数学模型课程设计报告

《数学建模课程设计报告》
题目：输油管的布置优化问题
专业：数学与应用数学
学号：
姓名：
组员：
指导教师：
成绩：
二〇一〇年十二月二十五日
输油管的布置优化问题
摘要：本文研究的是管线建设费用最省问题。

针对问题一：我们首先对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情形给出了四个线路的铺设方案。

然后，对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情况，以及共用管线费用与非共用管线费用相同和不同进行了讨论，给出了方案的选择以及最优化方案时铺设管线的费用。

如表1，表2所示表1 费用相同时
确定了城市建设管线附加费用的权重及费用的数值，我们从一般情况出发，考虑了是否有共用管线，建立了非线性规划的数学模型，利用Matlab程序编程，从而求出最优解为：282.6973万元，布置方案如图6所示。

针对问题三：在问题二的基础上，我们建立了一个非线性规划的数学模型，利用Matlab 程序编程，从而求出最优解为：251.9685万元，布置方案如图9所示。

关键词：非线性规划层次分析法（AHP）权重Matlab 程序
1问题的重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，
用来运送成品油。

由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建
设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。

在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线
费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。

两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II
区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图中各字母表示的距离（单位：
千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。

铺设在城区的管线还需增加
拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公
司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。

估
算结果如下表所示：
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。

这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6
万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆
迁等附加费用同上。

请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

2 符号说明
A 表示炼油厂A
B 表示炼油厂B
C 表示新建车站
M 表示非共用管道的单位建设费用 （单位：万元） N 表示共用管道的单位建设费用 （单位：万元） Z 表示铺设管线的总费用 （单位：万元） a 表示炼油厂A 到铁路的距离 （单位：千米） b 表示炼油厂B 到铁路的距离 （单位：千米） l 表示两个炼油厂的垂直距离 （单位：千米） )(x f 表示所铺设的总管道长 （单位：千米）
3 模型假设
1、炼油厂B 离铁路线的距离大于等于炼油厂A 的距离
2、车站的位置是由最优铺设管线方案确定
3、炼油厂A ，炼油厂B ，车站都看作一个点
4、炼油厂A ，炼油厂B ，车站等都在一个平面内
5、管道的市场价格稳定
4 模型的建立与求解
4.1 问题一建模与求解： 4.1.1 问题分析
若管线建设费用最省，那么管线的长度应该是最短的，因此我们要设计的管线首先考虑线路最短，然后根据费用的不同考虑每段线路的长度。

以O 点为坐标原点，以铁路所在直线为x 轴，以油厂A 所在直线为y 轴，建立直角坐标系 (单位：千米)。

4.1.2 数学模型的建立
方案一 两个炼油厂没有共用管线时，方案如图1所示，C 点为新建车站位置，若建设管线费用最省，只需要线路最短即可，也就是求从炼油厂到新建车站的最短距离，即新建车站应该在到两炼油厂距离最短的位置上。

设C 点的坐标为（x,0），炼油厂A ﹑B 的坐标分别为（0，a ）,( l ,b)，则管线的长度为
2222)()(x l b a x x f -+++=
()2222')(x l b x
l a x x x f -+--+=
令0)('=x f 解得 b a al x +=
此时最短路线为()22min l b a f ++=
,则最少费用为：()M l b a Z ⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=22
min
y
图1
方案二 两个炼油厂有共用管线且两个炼油厂与新建车站不在一条直线上时，方案如图2所示，C 点为新建车站位置，若建设管线费用最省，首先考虑线路最短，然后根据费用不同考虑每段线路的长度。

(1)当费用相同时，若建设管线费用最省，只需要线路最短。

管线的长度为
y x l y b y a x y x f +-+-+-+=2222)()()(),( 由二元函数微分法解得
()223l b a x +-⨯= l b a y ⨯-+=6
32
此时最短路线为l b a f ⨯++=2
3
2min 则此时最少费用为：M l b a Z ⨯⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=23min (2)当费用不相同时，管线的建设费用为：
()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-++=2
222x l y b y a x M Ny Z
设M N
=λ，由二元函数微分法解得:
()2242l b a x +--=λλ 2422λλ--+=l
b a y
此时最少费用为：()2
24min 2λ
λb a l Z ++-=
图2
方案三 两个炼油厂有共用管线且两个炼油厂与新建车站在一条直线上时，方案如图3所示，C 点为新建车站位置，此时管线长度为b f =
当费用相同时，费用为Mb Z =；
当费用不同时，费用为()a b M Na Z -+=
图3
方案四 两个炼油厂有共用管线且炼油厂A 与新建车站C 的连线垂直于铁路线，炼油厂B 与该连线不共线时，方案如图4所示，C 点为新建车站位置，此时管线长度为 ：a AB f += 即：()2
2l a b a f +-+
=
当费用相同时，费用为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+
=22l a b a M Z ；
当费用不同时，费用为()22l a b M
Na Z +-+=
显然，方案一、三、四都是方案二的特殊情形。

4.1.3 模型的分析
我们根据一般情形(方案二)对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形进行讨论如下：
（1）在共用管线和非共用管线费用相同时.
1、当0≠l 且)(3a b l -<时，这时0<x ，a y >，易得最优方案为方案四，铺设线路如图4所示，此时最低费用为)2(a b M Z -=。

2、当0≠l 且)(3a b l -=时，0=x ，a y 3=，如图4所示，即最优方案为方案四，此时最少费用为：)2(a b M Z -=。

3、当0≠l 且)(3)(3b a l a b +<<-时，a x 30<<，a y <<0，铺设线
路如图2所示，即为方案二，这时最低费用为：)2
32(
l
b a M Z ++=。

4、当0≠l 且)(3b a l +=时，a x 3=，0=y ，这时没有共用管线，如图1
所示，即方案一，此时费用最少值为：())22(2
2b a M l b a M
Z +=++=，
5、当0≠l 且)(3b a l +>时，a x 3>，0<y ，由于车站建在铁路线上，故0≥y ，如图1所示这时选择无共用管线方案，即方案一，这时最低费用为：
()22
l b a M Z ++=。

6﹑当0≠l 时，这时两炼油厂跟车站共线，铺设线路如图3所示，此时选择方案三，最低费用为Mb Z =。

如表1所示 表1
同理当共用管线与非共用管线（m
n
=λ）不相同时得到方案选取的不同情况如
表2所示：
（2）我们选择一般情形方案二，共用管线与非共用管线费用相同时，对其中的参数a,b,l以及决策变量x,y列表讨论如下（表3-表5）：
表3 a=5，b=8时，表4 a=5，l=20时
从表3中可以看出，当a,b固定，l在5.4~22之间变化时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线总费用最省。

当l超过22.6变化时，此时铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

从表4中可看出，当a,l固定时，b在0~6.5之间变化时，此时铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

当b在6.8~16.4之间变化时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线费用最省
利用Matlab做的散点图为：
图 a=5，b=8
图 a=5，l=20
表5 b=8，l=20 表6 a=5，b=8
利用Matlab 程序做的散点图为：
图 b=8，l =20
图 a=5，b=8
从表5中可看出，当b,l固定时，a在0~3.5之间变化时，此时铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

当a超过3.8变化时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线费用最省。

（3）当共用管线费用与非共用管线费用不相同时，对其中的参数a,b, l以及决策变量x,y列表讨论如下（表6-表8）
从表6中可看出，当a,b固定时，l在3.1~12之间变化时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线费用最省。

当l超过12.6时，此时铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

表7a=5，l=20表8 b=8，l=20
从表7中可看出，当a, l固定不变时，b在1~15.7之间变化时，铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

当b在16~25.5之间变化时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线费用最省。

从表8中可看出，当b, l固定不变，a在0.2~12.7之间变化时，铺设管线之间没有共用管线（即y=0），选择方案一的铺设管线费用最省。

当a超过13时，x,y均为非零数值，此时选择方案二的铺设管线费用最省。

利用Matlab程序做的散点图为：
图a=5，l=20
图b=8，l=20
4.2 问题二建模与求解： 4.2.1 问题分析
这是一个非线性规划问题，若求管线铺设的费用最低，首先确定附加费用的大小，需要先确定三家公司的估值的权重系数，从而得出附加费用，进而建立一个非线性规划模型，利用Matlab 求出最优解。

4.2.2 数学模型的建立
首先确定城区建设管线附加费用值。

利用层次分析法（AHP ）确定权重，通过引入两个因素对费用值影响的程度大小的比值得到比较矩阵如下：
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=112/1112/1221A
求出对比矩阵A 的最大特征根为3λ=，对应的特征向量归一后为
T )25.0,25.0,50.0(=ω 即3种因素在弊端指数中所占的权重，由此我们可以得到：
因此可以得到附加费用为：
50.2125.02025.02450.021=⨯+⨯+⨯（万元）
方案一 两个炼油厂没有共用管线时，方案如图5所示，C 点为新建车站位置，若建设管线费用最省，就要求管线的铺设费用和附加费用之和最小。

