华师版八年级上册数学7.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝1
2BC ，若∠EAB ＝20°，则
∠BAC ＝ .【方法16】
2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .【方法16】
(1)求证：DE ＝DF ； (2)若∠A ＝90°，图中与DE 相等的有哪些线段(不说明理由
)?
3．如图，△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC ，求证：EB ⊥AB
.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为【方法16】（ ）
A ．0.4cm 2
B ．0.5cm 2
C ．0.6cm 2
D ．0.7cm 2
◆类型二 利用等腰直角三角形构造全等
5．★如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为CB 延长线上一点，AE ＝AD ，且AE ⊥AD ，BE 与AC 的延长线交于点P .求证：BP ＝PE
.
◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．★如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：BC ＝AB ＋CD
.
参考答案与解析
1．40°
2．(1)证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°.又∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (AAS)．∴DE ＝DF ；
(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段AE ，AF ，BE ，CF ，DF
.
3．证明：作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝1
2AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD
平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB
.
4．B
5．证明：作EM ⊥AP 于M .∵∠ACB ＝90°，∴∠M ＝∠ACD .∵AD ⊥AE ，∴∠DAE ＝90°，∴∠EAM ＋∠AEM ＝90°，∠EAM ＋∠DAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠AEM .在△ADC 和△EAM 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠DAC ＝∠AEM ，∠ACD ＝∠M ，AD ＝EA ，
∴△ADC ≌△EAM (AAS)．∴AC ＝EM .∵AC ＝BC ，∴BC ＝EM .∵∠ACB ＝90°，∴∠BCP ＝∠M .在△BCP 和△EMP
中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠BCP ＝∠M ，∠BPC ＝∠EPM ，
BC ＝EM ，
∴△BCP ≌△EMP (AAS)．∴BP ＝PE
.
6．证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ＝1
2∠ABC .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)．∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB .又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝1
2×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD
＝18°，∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE ＝180°－∠ADB －∠EDB ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝180°－108°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .。