沪科九年级数学上册第23章1 1 第1课时 正切

BC
AC
BC B1C1
∴
，即
．


B1C1 AC1
AC AC1
同理可得，
∴
BC B2 C2
．

AC AC2
BC B1C1 B2 C2


．
AC AC1
AC2
当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，
∠A的对边与邻边的比值总是固定值．
归纳
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．
B1
B
30
20
A
100
C
A1
100
C1
1 坡面AB和A1B1哪个更陡？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． 还有其他的
2 你是怎样判断的？
判断方法吗？
从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
因为AC= A1C1 ，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，
你能证明这
个结论吗？
证明
已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，B
2
B1
∠ACB=∠AC1 B1=∠AC2B2=90°．
BC B1C1 B2 C2
求证：
．


AC AC1
AC2
A
B
C
C1
C2
证明：∵ ∠ACB=∠ AC1 B1= 90°，
∠A=∠A，
∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ．
交流
如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和
水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
i
h
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
l
坡面与水平面的夹角叫做
i=h∶l
α
h
坡角(或称倾斜角)，记作α，
h
于是有 i tan .
l
l
坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
3
解： tan A
BC 3
，
AC 4
AC 4
tan B
.
BC 3
A
4
C
1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，
B
AB=10 ，求tan B的值.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC=6， AB=10 ，
∴ AC AB 2 BC 2 102 62 8.
∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
tan A
∠A的对边 BC a

.
∠A的邻边 AC b
B
斜边 c
A
∠A的邻边b
∠A的对边 a
C
B
归纳
斜边 c
A
∠A的邻边b
∠A的对边 a
∠A的对边 BC a
tan A

.
∠A的邻边 AC b
C
1 tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”；
AC 8 4∴tan B 源自 .BC 6 3A
C
2. 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，
坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( B )
A.2 5米
B.2 10米
C.4 5米
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
1
∴=
= .
3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，
BC B1C1 B2 C2
， ，
在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比
……有怎
AC AC1 AC2
样的关系？
B2
B1
试着测出这些对边与邻边
B
A
C
的长度，并计算出比值．
C1
C2
BC B1C1 B2 C2


AC AC1
AC2
2 它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当用
注
意
三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC；
3 tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比；
4 初中阶段仅研究直角三角形中，∠A是锐角的正切；将来遇到
锐角的正切问题，也必须放在直角三角形中去研究.
现在你会描述坡面的坡度了吗？
问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．
4. 引导学生体验数学活动，探索与发现新知识，理解三角函数
与现实生活的联系．
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的
重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时
所能爬越的最大坡度．
怎样描述坡面的
坡度(倾斜程度)呢？
在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水
正切：
在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
正
切
tan A
∠A的对边 BC a

.
∠A的邻边 AC b
坡度：
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度
h
i

(坡度通常写成h∶l的形式) ．
(或坡比)，记作i，即
l
20
A
100
C
A1
BC 20 1

0.2，
AB 100 5
B1C1 30 3

0.375.
A1 B1 80 8
∵ 0.2＜0.375，
∴ 坡面A1B1更陡．
80
C1
如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足
为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足
再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？
B1
B
30
20
A
100
C
A1
80
C1
能否从前面的问题中得到一些启示？
水平宽度和
垂直高度都
不一样
水平长度相等，
垂直高度不等．
水平长度不等，
垂直高度相等．
坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就应该越陡．
再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？B
1
B
30
23.1 锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第1课时 正切
1. 经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也
随之确定的过程，理解正切的意义．
2. 能够用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体
的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单计算．
3. 体验数形之间的联系，进一步学习利用数形结合的思想分析
∴ = 2 + 2 = 36 + 4 = 2 10 米 .
D.6米
3. 如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，
网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A
1
逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.
3
B′
C′
A
C
B
锐角的正切问题，必须放在直角三角形中．
BC ＜ B1C1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？
你又是怎样判断的？
B1
B
30
30
A
100
C
A1
80
C1
坡面A1B1比坡面AB更陡．
因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，
因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
典型例题
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
B
求tan A和tan B．
分析
根据正切的定义计算：
∠A的对边
tan A
.
∠A的邻边
∠B的对边
tan B
.
∠B的邻边
A
C
典型例题
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， BC=3，
B
求tan A和tan B．