椭圆轨迹方程的求法

从课本看椭圆轨迹的求法
一、待定系数法
由不对称的两点确定椭圆方程时，由于焦点的位置不确定，一般可以用椭圆方程的一般形式，不必考虑焦点位置，直接用待定系数求解即可。

【例1】求经过两点)2
1,0(),31,31(-Q P 的椭圆的标准方程。

【答案】14
1
512
2=+y x 【解析】由于椭圆的焦点位置不确定，可以设椭圆方程的一般形式
122=+ny mx 椭圆经过)2
1,0(),31,31(-Q P 两点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+14
199n n m ，解之得⎩⎨⎧==45n m 故所求椭圆的标准方程为14
1
512
2=+y x . 二、定义
利用定义求椭圆方程，关键在于从题干中寻找“动点到两定点的距离和为常数”，找准这一关系式，则确定了标准方程中的a ，c 。

【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 【答案】22
13627
x y += 【解析】设动圆圆心为),(y x M ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ， 将圆方程化解得()2234x y ++=，()2
23100x y -+=
当⊙M 与1O 外切时，有12O M R =+，①
当⊙M 与2O 内切时，有210O M R =-，② 将①②两式的两边分别相加，得1212O M O M +=，由椭圆的定义知，M 的轨迹是以1O 、2O 为焦点的椭圆
则有3,6==c a ．从而所求椭圆方程为22
13627
x y +=. 【例3】如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程。

【答案】13
42
2=+y x 【解析】因为1l 是线段BP 的垂直平分线，所以||||QB QP =
即42QA QB AP AB +==>=
由椭圆定义可知Q 点的轨迹是椭圆，且3,1,2===b c a ，
所以曲线C 的方程为13
42
2=+y x . 三、直接法
直接法是将题干中的几何关系直接转化，化简，在处理时要注意几何关系有意义的前提条件，最后判断方程的曲线，曲线的方程是否一一对应。

【例4】 如图，设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-．直线BM AM ,相交于点M ，
且它们的斜率之积是9
4-，求点M 的轨迹方程．
【解析】设点M 的坐标为),(y x ，
∵点A 的坐标是(－5,0)，
∴直线AM 的斜率)5(5
-≠+=x x y k AM ； 同理，直线BM 的斜率)5(5
≠-=x x y k BM ． 由已知有9
455-=-⋅+x y x y 化简，得点M 的轨迹方程为)5(19
10025
2
2±≠=+x y x ． 【例5】点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线c a x l 2
:=的距离的比是常数a c ()0>>c a ，求点M 的轨迹。

【解析】设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=MF c d a
整理得： ()a
c x c a y c x =-+-2
2
2 两边同时平方，并化简，得()()22222222c a a y a x c a -=+-，令222b c a =-，
得M 的轨迹的方程为122
22=+b
y a x ()0>>b a 四、交轨法
在课本中提到如下这样一个例题，由特定的两直线的交点产生椭圆的轨迹，在此将该例题推广到一般情况。

【例6】如图，矩形ABCD 中，)0(2||,2||>>==b a b BC a AB ，H G F E ,,,分别是矩形四条边的中点，T S R ,,分别是线段OF 的四等分点，T S R ''',,分别是线段CF 的四等分点.证明直线ER 与R G '、ES 与S G '、ET 与T G '的交点N M L ,,都在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上. 【解析】依题可得)0,4(),,0(a R b E -，即直线ER 的方程为b x a
b y -=4 又)43,(),,0(b a R b G '，即直线R G '的方程为b x a
b y +-=4 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=b a b y b x a b y 44，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==1715178b
y a x 即)1715,178(b a L ，同理可得)25
7,2524(),53,54(b a N b a M 将点N M L ,,的坐标代入方程122
22=+b
y a x ，均满足方程。

即点N M L ,,都在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上. 【一般情况】如上图，矩形ABCD 中，)0(2||,2||>>==b a b BC a AB ，H G F E ,,,分别是矩形四条边的中点，设R 是线段OF 靠近点O 的λ等分点（1>λ），R '是线段CF 靠近点C 的λ等分点（1>λ），证明直线ER 与R G '的交点L 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上.
【解析】依题可得)0,(),,0(λa R b E -，即直线ER 的方程为b x a
b y -=λ① 又))1(,(),,0(λλb a R b G -'，即直线R G '的方程为b x a
b y +-=λ② 由①得x a b b y λ=+ ③；由②式得x a
b b y λ-=- ④ ③，④式相乘得222
2
2x a b b y -=-，整理得)0(122
22>>=+b a b y a x 即直线ER 与R G '的交点L 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上. 五、相关点法
课本中的例题和课后题都提到圆通过伸缩变化成为椭圆，在求轨迹方程时，可以利用相关点法，在椭圆和圆上的动点之间建立一一对应关系。

【例7】 如图，在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
【解析】设点),(y x M ，点P 的坐标为),(00y x ，
则2
,00y y x x ==. ∵点),(00y x P 在圆422=+y x 上，即42020=+y x
把2
,00y y x x ==代入方程，得4422=+y x 即14
22
=+y x . ∴点M 的轨迹是一个椭圆．
【例8】若线段AB 的两个端点分别在x 轴，y 轴上滑动，6||=AB ，点M 是线段AB 上一点，且2||=AM ，则动点M 的轨迹方程是_______. 【答案】14
162
2=+y x 【解析】设AB 的中点为M '，易得3||2
1||==
'AB M O 即M '的轨迹方程是922=+y x 设),(y x M ，由于||31||AB AM =，则)2
3,43(y x M ' 即9)2
3()43(22=+y x ，即动点M 的轨迹方程是141622=+y x 【例9】已知椭圆13
42
2=+y x ，若动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆于B A ,两点，P 在l 上，且满足2||||=PB PA ，求点P 的轨迹方程。

【答案】129622=+y x 或12
32
2
2=+y x 【解析】设),(y x P ，),(00y x A ，),(00y x B -，则由2||||=PB PA 可得 2||||00=+⋅-x x x x ，即2||2
02=-x x 又动直线l 垂直于x 轴，所以0y y =
当2202=-x x 时，由1342
020=+y x ，可得134222=+-y x ，即1296
2
2=+y x 当2202-=-x x 时，由1342020=+y x ，可得134222=++y x ，即1232
22=+y x。