设点F 到铁路线的距离为q,管线的长度为
222222)(5)15(),(q b q x x a q x f -+++-++=
所以管线布置的总费用为
⨯=2.7Z ))(5)15((222222q b q x x a -+++-+++21.522)(5q b -+⨯ 故目标函数为：
=Min ⨯2.7))8(5)15(5(222222q q x x -+++-+++21.522)8(5q -+⨯ 约束条件为：
150≤≤x ；80≤≤q
图5
通过Matlab 程序对上述模型进行运算（参见附录7），得到最优解为：
284.5368万元，此时，x=6.1488,q=7.1987。

方案二 两个炼油厂有共用管线时，方案如图6所示，C 点为新建车站位置，若建设管线费用最省，就要求管线的铺设费用和附加费用之和最小。

设点F 到铁路线的距离为q ，则管线的长度为
222222)(5)()15()(),,(q b y q x y x y a q y x f -++-+-+++-=
所以管线布置的总费用为
22222222)(55.21))(5)()15()((2.7q b q b y q x y x y a Z -+⨯+-++-+-+++-⨯=
故目标函数为：
22222222)8(55.21))8(5)()15()5((2.7q q y q x y x y Min -+⨯+-++-+-+++-⨯=
约束条件为：
150≤≤x 80≤≤y 80≤≤q
图6 利用Matlab 程序（参见附录8）对该模型进行运算，得到最优解为：282.6973
万元，此时，x=5.4494，y=1.8540，q=7.3678。

方案三 两个炼油厂有共用管线且附加费用最少时，方案如图7所示。

q=b=8, 所以管线布置的总费用为
)1520(5.21)10)(15(2.7Min 22-⨯++-+⨯=a q Z 即55.21)10315(2.7Min 22⨯+++⨯=Z
图7
利用Matlab 程序对该模型进行运算，得到最优解为：289.6388万元。

4.2.3 数学模型的求解
把以上方案进行比较，设计院管线布置为方案二时费用最少，管线相应费用为：282.6973万元。

4.3 问题三建模与求解：
4.3.1 问题分析
要求管线最佳布置方案，即管线铺设费用最小。

4.3.2 数学模型的建立
方案一两个炼油厂没有共用管线时，方案如图8所示，C点为新建车站位置，C点与O的距离为x，F到铁路线的距离为q,若建设管线费用最省，只需要考虑输送A,B厂成品油的管线铺设费用和附加费用之和最小。

所以铺设管线的总费用Z=5.6⨯AC+6.0⨯(CF+BF)+21.5⨯BF
即
2
2
2
2
2
2
2
2)
8(
5
5.
21
)
)
8(
5
)
15
(
(
0.6
5
6.5
Min q
q
x
q
x
Z-
+
⨯
+
-
+
+
-
+
⨯
+
+
⨯
=
约束条件为：15
0≤
≤x；
8
0≤
≤q
图8
利用Matlab 程序（参见附录9）对该模型进行运算，得到最优解为：251.9755万元，此时：x=6.7530，q=7.2710。

方案二两个炼油厂有共用输油管道时，方案如图9所示，C点为新建车站位置，若建设管线费用最省，只需要考虑输送A,B厂成品油的管线铺设费用和
附加费用和共用输油管道之和最小。

所以铺设管线的总费用为：
Min Z=5.6⨯AH+7.2⨯Y+6.0⨯(HF+FB)+21.73⨯BF
2 2
2
2
2
2
2
2
)
8(
5
5.
21
)
)
8(
5
)
15
(
)
(
(
0.6
2.7
)
5(
6.5
q
q
x
y
q
y
x
y Z
-
+
⨯
+
-
+
+
-
+
-
⨯
+
⨯
+
+
-
⨯
=
约束条件为：
15
0≤
≤x;
8
0≤
≤y;
8
0≤
≤q
图9
利用Matlab 程序（参见附录10）对该模型进行运算，得到最优解为：251.9685
万元，此时：x=6.7339，q=7.2795，y=0.1390。

