2024学年浙江省慈溪中学高三3月阶段练习数学试题试卷

2024学年浙江省慈溪中学高三3月阶段练习数学试题试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足z i i z i -=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1 C ．1i - D ．1i +
2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．3
D ．8
3．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
4．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为
A ．23
B ．34
C ．155
D ．10515
6．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )
A ．32-
B ．0
C ．0或32-
D ．32
- 7．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣
B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-
+-+∈⎢⎥⎣⎦ 8．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必条件
9．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =
A ．（–1，1）
B ．（1，2）
C ．（–1，+∞）
D ．（1，+∞）
10．若双曲线22
2:14x y C m
-=的焦距为45，则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．19 D ．219
11．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}1
0B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-， C ．(12]-，
D ．2,2⎡⎤-⎣⎦ 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的距离为22
c ，则E 的离心率为( ) A ．32 B ．12 C ．22 D ．23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量()24,X
N σ，且()260.8P X <≤=，则()2P X <=______ 14．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
15．设()f x 为偶函数，且当(]
2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：
①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点；
②若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，
，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
其中，正确命题的序号是_______．
16．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0π，的零点个数为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数
据分为[)[)[)[)[)[)[]
2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13
，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
18．（12分）已知函数2
()(1)1(,)x g x e a x bx a b R =----∈，其中e 为自然对数的底数.
（1）若函数()()f x g x '=在区间[0,1]上是单调函数，试求a 的取值范围；
（2）若函数()g x 在区间[0,1]上恰有3个零点，且(1)0g =，求a 的取值范围.
19．（12分）已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切．
（1）求p 的值；
（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．
20．（12分）已知函数21()(1)ln ,2f x ax a x x a R =-++∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 的切线方程；
（2）讨论函数()f x 的单调性．
21．（12分）如图,设点2(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程.
（2）当2103
PF =时，求PQC ∆的面积. 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，以椭圆C 左顶点T 为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：OR OS
⋅为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解题分析】
利用复数的四则运算即可求解.
【题目详解】 由()(1)11z i i z i i z i i z i z z i
-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B
【题目点拨】
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.
2、A
【解题分析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+=
⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.
【题目详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，且
()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=， 则()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <
<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 令1m x ，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭
，
故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，
故()()max 16f x f =，
令16m =，4n =，
故()()()44164f f f +==，
故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题. 3、C
【解题分析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 12比较即可. 【题目详解】
由0.50.50.820.8a =>
1sin1sin 23b π<=<== 11
lg3lg1022
c =<==， 所以有c b a <<.选C.
【题目点拨】
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
4、D
【解题分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解
【题目详解】 因为1y a x
'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =.
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
5、D
【解题分析】
如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .
根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d a a a d a d
++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5
PQ a =. 在12PF F △和1PFQ 中，由余弦定理得222222
1246668()()(2)()()()55555cos 4666225555
a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a =.故选D ． 6、B
【解题分析】
由数量积的定义表示出向量a 与a b +的夹角为60︒，再由22a a =，22b b =代入表达式中即可求出a b ⋅.
【题目详解】
由向量a 与a b +的夹角为60︒， 得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒，
所以()222211222a a b a a b a a a b b +⋅=+=+⋅+， 又1a =，3b =，22a a =，22b b =，
所以1111232
a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+，解得0a b ⋅=.
【题目点拨】
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.
7、D
【解题分析】
由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4
-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.
【题目详解】 由图象知
51=1244
T -=， 所以2T =，22
πωπ==， 又图象过点3(,1)4
-， 所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34
π， 所以3()sin()4f x x ππ=+
令322,242
k x k k Z ππππππ-≤+
≤+∈， 解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-
+-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：D ．
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.
8、B
【解题分析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【题目详解】
由|1|2x -<，得13x ，又由2x x <，得01x <<，
因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，
所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件.
故选：B
【题目点拨】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
9、C
【解题分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【题目详解】
∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，
∴(1,)A B =-+∞ ，
故选C.
【题目点拨】
考查并集的求法，属于基础题.
10、B
【解题分析】
根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.
【题目详解】
因为双曲线22
2:14x y C m
-=的焦距为
故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；
又焦点()
F ，其中一条渐近线为2y x =-，
由点到直线的距离公式即可求的4d =
=.
故选：B.
【题目点拨】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
11、C
【解题分析】
计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.
