高一数学苏教版必修1教学案：第3章14抽象函数的对称性与周期性

江苏省泰兴中学高一数学教学案(36)
抽象函数的对称性与周期性
班级 姓名
知识点梳理
一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)
(x f y =的图象关于直线2
b
a x +=
对称。

推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)
(x f y =的图像关于直线a x =对称。

推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)
(x f y =的图像关于直线a x =对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
推论 3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程
0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常
数），则函数)(x f y =的图象关于点)2
,2(
c
b a +对称。

推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则
)(x f y = 的图象关于点)0,2
(
b
a +对称。

推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），
则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，)(x f 整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个
为-1，存在对称中心。

定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象
关于直线2
a
b x -=
对称（由x b x a -=+可得）。

推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

定理4.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f c y --= 的图象关
于点)2
,2(
c
a b -对称。

推论. 函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2
(a
b -对称。

二、抽象函数的周期性
命题：若a 是非零常数，对于函数)(x f y =定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数)(x f y =是周期函数.
定理5.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f -=+，则)(x f y =是以
b a T +=为周期的周期函数。

推论1.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是
以)(2b a T +=为周期的周期函数。

推论2.若函数满足条件()()
1
,f x a f x +=-
||则T=2a 则)(x f y =是以a T 2=为周期的周期函数。

推论3. 若函数满足条件()()
()
1,1f x f x a f x ++=||-则T=4a 则)(x f y =是以a T 4=为周期的周期函
数。

定理7.若函数)(x f y =的图象关于直线 a x =与 )(b a b x ≠=对称，则)(x f y =是以
)(2a b T -=为周期的周期函数。

定理8.若函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 与点))(0,(b a b ≠ 对称，则)(x f y =是以
)(2a b T -=为周期的周期函数。

定理9.若函数)(x f y =的图象关于直线a x =与 点))(0,(b a b ≠，则)(x f y =是以
)(4a b T -=为周期的周期函数。

总结：x 的系数同为为1，具有周期性。

例题讲解：
1.求函数值
例1 )(x f 是R 上的奇函数)(x f =－)4(+x f ，x ∈[0，2]时)(x f x =，求f (2007) 的值 .
例2 已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)(x f )2(+x f [1－)(x f ]=1+)(x f ，
)1(f =2，求)2009(f 的值.
2. 求函数解析式
例3 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，)(x f =)4(x f - ，且当[]2,0x ∈-时，
)(x f =-12+x ，则当[]4,6x ∈时,求)(x f 的解析式
3.判断函数的奇偶性
例4 已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)999(+x f =1
()
f x -
，)999()999(x f x f -=+， 试判断函数)(x f 的奇偶性.
4.判断函数的单调性
例5 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，)(x f =)4(x f -,且当[]2,0x ∈-时，)(x f 是减函数，求证当[]4,6x ∈时)(x f 为增函数
例6 )(x f 满足)(x f =-)6(x f -，)(x f =)2(x f -，若)(a f =-)2000(f ，
a ∈[5，9]且)(x f 在[5，9]上单调.求a 的值.
5.确定方程根的个数
例7 已知)(x f 是定义在R 上的函数，)(x f =)4(x f -，)7(x f += )7(x f -,
f (0)=0，求在区间[－1000，1000]上)(x f =0至少有几个根？
江苏省泰兴中学高一数学作业(36)
班级 姓名 得分
1、定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-,则)(x f 一定是（ ）
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D.是奇函数，但不是周期函数
2、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
(1)(1)()xf x x f x +=+，则5
(())2f f 的值是（ ）
A.0
B.1
2
D.
52
3、已知()113x
f x x
+=
-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（ ）. A.17
-
B.
17
C. 35
-
4、ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。

白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是
.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必
须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( ) 2
C.3
5、()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()
1
11f x f x f x ++=-，若()21f ==)2009(f
_________
6、已知)(x f 是R 上的偶函数，对R x ∈都有)6(+x f =)(x f )3(f +成立，若2)1(=f 则)2011(f =
7、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =- 是奇函数，则()2005f 的值为
8、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+,当－1≤x ≤0时，
)(x f = －
2
1
x ，则f ) = _______ 9、设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间
),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.
10、若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(2015
1x
x f =试比较)19
98(
f 、)17101(
f 、)15
104
(f 的大小.。