分数阶Duffing振子的组合共振
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法等 方面口 的不懈 努力 ， 分数 阶微积 分正 逐步 由抽 象 的数学 概念走 向工程 应 用 ， 尤 其 在 描述 黏 弹 性 材
料本 构关 系方 面 和控 制工 程领域 ＿ ６ ］ 深 受关 注 。 在 动力 学 方 面 ， 目前 主要 集 中于含 分 数 阶微 积
分项 的动 力系 统振动 特 性 的研 究 ， ｗａ ｈ 应用 平 均
第３ Ｏ 卷第 １ 期
２ ０ １ ７年 ２月
Ｖ０１ ．３ ０ ＮＯ． １ Ｆｅ ｂ ．２ Ｏ１ ７
分 数 阶 Ｄｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 的 组 合 共 振
顾 晓 辉 。 ，杨 绍 普 ，申永 军 ，刘 进 志
（ １ ． 石家庄铁道大学交通运输学院 ， 河北 石家庄 ０ ５ ０ ０ ４ ３ ； ２ ． 河北省交通安全与控制重点实验室 ， 河北 石家庄 ０ ５ ０ ０ ４ ３ ）
式中 ｒ （ ） 为 Ｇａ ｍｍａ函数 。
ｄ ｓ（ ２ ）
，
子 的近似 解 析 解 。杨 建 华 。 ］ 应 用 谐 波 平 衡 法 分 析
了一 类分 数 阶线性 系统在 周期信 号激 励下 系统 响应
的近似解 。Ｃ ｈ ｅ ｎ ＿ ｌ １ 、 孙 春 燕ｌ ｌ 。 研 究 了 随 机 激 励 作
（ ｆ ） ＋是 ｚ（ ） ＋ 。 （ ｆ ） ＋
念， 分 析 了含 分数 阶微 分项 的线性 、 非线 性振子 的动
力 学 响 应 。Ｒｏ ｓ ｓ ｉ ｋ ｈ ｉ ｎ ＿ １ ” ］ 基于 Ｒ Ｌ定 义 ， 应 用 多 尺 度 法 推 导 了 Ｄｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 的 二 阶 近 似 解 ， 并 指 出 了
摘要 ： 研 究 了 ２个谐 波激 励 作 用 下 含 分 数 阶微 分 项 的 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ 振 子 的一 类 组 合 共 振 ， 利 用 多 尺度 法 得 到 了 ２ ＋ ｚ 型组合共振的一次近似解析解 ， 分 析 了定 常 解 的稳 定 性 。应 用 奇 异 性 理 论 研 究 了 幅频 响 应 分 岔 方 程 ， 得 到 了 开 折
对 系统进 行如 下坐标 变换
２ 一 ，叫 一 鱼
， ∞ 一
用 下分 数 阶 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 的幅频特 性 。廖少锴 口 结
：
一 一 Ｆ１ ／ 一 一 Ｆ２ 区 ｄ
， ，
合 Ｎ ｅ ｗｍａ ｒ ｋ法 和 Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ — Ｓ ｈ ｉ ｍｉ ｚ ｕ法 推 导 了分 数 阶
通过 以上分 析 可 发现 ， 现 有 文献 大 多针 对 单 频 激励 或 随机激励 展开 讨论 ， 而在 实际 问题 中 ， 许 多工 程结 构或 部件会 受 多 频激 励 作 用 的影 响 ， 多频 激 励
损一
ｇ
引 言
分数 阶微 积 分 发 展 至今 已 有 超 过 ３ ０ ０年 的历 史， 近些年来 ， 基 于众 多学者 在其 定义 、 性质 、 计 算 方
系统 的 响应 特 性 。
关键 词 ： Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 ； 分 数 阶 微分 ； 组合共振 ； 多尺度法 ； 奇 异 性理 论 中图分类号 ： ０３ ２ ２ ；０ ３ １ ３ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ ０ ２ ８ — ０ ５
作用 下 的系统 具有更 复杂 的动 力学特 性ｌ ＿ ２ 。
１ 摄 动 分 析
考 虑如 下分数 阶 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子模 型
（ ｆ ） ＋
１
法研 究 了含分 数 阶阻尼项 的非 线性 时滞 系统 的响应
特 征 ，发 现 了 一 些 分 数 阶 系 统 的 特 有 现 象 。 Ｓ ｈ ｅ ｎ ＿ ８ 。 叩 提 出 了等效线 性 阻尼 和等效 线 性 刚度 的概
振
