高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量自主训练北师大版必修1

2.1 从位移、速度、力到向量
自主广场
我夯基我达标
1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
思路解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离相等，且等于1，这样的图形显然是一个圆.
答案：D
2.下列命题正确的是（）
A.若|a|=0，则a=0
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若|a|=|b|，则a∥b
D.若a∥b，则a=b
思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向.当|a|=|b|时，只说明a 与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错;当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.
答案：A
3.下列说法中不正确的是（）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量的终点必相同
思路解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
4.下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.
正确的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析：①正确；
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立；
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC且AB=DC，即和DC相等.
答案：C
5.下列说法中正确的是（ ）
A.若|a |＞|b |，则a ＞b
B.若|a |=|b |，则a =b
C.若a =b ，则a ∥b
D.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量
思路解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；当|a |=|b |时，它们的方向不一定相同，所以B 不正确；a ∥b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确.
答案：C
6.若a 0是a 的单位向量，则a 与a 0的方向____________，|
|a a 与a 0的长度. 思路解析：一个向量的单位向量和这个向量本身共线；向量a 的单位向量定义为
||a a . 答案：相同 相等
我综合 我发展
7.给出以下5个条件：①a =b ；②|a |=|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |=0或|b |=0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是__________.
思路解析：模相等的向量的方向不确定，②不正确；单位向量不一定是共线向量;⑤不能使a 与b 共线成立.
答案：①③④
8.如图2-1-4，D 、E 、F 分别是等腰Rt△ABC 的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-4
（1）分别写出图中与向量、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、相等的向量；
(3)分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.
解：（1）与ED 长度相等的向量有：FB ，BF ，FC ，CF ；与DF 长度相等的向量有：DB ，，，，，，，，，.
（2）与向量相等的向量有：，；与向量相等的向量有：，.
(3)与向量共线的向量有：，，，，，，；与向量DF 共线的向量有：FD ，CE ，EC ，，，CA ，AC .
9/已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的
1000km到达丁地，问丁地在甲方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行2
地的什么方向?丁地距甲地多远?
思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解：如图2-1-5，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，
图2-1-5
由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2 000 km.
1000km，
又∵∠ACD=45°，CD=2
∴△ACD是直角三角形.
1000 km，∠CAD=45°.
∴AD=2
1000km.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地2。