【题目详解】
{
|A x y ⎡==⎣，(]2{|},1
012x x B x -=-+=≤，故(A B -=. 故选：C .
【题目点拨】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
12、A
【解题分析】
由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有
21b a =，再利用222a b c =+即可解决. 【题目详解】
由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以
21b a =，
即()2224a c
a -=，解得e =故选：A. 【题目点拨】
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.1
【解题分析】
根据2σ原则，可得()()12622P X P X -<≤<=
，简单计算，可得结果. 【题目详解】
由题可知：随机变量()24,X
N σ，则期望为4 所以()()12610.820.122P X P X -<≤-<=
== 故答案为：0.1
【题目点拨】
本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.
14、2
【解题分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的
值． 【题目详解】 二项式的展开式中的通项公式为，
令
，求得
，可得常数项为
，
，
故答案为：． 【题目点拨】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15、①②③ 【解题分析】
根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【题目详解】
解：当4a =时()()
[)
()()[)
20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨
--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数
∴可画出()f x 的图象，如下所示：
可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个，
即[]01m ∀∈，
，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立
又
当[)2x ∈+∞，
时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 a x ∴≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 2a ∴≤
由于偶函数()f x 的图象，如下所示：
直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，
，偶函数()f x 的图象，如下所示：
()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故答案为：①②③ 【题目点拨】
本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 16、3 【解题分析】 求出36
x π
+
的范围，再由函数值为零，得到36
x π
+
的取值可得零点个数．
【题目详解】 详解：
0x π≤≤
1936
6
6x π
π
π
∴
≤+
≤
由题可知3336
2
6
2x x ，π
π
π
π+
=
+
=
，或5362
x ππ
+=
解得4x ,99ππ=,或79
π
故有3个零点． 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0.4；（2）11
27
；（3）应选择方案()a ，理由见解析 【解题分析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率； （2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 【题目详解】
（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”. 根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05， ∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()012
34i
i =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()4
1
3
1014
4212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为11
27
. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()1
1002,*Y X X N =+∈，
方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧
=⎨
+->∈⎩
，，，，，
所以随机变量1Y 的分布列为
()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；
同理，随机变量2Y 的分布列为
()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.
∵()()21E
Y E Y >，
∴建议骑手应选择方案()a . 【题目点拨】
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
18、（1）3,1,22
⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
e ；（2）(1,2)e -.
【解题分析】
（1）求出()()g x f x '=，再求()0,[0,1]f x x '≥∈恒成立，以及()0,[0,1]f x x '≤∈恒成立时，a 的取值范围； （2）由已知(1)(0)0g g ==，()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f x g x '=在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a 分类讨论，根据()f x 单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论. 【题目详解】
（1）由题意得()2(1)=---x
f x e a x b ，则()2(1)x f x e a '=--，
当函数()f x 在区间[0,1]上单调递增时，
()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立.
∴()
min
2(1)
1-=x
a e （其中[0,1]x ∈），解得3
2
a
. 当函数()f x 在区间[0,1]上单调递减时，
()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立，
∴()
max
2(1)
-=x
a e e （其中[0,1]x ∈），解得12
+e
a
.
综上所述，实数a 的取值范围是3,1,22
⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
e .
（2）()2(1)()'=---=x
g x e a x b f x .
由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调. ∴()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x . ∴()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点. 由（1）易知，当3
2
a
时，()f x 在区间(0,1)上单调递增， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意.
当12
+e
a
时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意，
∴
3122
<<+e
a .令()0f x '=，得ln(22)(0,1)x a =-∈， ∴函数()f x 在区间(0,ln(22)]-a 上单凋递减， 在区间(ln(22),1)-a 上单调递增. 记()f x 的两个零点为()1212,x x x x <，
∴12(0,ln(22)],(ln(22),1)∈-∈-x a x a ，必有(0)10,(1)220=->=-+->f b f e a b . 由(1)0g =，得+=a b e .
∴11()102f a b e ⎛⎫
=-+=-<
⎪⎝⎭
又∵(0)10,(1)20=-+>=->f a e f a ， ∴12-<<e a .