动
Ｖ
参 数 平 面 的转 迁 集 和 所 有 区 间 上 分 岔 曲 线 的 拓 扑 结 构 。最 后 通 过 数 值 仿 真 分 析 了 系 统 参 数 对 组 合 共 振 幅 频 响 应 的影 响 。研 究 表 明 ： 分 数 阶微 分 项 即具 有 阻尼 特 性 又 具 有 刚 度 特 性 ， 选 择 合 理 的 分 数 阶微 分 项 参 数 可 以有 效 改 善
。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ － ０ ９ — ２ ８ ； 修 订 日期 ： ２ ０ １ 学 基金 资 助 项 目（ １ １ ２ ２ ７ ２ ０ １ ， １ １ ４ ７ ２ １ ７ ９ ， １ １ ３ ７ ２ １ ９ ８ ， １ １ ５ ７ ２ ２ ０ ６ ） ； 河 北 省 高 等 学 校 创 新 团 队 领 军 人 才
定条件下是 等价 的， 本文采用 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ型ｌ ３ ］ ， 即
分方 程 的初 值 问题及 其求 解方 法 。Ｇｕ ｏ ｌ １ 。 ］ 提 出 一
种改 进 的谐 波 平衡法 得 到 了分 数 阶 Ｖａ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｐ ｏ ｌ 振
Ｄ ｏ 们一 丽１ ＿． ｆ
工
程 叫
Ｅ
Ｄ０Ｉ ： １ ０ ． １ ６ ３ ８ ５ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ ． ２ ０ １ ７ ． ０ １ ． ０ ０ ４
学
微 分项 的数值 计算 方 法 ， 并 研 究 了含 平 方 非线 性 分 数 阶振 子 的动 力 学 行 为 。Ｃ ａ ｏ ＿ ２ 。 。 采用 数 值 积 分 法 ， 结 合相 图 、 庞加莱 截面 图 、 分 岔 图等 分析 了分数 阶阻 尼对 系统 动力学性 能 的影 响 。
一
Ｄ ［ ｚ（ ￡ ） ］ 一Ｆ １ Ｃ Ｏ Ｓ （ １ ） ＋Ｆ２ Ｃ Ｏ Ｓ （ ｃ ｏ ２ ｆ ）
（ １ ）
式中 ｐ ｌ （ ＞ Ｏ ） 和ｐ （ ｏ ≤ ≤ １ ） 分 别为分 数 阶微 分
项 的系数 和阶次 。分数阶微分 的定义有 多种 ， 它 们在
一
些 学者 的错 误 观 点 。Ｄｕ ［ １ 。 。 研 究 了一 类 分 数 阶微
料本 构关 系方 面 和控 制工 程领域 ＿ ６ ］ 深 受关 注 。 在 动力 学 方 面 ， 目前 主要 集 中于含 分 数 阶微 积
分项 的动 力系 统振动 特 性 的研 究 ， ｗａ ｈ 应用 平 均
第３ Ｏ 卷第 １ 期
２ ０ １ ７年 ２月
Ｖ０１ ．３ ０ ＮＯ． １ Ｆｅ ｂ ．２ Ｏ１ ７
分 数 阶 Ｄｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 的 组 合 共 振
顾 晓 辉 。 ，杨 绍 普 ，申永 军 ，刘 进 志
（ １ ． 石家庄铁道大学交通运输学院 ， 河北 石家庄 ０ ５ ０ ０ ４ ３ ； ２ ． 河北省交通安全与控制重点实验室 ， 河北 石家庄 ０ ５ ０ ０ ４ ３ ）
式中 ｒ （ ） 为 Ｇａ ｍｍａ函数 。
ｄ ｓ（ ２ ）
，
子 的近似 解 析 解 。杨 建 华 。 ］ 应 用 谐 波 平 衡 法 分 析
了一 类分 数 阶线性 系统在 周期信 号激 励下 系统 响应
的近似解 。Ｃ ｈ ｅ ｎ ＿ ｌ １ 、 孙 春 燕ｌ ｌ 。 研 究 了 随 机 激 励 作
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念， 分 析 了含 分数 阶微 分项 的线性 、 非线 性振子 的动
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摘要 ： 研 究 了 ２个谐 波激 励 作 用 下 含 分 数 阶微 分 项 的 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ 振 子 的一 类 组 合 共 振 ， 利 用 多 尺度 法 得 到 了 ２ ＋ ｚ 型组合共振的一次近似解析解 ， 分 析 了定 常 解 的稳 定 性 。应 用 奇 异 性 理 论 研 究 了 幅频 响 应 分 岔 方 程 ， 得 到 了 开 折
