解三角形复习课课件1

分析：判断三角形的形状，通常是指等腰三角形、等边三角形、 直角三角形或等腰直角三角形等特殊三角形，多会运用正、余弦 定理将所给条件中的三角形的边角关系统一转化为边的关系或角 的关系。
解法一：角化为边 解法二：边化为角
等腰或直角三角形
练习2、在 ABC中，已知2a b c, sin A sin B sin C, 试判断其形状
a : b : c sin A : sin B : sin C
正弦定理解决的题型：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
二、余弦定理及其推论： 余弦定理解决的题型：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A 推论 2 2 2 b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 1 sin C 15 cos B＝ ， ＝2，且 S△ABC＝ ，则 b 等于 ( ) 4 sin A 4 A．4 B．3 C．2 D．1
题型二
判断三角形的形状
例3 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b
、c,若∠B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形状. 【分析】判断三角形的形状,可从角或边的角度去思考,于是 可通过正弦定理将边转化为角,或通过余弦定理转化为边,这


A.无解，B.有一解， C.有两解， D.不能确定 .
练习：根据条件，确定下列判断中正确的有（
）
(1) a 4, b 5, A 30 有一解
（2）a 5, b 4, A 60 有一解 (3) a 3, b 2, B 120 有一解
（4）a 3, b 6, A 60 无解
2
题型三 例5
利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 3 →· → ＝－21. cos B＝ ，且AB BC 5 (1)求△ABC 的面积； (2)若 a＝7，求角 C.
练习： 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对
3 . 边,C=2A,cos A= 4
(1)求cos C,cos B的值;
(2)若 BA · BC = ,求边AC的长.
[例 2]
2 5 在△ABC 中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ . 5
(1)求 BC 边的长； (2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
[解]
2 5 5 (1)由cosC＝ 5 ，得sinC＝ 5 ，
sinA＝sin(180° －45° －C)＝sin(135° －C ) 2 3 10 ＝ 2 (cosC＋sinC)＝ 10 . AC 10 3 10 由正弦定理，得BC＝sinB· sinA＝ × 10 ＝3 2. 2 2
样可有两种基本解法.
【解析】(法一)2b=a+c,2sin B=sin A+sin C,∠B=60°,∠A+∠C =120°,代入,得 2sin 60°=sin(120°-C)+sin sin(C+30°)=1, ∠C=60°,所以∠A=60°,故△ABC为正三角形. (法二)由余弦定理可得,b =a +c
c
B
SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
ha
aFra Baidu bibliotek
b
C
练习：
10
30
选择最佳方法求下列图形中的
45

x
120

5 12
30
x
x x
8 （3）
（1）
（2）
6
10
135
4
x x
14
3
5
60
7
x （6）
（4）
2
（5）
例1.在ABC中，A 60 ，a 6, b 3, 则ABC解得情况是
C
b
一、正弦定理及其变形：
a b c 2R sin A sin B sin C
变 形
2R A B’
c
a
B
( R为三角形外接圆半径）
a a 2 R sin A (sin A 2 R ) b ) b 2 R sin B (sin B 2R c c 2 R sin C (sin C 2 R )
总结：关于三角形解的个数问题： (1)利用正弦定理讨论：若已知 a，b，A，由正弦定理 a b bsinA ＝ 得 sinB＝ .若 sinB>1，无解； sinA sinB a 若 sinB＝1，一解；若 sinB<1，两解． (2)利用余弦定理讨论：已知 a，b，A，由余弦定理 a2 ＝c2＋b2－2cbcosA，即 c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关 于 c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无 解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个 不同正数解，则三角形有两解．
AC 10 5 (2)由正弦定理，得AB＝sinB· sinC＝ × 5 ＝2. 2 2 1 BD＝2AB＝1. 由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD· BC· cosB ＝ 2 1＋18－2×1×3 2× 2 ＝ 13.
• 练习:
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于 ( ) B．60° C．120° D．150° A．30°
2 2 2
b c a 2 、已知两边和他 cos A 们的夹角，求第 2bc 三边和其他两角 a 2 c 2 b.2 cos B 2ac a 2 b2 c 2 cos C 2ab
A
1、已知三边求三角 . 2 2 2
三、角形的面积公式：
SABC 1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
ac ( 2
2 2 2 2 2 2
3 C,展开整理得, sin 2
1 C+ cos 2
C=1,
ac -2accos B,∠B=60°,b= 2
,
) =a +c -2accos 60°,(a-c) =0,a=c=b,故△ABC为正三角形.
2
例4
tan A a 2 在 ABC中，若 2 ，判断 ABC的形状。 tan B b