湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考理科数学试题 Word版含答案

湖南省2017届高三十三校联考第二次考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足121i
i z
+=-，则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.函数()ln x
f x x e =+（e 为自然对数的底数）的零点所在区间是（ ） A ．1(0,)e
B ．1(,1)e
C ．(1,)e
D ．(,)e +∞
3.设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“//αβ”是 “//l β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条
件
4.设随机变量X 服从正态分布2
(4,)N σ，若()0.3P X m >=，则(8)P X m >-=（ ） A ．0.2
B ．0.3
C ．0.7
D ．与σ的值有关
5.中心在坐标原点的双曲线C 的两条渐进线与圆2
2
(2)3x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
3
C D ．2或
3
6.已知函数2sin()cos()22y x x π
π=+
-与直线1
2
y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，…，则112||M M 等于（ ） A ．
163
π
B ．6π
C ．
173
π
D ．12π
7.曲线|1|x y =-与25y x =-围成封闭区域（含边界）为Ω，直线3y x b =+与区域Ω有公共点，则b 的最小值为（ ） A ．1
B ．1-
C ．7-
D ．11-
8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）
A ．3024
B ．1007
C ．2015
D ．2016
9.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．2
B ．
83
C ．
65
D ．
85
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）
A ．2
B
C ．3
D ．4
11.已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>和动直线l ：y kx b =+（k ，b 是参变量，且0k ≠，
0b ≠）相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ，OB 的斜
率分别为OA k ，OB k
，若OA OB k k ⋅=k 变化时直线l 恒经过的定点为（ ） A
．(,0)
B
．(,0)-
C
．(,0)3
-
D
．(,0)3
p -
12.
已知函数1
0,
()1,0,
x x f x xe x -≤=+>⎪⎩点A ，B 是函数()f x 图象上不同两点，则AOB （O
为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,
)4
π
B ．(0,
]4
π
C ．(0,
)3
π
D ．(0,
]3
π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.51
(2)x x
+
+的展开式中，2x 的系数是 ． 14.设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合[][]{
}
2
|23A x x x =-=，{}
|28x B x =>，则
A B = ．
15.已知1x ，2x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的两个零点，则12sin()x x += ．
16.已知在ABC ∆中，(23)0BA BC CB -⋅=，则角A 的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．
（Ⅰ）证明：数列{}1n a +是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记11
11
n n n n b a a a ++=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人
参加环保知识测试．
优秀人数
非优秀人数
总计 甲班 乙班 30 总计
60
（Ⅰ）根据题目完成22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．
（Ⅱ）现已知A ，B ，C 三人获得优秀的概率分别为
12，13，1
3
，设随机变量X 表示A ，B ，C 三人中获得优秀的人数，求X 的分布列及期望()E X ． 附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
20()P K k >
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．
（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；
（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是
3
． 20.已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3
个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线
l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．
21.已知函数()ln()f x x a x =+-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1x ≥时，不等式()2
12
f x a e x +
>恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：2
2
(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为4
π
θ=（R ρ∈），设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2CM N
∆的面积．
23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||2|f x x x =--+． （Ⅰ）解不等式()0f x >；
（Ⅱ）若0x R ∃∈，使得2
0()24f x m m +<，求实数m 的取值范围．
湖南省2017
届高三十三校联考第二次考试数学（理科）答案
一、选择题
1-5:BAACD 6-10:ADADC 11、12：DA
二、填空题
13.120 14.(3,4)
16.6
π
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由11121a S a ==-，得11a =，
当2n ≥时，11(2)(21)n n n n n a S S a n a n --=-=---+，即121n n a a -=+， 所以112(1)n n a a -+=+，又因为112a +=，
所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以12n n a +=，21n
n a =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，11
111111211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n n n n a b a a a a a ++++++=+===-----， 则11
111111
(1)()(
)1337212121
n n n n T ++=-+-++-=----…． 18.解：（Ⅰ）22⨯列联表如下：
优秀 非优秀 总计 甲班 40 20 60 乙班 20 30 50 总计
60
50
110
由2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，
