8．将二次函数2y x 4x 1=--化为()2y x h k =-+的形式，结果为( )
A ．()2y x 25=++
B ．()2y x 25=+-
C ．()2
y x 25=-+
D ．()2y x 25=-- 【答案】D
【分析】化22414441y x x x x =--=-+--
，再根据完全平方公式分解因式即可.
【详解】∵22414441y x x x x =--=-+--
∴2(2)5y x =--
故选D.
【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
，注意当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方.
9．已知抛物线y ＝x 2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）
A ．y ＝（x+2）2+3
B ．y ＝（x ﹣2）2+3
C ．y ＝x 2+1
D ．y ＝x 2+5
【答案】A
【解析】结合向左平移的法则，即可得到答案.
【详解】解：将抛物线y ＝x 2＋3向左平移2个单位可得y ＝(x ＋2)2＋3，
故选A.
【点睛】
此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答. 10．二次三项式243x x -+配方的结果是（ ）
A ．2(2)7x -+
B ．2(2)1x --
C ．2(2)7x ++
D ．2(2)1x +-
【答案】B
【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．
解：x 2-4x+3=x 2-4x+4-1=（x-2）2-1．
故选B ．
考点：配方法的应用．
11．关于x 的一元二次方程(2x －1)2+n 2+1=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判定 【答案】C
【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．
【详解】解：由原方程可以化为：(2x －1)2=-n 2-1
∵(2x －1)2≥0, -n 2-1≤-1
∴原方程没有实数根．
故答案为C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．
12．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C
【解析】试题分析：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选C．
考点：一次函数与一元一次不等式．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．【答案】k＞﹣1且k≠1．
【解析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
14．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）。