高中数学 151~3正弦函数的图像 正弦函数的性质活页训

【创新设计】2013-2014学年高中数学 1-5-1~3正弦函数的图像 正
弦函数的性质活页训练 北师大版必修4
双基达标
限时20分钟
1．用五点法作函数y ＝2sin 2x 的图像时，首先应描出的五点横坐标可以是( )． A ．0，π2，π，3π
2，2π
B ．0，π4，π2，3π
4，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π6，π3，π2，2π
3
解析 令2x ＝0，π2，π，3π2，2π，解得x ＝0，π4，π2，3π
4，π.
答案 B
2．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π
2
解析 画出y ＝sin x 的图像，观察知x ＝π
2是对称轴．
答案 D
3．使sin x ＝1＋m
1－m 有意义的m 的值为( )．
A ．m ≥0
B ．m ≤0
C ．－1<m <1
D ．m <－1或m >1
解析 由题意，得－1≤1＋m
1－m ≤1，解得m ≤0.
答案 B
4．在[0,2π]上，满足sin x ≥
2
2
的x 的取值范围为________． 解析 可画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像或单位圆，由图知所求范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4.
答案 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4
，3π4
5．已知函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此
封闭图形的面积为________． 解析 数形结合，如图所示．
y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，
5π2的图像与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π
2
，x ＝52π，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2π－π2×2＝4π.
答案 4π
6．若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－1
2，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最
小值及周期．
解 ∵－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b . ∴a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3
2，a －b ＝－1
2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝1，
∴所求函数为y ＝－2sin x . 当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ， ∴a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＝3
2
，
a ＋
b ＝－1
2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝－1，
∴所求函数为y ＝－2sin(－x )＝2sin x .
∴y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.
综合提高
限时25分钟
7．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6≤x ≤2π3的值域是( )．
A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2，32 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32，1 解析 画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6≤x ≤23π的图像，利用图像直接观察．
答案 B
8．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．
A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数
解析 ∵y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ， ∴T ＝2π，故A 正确；
y ＝cos x 在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
上是增函数，故B 正确； 由图像知，y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，故C 正确；
y ＝－cos x 是偶函数，故D 错误．
答案 D
9．函数y ＝|sin x |的单调增区间是____________．
解析 由y ＝|sin x |图像易得函数单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z . 答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z
10．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.
解析 ∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max
＝2sin ωπ3＝
2，∴sin ωπ
3
＝
22，ωπ3＝π4，即ω＝34
. 答案 3
4
11．已知函数f (x )＝|sin x |，
(1)求其定义域和值域； (2)判断奇偶性；
(3)判断周期性，若是周期函数，求最小正周期； (4)写出单调区间．
解 (1)由题意得sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z ， ∴定义域是{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 1
2
|sin x |≥0，
∴函数的值域是{y |y ≥0}． (2)∵f (－x ) ＝
|sin(－x )| ＝
|sin x |＝f (x )．
∴函数f (x )是偶函数．
(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π.(也可画出图像，然后求周期) ∴函数f (x )＝＝
|sin x |是周期函数，最小正周期为π.
(4)单调增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )； 单调减区间是⎝
⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 12．(创新拓展)判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2
x )的奇偶性． 解 ∵sin x ＋1＋sin 2
x ≥sin x ＋1≥0， 若两处等号同时取到，
则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2
x >0. ∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x ) ＝ln(1＋sin 2
x －sin x ) ＝ln(1＋sin 2
x ＋sin x )－1
＝－ln(sin x ＋1＋sin 2
x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．。