2
2
110(40302020)7.8 6.63560506050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关． （Ⅱ）设A ，B ，C 成绩优秀分别记为事件M ，N ，R ，则1()2P M =，1
()()3
P N P R ==， ∴随机变量X 的取值为0,1,2,3．
1222
(0)()2339
P X P M N R ===⨯⨯=，
1221121214
(1)()2332332339P X P M N R M N R M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
1121111215
(2)()23323323318
P X P MN R M NR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
1111
(3)()23318
P X P MNR ===⨯⨯=．
所以随机变量X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
29
4
9 518 118
24517
()01239918186
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
19.（Ⅰ）证明：正三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，
所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB
AF A =，
所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABFE ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则
(0,0,0)A ，(2,2,0)F ，(2,0,2)C ，(1,,1)P h -，(2,2,0)AF =，(2,0,2)AC =，(1,,1)AP h =-．
设平面ACF 的一个法向量111(,,)m x y z =，
则1111220,220,m AF x y m AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取11x =，则111y z ==-，所以(1,1,1)m =--． 设平面AFP 的一个法向量222(,,)n x y z =，则22222220,0,
n AF x y n AP x hy z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
取21x =，则21y =-，21z h =--，所以(1,1,1)n h =---．
二面角C AF P --
，
所以cos ,3||||3m n m n m n ⋅<>===
⋅， 解得1h =．
20.解：（Ⅰ）依题意可知b c =，2
2
2a b =，可设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，
即222
220x y b +-=，将3y x =-+代入得223121820x x b -+-=，
由2
2
1212(182)0b ∆=--=，得2
3b =，故椭圆E 的方程为22
163
x y +=． 点T 的坐标为(2,1)． （Ⅱ）设直线'l ：1
2
y x m =
+（0m ≠）
， 由1,2
3,
y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得22(2,1)33P m m -+，故228||9PT m =． 由22
1,21,63y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2234(412)0x mx m ++-=，216(92)0m ∆=->， 设11(,)A x y ，2
2(,)B x y
，则124
3
x x m +=-，2124123m x x -=．
1
122||2||2|323m m PA x x =--=--，同理22|||2|3m
PB x =--，
21212522|||||(2)(2)()|433
m m PA PB x x x x ⋅=
---++ 22
2522441210|(2)(2)()|433339
m m m m m -=----+=． 故存在常数45
λ=
，使得2
||||PT PA PB λ=⋅． 21.解：（Ⅰ）当1a =-，()ln(1)f x x x =--，1x >，1112'()1111
x x
f x x x x -+-=
-==
---．
当12x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当2x >时，'()0f x <，()f x 单调递减． 综上，()f x 的单调递增区间为(1,2)；()f x 的单调递减区间为(2,)+∞． （Ⅱ）由题意得，1x ≥时，0x a +>恒成立，可得1a >-．① 由题意得，不等式
2102x a x a
x e
++->对于任意的1x ≥恒成立． 设2()12x a x a
g x x e
+=+-，1x ≥，1'()x x ae x x a g x e -+-=．
当0a ≤时，22(2)21a g a e +=+
-2212
(2)10a e e
=+-+<，不满足题意； 当0a >时，要使1x ≥时，不等式()212
f x a
e x +>恒成立，
须1111(1)1()1022a a g a e e e +=+-=+-+>，即2(1)
2e a e ->
+； 当2(1)2e a e ->+时，2(1)1(1)1(1)12x x x
e ae x x a a e x x e x x e --+-=-+->-+-+，
设2(1)()(1)12x e h x e x x e -=-+-+，1x ≥，2(1)2(1)'()122
x x
e e h x e x e e e --=+-++，1x ≥．
显然'()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以2452
'()'(1)02e e h x h e -->=
>+， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，2
2(1)()(1)02
e h x h e ->=
>+， 即10x ae x x a -+->.② 由①②可知2(1)
2
e a e ->
+时，满足题意. 22.解：（Ⅰ）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=.
（Ⅱ）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得2
40ρ-+=，
解得1ρ=2ρ=，12||MN ρρ=-=
∵2C 的半径为１，则2C MN ∆的面积
111sin 4522
⨯︒=. 23.解：（Ⅰ）当2x <-时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+，()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-；
当1
22
x -≤≤
时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--，()0f x >，即310x -->，解得13x <-，又122x -≤≤，∴1
23
x -≤<-；
当1
2
x >时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-，()0f x >，即30x ->，解
得3x >，又1
2
x >，∴3x >．
综上，不等式()0f x >的解集为1
(,)(3,)3
-∞-+∞．
（Ⅱ）3,2,1()|21||2|31,2,213,.2
x x f x x x x x x x ⎧
⎪-+<-⎪
⎪
=--+=---≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩∴min 15()()22f x f ==-.
∵0x R ∃∈，使得2
0()24f x m m +<，
∴2min 5
42()2
m m f x ->=-，整理得24850m m --<， 解得1522m -<<，因此m 的取值范围是15(,)22
-.。