mathematica有限元平面问题

mathematica有限元平面问题
Mathematica是一款强大的数学软件，可以用于解决各种数学问题，包括有限元分析。

在Mathematica中，你可以使用内置的函数和自定义函数来模拟和求解有限元问题。

以下是一个简单的Mathematica 有限元平面问题求解示例：1.首先，创建一个平面有限元问题模型。

假设我们有一个平面三角形单元，其顶点坐标分别为A(0, 0)，B(1, 0) 和C(0,
1)。

2.定义单元的坐标映射函数。

在有限元分析中，我们需要将单元上的坐标映射到整体坐标系中。

这里我们使用线性映射函数：CoordinateTransform[{x, y}, {a, b}] := {a x + b y, a y + b x}
3.计算单元的应变。

应变是与位移有关的物理量，这里我们假设位移为U 和V。

根据有限元原理，应变可以通过位移和单元坐标映射关系计算：
Strain[U, V, a, b] := {
{a (U -1)/2, b (V -1)/2},
{a (V -1)/2, -b (U -1)/2}
}
4.计算单元的应力。

应力是作用在单元上的力除以面积。

假设应力为S，根据有限元原理，应力可以表示为：
Stress[U, V, a, b, S] := {
S (a (V -1)/2),
S (b (U -1)/2)
}
5.创建一个有限元求解器。

我们可以使用Mathematica 内置的Solve 函数来求解线性方程组。

首先，定义单元的刚度矩阵和载荷向量：
deflection[U, V, a, b,应变_, 载荷_] := {
Solve[
{
a (V -1)/2 * (应变[[1, 1]] + 应变[[2, 1]]),
b (U -1)/2 * (应变[[1, 2]] + 应变[[2, 2]]),
S (a (V -1)/2),
S (b (U -1)/2)
},
{U, V, 0, 0}
]
}
6.使用有限元求解器计算位移。

将应变和载荷代入求解器，得到位移向量：
displacement[应变_, 载荷_] := deflection[U, V, a, b, 应变, 载荷]
7.将位移映射回单元坐标系。

使用坐标映射函数将整体坐标系的位移映射回单元坐标系：
mappedDisplacement[U_, V_, a_, b_, 位移_] := { CoordinateTransform[位移, {a, b}][[1]],
CoordinateTransform[位移, {a, b}][[2]]
}
8.绘制结果。

使用Mathematica 的Graphics 函数绘制位移后的单元：
Graphics[{
Point[{0, 0}],
Point[{1, 0}],
Point[{0, 1}],
Polygon[mappedDisplacement[U, V, a, b, {U, V}]],
Axes -> True,
AxesOrigin -> {0, 0}
}]
这个示例展示了如何使用Mathematica解决一个简单的有限元平面问题。

你可以根据需要扩展此示例，以适应更复杂的问题和更高级的求解方法。

注意，这个示例仅用于说明目的，实际应用中可能需要考虑单元的旋转、材料属性、边界条件等因素。