4.3.3 数学模型的求解
把以上方案进行比较，得出管线最佳布置方案是方案二，管线相应费用为：251.9685万元。

5 模型的评价
优点：模型对各种情况做了全面的分析，利用建立坐标系，列表格，画散点图的
形式，简明形象的展现出来。

并且有很多参数可以根据实际需要取一定的值，使
模型具有很强的普遍性和实用性。

问题二在建模过程中，利用层次分析法（AHP）确定了附加费用的权重，通
过Matlab 程序得到一个很好的结果，使问题变得简单和清晰化。

设计的解法简单易行，具有一定的通用性。

缺点：模型的解存在一定的误差，在模型建立中没有考虑车站是否事先确定的问题。

6 参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊《数学建模（第三版）》，北京，高等教育出版社，2009
[2]龚纯，王正林，《精通MATLAB最优化计算》，北京，电子工业出版社，2009
[3]赵静，但琦，《数学建模与数学试验》，北京，高等教育出版社，2008
[4]谢金星，薛毅，《优化建模与数学试验》，北京，清华大学出版社，2005
7 附录
附录1:表三散点图
>>
x=[0.1019238,0.4019238,1.401924,1.901924,2.401924,3.401924,4.901924,7.401924,7.901924,8.40192 4,8.692308];
>>
y=[4.941154,4.767979,4.190599,3.901924,3.613249,3.035898,2.169873,0.7264973,0.4378222,0.14914 70,0];
>> plot(x,y,'*')
附录2:表四散点图
>>
x=[9.09,8.849557,8.695652,8.441154,8.267949,6.535899,3.937822,1.339746,0.4737204,0.12731 04];
>> y=[0,0,0,0.1264973,0.2264973,1.226497,2.726497,4.226497,4.726497,4.926497];
>> plot(x,y,'*')
附录3:表五散点图
>>
x=[3.999998,5.454545,5.585586,5.840708,6.086956,6.362693,6.535898,8.267949,11.73205,16.0 6218,18.66025,20];
>> y=[0,0,0,0,0,0.1264973,0.2264974,1.226497,3.226497,5.726497,7.226497,8];
>> plot(x,y,'*')
附录4:表六散点图
>>
x=[0.1042207,0.2042207,0.5542207,1.554221,2.554221,3.554221,4.054221,4.554221,4.846154,5 ,6.923077,7.692308];
>> y=[4.891871,4.788120,4.424995,3.387492,2.349989,1.312486,0.7937348,0.2749835,0,0,0,0]; >> plot(x,y,'*')
附录5:表七散点图
>> x=[5,4.878049,4.830918,4.698809,3.734956,2.771104,1.807251,0.3614718,0.1205082];
>> y=[0,0,0,0.1249724,1.124973,2.124972,3.124973,4.624972,4.874972];
>> plot(x,y,'*')
附录6:表八散点图
>> x=[12,12.27053,12.40963,13.37349,14.81926,15.78312,18.19275,20,20];
>> y=[0,0,0.1249725,1.124972,2.624972,3.624972,6.124972,8,8];
>> plot(x,y,'*')
附录7
function f=fun1(x);
f=7.2*(sqrt(5^2+x(1)^2)+sqrt((15-x(1))^2+x(2)^2)+sqrt(5^2+(8-x(2))^2) )+21.5*sqrt(5^2+(8-x(2))^2)
x0=[0;0];
A=[]; b=[];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0]; VUB=[15;8];
[x,fval]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
附录8
function f=fun2(x);
f=7.2*(sqrt((5-x(2))^2+x(1)^2)+x(2)+sqrt((15-x(1))^2+(x(3)-x(2))^2)+s qrt(5^2+(8-x(3))^2))+21.5*sqrt(5^2+(8-x(3))^2)
x0=[0;0;0];
A=[]; b=[];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0;0]; VUB=[15;8;8];
[x,fval]=fmincon('fun2',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
附录9
function f=fun3(x);
f=5.6*sqrt(5^2+x(1)^2)+6.0*(sqrt(x(2)^2+(15-x(1))^2)+sqrt(5^2+(8-x(2) )^2))+21.5*sqrt(5^2+(8-x(2))^2)
x0=[0;0];
A=[]; b=[];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0]; VUB=[15;8];
[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
附录10
function f=fun4(x);
f=5.6*sqrt((5-x(2))^2+x(1)^2)+7.2*x(2)+6.0*(sqrt((x(3)-x(2))^2+(15-x( 1))^2)+sqrt(5^2+(8-x(3))^2))+21.5*sqrt(5^2+(8-x(3))^2)
x0=[0;0;0];
A=[]; b=[];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0;0]; VUB=[15;8;8];
[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)。