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２ 一 ，叫 一 鱼
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用 下分 数 阶 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 的幅频特 性 。廖少锴 口 结
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通过 以上分 析 可 发现 ， 现 有 文献 大 多针 对 单 频 激励 或 随机激励 展开 讨论 ， 而在 实际 问题 中 ， 许 多工 程结 构或 部件会 受 多 频激 励 作 用 的影 响 ， 多频 激 励
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分数 阶微 积 分 发 展 至今 已 有 超 过 ３ ０ ０年 的历 史， 近些年来 ， 基 于众 多学者 在其 定义 、 性质 、 计 算 方
系统 的 响应 特 性 。
关键 词 ： Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子 ； 分 数 阶 微分 ； 组合共振 ； 多尺度法 ； 奇 异 性理 论 中图分类号 ： ０３ ２ ２ ；０ ３ １ ３ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ ０ ２ ８ — ０ ５
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１ 摄 动 分 析
考 虑如 下分数 阶 Ｄ ｕ ｆ ｆ ｉ ｎ ｇ振 子模 型
（ ｆ ） ＋
１
法研 究 了含分 数 阶阻尼项 的非 线性 时滞 系统 的响应
特 征 ，发 现 了 一 些 分 数 阶 系 统 的 特 有 现 象 。 Ｓ ｈ ｅ ｎ ＿ ８ 。 叩 提 出 了等效线 性 阻尼 和等效 线 性 刚度 的概
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参 数 平 面 的转 迁 集 和 所 有 区 间 上 分 岔 曲 线 的 拓 扑 结 构 。最 后 通 过 数 值 仿 真 分 析 了 系 统 参 数 对 组 合 共 振 幅 频 响 应 的影 响 。研 究 表 明 ： 分 数 阶微 分 项 即具 有 阻尼 特 性 又 具 有 刚 度 特 性 ， 选 择 合 理 的 分 数 阶微 分 项 参 数 可 以有 效 改 善
。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ － ０ ９ — ２ ８ ； 修 订 日期 ： ２ ０ １ 学 基金 资 助 项 目（ １ １ ２ ２ ７ ２ ０ １ ， １ １ ４ ７ ２ １ ７ ９ ， １ １ ３ ７ ２ １ ９ ８ ， １ １ ５ ７ ２ ２ ０ ６ ） ； 河 北 省 高 等 学 校 创 新 团 队 领 军 人 才
定条件下是 等价 的， 本文采用 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ型ｌ ３ ］ ， 即
分方 程 的初 值 问题及 其求 解方 法 。Ｇｕ ｏ ｌ １ 。 ］ 提 出 一
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Ｄ０Ｉ ： １ ０ ． １ ６ ３ ８ ５ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ ． ２ ０ １ ７ ． ０ １ ． ０ ０ ４
学
微 分项 的数值 计算 方 法 ， 并 研 究 了含 平 方 非线 性 分 数 阶振 子 的动 力 学 行 为 。Ｃ ａ ｏ ＿ ２ 。 。 采用 数 值 积 分 法 ， 结 合相 图 、 庞加莱 截面 图 、 分 岔 图等 分析 了分数 阶阻 尼对 系统 动力学性 能 的影 响 。
一
Ｄ ［ ｚ（ ￡ ） ］ 一Ｆ １ Ｃ Ｏ Ｓ （ １ ） ＋Ｆ２ Ｃ Ｏ Ｓ （ ｃ ｏ ２ ｆ ）
（ １ ）
式中 ｐ ｌ （ ＞ Ｏ ） 和ｐ （ ｏ ≤ ≤ １ ） 分 别为分 数 阶微 分
项 的系数 和阶次 。分数阶微分 的定义有 多种 ， 它 们在
一
些 学者 的错 误 观 点 。Ｄｕ ［ １ 。 。 研 究 了一 类 分 数 阶微