综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -. 【题目点拨】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 19、（1）6p
；（2）点N 在定直线3y =上．
【解题分析】
（1）设出直线1l 的方程为2
p
y x =+
，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上； 【题目详解】
解：（1）依题意设直线1l 的方程为2
p
y x =+
， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -
，半径r =
因为直线1l 与圆2C 相切，
所以圆心到直线1:2
p
l y x =+
的距离d =
=，
6p 或2p =-（舍去）．
所以6p ；
（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为2
12x y =，
所以2
12
x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，
所以切线2l 的方程为1111
()6y x x x y =-+．
令0x =，21111111
1266
y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，
所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，
∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．
设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上． 【题目点拨】
本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题．
20、（1）222ln 20x y ++-=；（2）当0a 时,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时,()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时,()f x 在
10,a ⎛⎫
⎪
⎝⎭
和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 【解题分析】
(1)根据导数的几何意义求解即可. (2)易得函数定义域是(0,)+∞,且(1)(1)
()ax x f x x
--'=.故分0a ,01a <<和1a =与1a >四种情况,分别分析得极值
点的关系进而求得原函数的单调性即可. 【题目详解】
（1）当0a =时,1()ln ,()1f x x x f x x '=-+=-+
,则切线的斜率为11(2)122
f '=-+=-. 又(2)2ln2f =-+,则曲线()f x 在点(2,(2))f 的切线方程是1
(2ln 2)(2)2
y x --+=--, 即222ln 20x y ++-=. （2）2
1()(1)ln 2
f x ax a x x =
-++的定义域是(0,)+∞. 21(1)1(1)(1)
()(1)ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=-++==
. ①当0a 时,1
0ax ,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,
所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；
②当01a <<时,
11a >,所以当(0,1)x ∈和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当11,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；
③当1a =时,
1
1a
=,所以()0f x '在(0,)+∞上恒成立.所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；
④当1a >时,101a
<
<, 所以10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和
(1,)+∞时,()0f x '>；1,1x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<. 所以()f x 在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述,当0a 时,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时,()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增,在11,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和(1,)+∞上单调递增,在
1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 【题目点拨】
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.
21、（1）
2
2198
x y （2）
409
【解题分析】
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d
=
AB =()2
23164
a a -+
=，解之即得a
的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再求得PQC ∆的面积
()2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【题目详解】
(1)因为直线l 过点()2
1,0F ，且斜率k =
所以直线l 的方程为)1y
x =-
0y --=，
所以圆心(),0C a 到直线l
的距离为d =
又因为AB =C 的半径为a ，
所以222
2AB d a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2
23164
a a -+
=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228b a c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为2
1031013
PF d e
=
==， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P y =±，
因为直线l 的斜率0k >， 所以83P y =-
，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-， 联立方程组()22
41,3
1,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以PQC ∆的面积()21116840222939Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
22、（1）2214
x y +=；（2）()2213225x y ++=；（3） 4OR OS ⋅= 【解题分析】
（1）依题意，得2a =
，2
c e a ==，由此能求出椭圆C 的方程. （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y ，()11,N x y -，设10y >，由于点M 在椭圆C 上，故21114
x y =-，由()2,0T -，知()()111115812,2,455
TM TN x y x y x ⎛⎫=+⋅+-=+- ⎪⎝⎭⋅，由此能求出圆T 的方程. （3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()010001
y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101R x y x y x y y -=-，同理：100101
R x y x y x y y +=+，由此能证明4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅=⋅=为定值. 【题目详解】
（1）依题意，得2a =
，c e a ==
1c b ∴===，
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=. （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y ，()11,N x y -，设10y >，
由于点M 在椭圆C 上，所以22
1114x y =-， 由()2,0T -，则()()11112,,2,TM x y TN x y =+=+-，
∴ ()()11112,2,T x y N x y M T ⋅=+⋅+-
()()222
211112214x x y x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭ 2115434x x =++2
1581455
x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 由于122x -<<，
故当185x =-时，TM TN ⋅的最小值为15-，所以135y =，故83,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =
. 故圆T 的方程为：()2213225
x y ++= （3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()010001y y y y x x x x --=
--， 令0y =，得100101R x y x y x y y -=-，同理：100101
S x y x y x y y +=+. 故2222100122
01R S x y x y x x y y -⋅=- 又点M 与点P 在椭圆上，
故()()222
2001141,41x y x y =-=-，代入上式得：
()()()2222
2210010122
22
010*******R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===--， 所以4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅=⋅=
【题目点拨】
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.。