山西省实验中学2017届高三下学期模拟热身考试文数试题

山西省实验中学2017届高三下学期模拟热身试题数学文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：,则.本题选择C选项.2. 已知，若复数（为虚数单位）为纯虚数，则（）A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】由题意：，满足题意时：，解得：，则：.本题选择A选项.3. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】D【解析】由题意可得：则：，结合等比数列的性质：，数列的各项均为正数，则：.本题选择D选项.4. 一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为，若用分层抽样法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是（）A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】D【解析】由分层抽样的概念可得：应从高三学生中抽取的人数是人. 本题选择D选项.5. 在双曲线：（，）的两条渐近线上各取一点、，若以为直径的圆总过原点，则的离心率为（）A. 3B.C.D. ...【答案】D【解析】以为直径的圆总过原点，则：，双曲线的渐近线方程为，有：，即，双曲线为等轴双曲线离心率.本题选择D选项.6. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则这个几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得该几何体是底面边长分别为5,6，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，高为h，则：，解得，将其补形为一个长方体，外接球半径为：，外接球的表面积：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7. 函数的图象（）A. 关于原点对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】函数的定义域为R，且:而：，据此可得函数是奇函数，，其图象关于原点对称.本题选择A选项.8. 在方程表示的曲线所围成的区域内（包括边界）任取一点，则的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，方程表示的曲线为图中的正方形，很明显目标函数在一三象限可能取得最大值，由对称性考查第一象限即可，当时，，解得，当且仅当时等号成立.本题选择C选项.9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. B. C. D. 0...【答案】D【解析】阅读流程图结合循环结构和判断条件可知该框图计算：.本题选择D选项.10. 若满足方程，满足方程，则函数（）A. 仅有一个或没有零点B. 有两个正零点C. 有一个正零点和一个负零点D. 有两个负零点【答案】C【解析】由题意可知，是函数与的交点的横坐标，是函数与交点的横坐标，设，函数与的图象关于对称，的图象关于对称,则点关于对称,即：，即，且：，由零点存在定理可得函数有一个正零点和一个负零点.本题选择C选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件，没有强调连续曲线是不行的；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在上只有一个零点.11. 抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于、两点，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】很明显直线的斜率存在，设直线AB的方程为：，则直线BN的方程为，联立直线与抛物线的方程：，整理得：，解得：，，解得：，.本题选择C选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12. 锐角的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C...【解析】设公差为d，则有a=b−d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21，当d=0时,b有最大值为，三角形为锐角三角形，由余弦定理有：，解得：，∴，解得：，则实数b的取值范围是.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在正六边形中，若，则__________．【答案】【解析】由题意结合平面向量的运算法则有：.14. 若数列是正项数列，且，则__________．【答案】【解析】当时，，当时：两式做差可得：,据此可得：，则.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．15. 在棱长为2的正方体中，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为__________．【答案】【解析】试题分析：设，中点为，连接，由中位线定理得，根据正方体的性质可知，，可得平面，进而平面，因为平面，所以平面平面，故答案为．考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理．【方法点睛】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题．解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直．16. 已知函数（为自然对数的底数），.若存在实数，，使得，且，则实数的取值范围是__________．... 【答案】【解析】函数的导数为，f(x)在R上递增,由f(2)=0,可得f(x1)=0,解得x1=2，存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|⩽1，即为g(x2)=0且|2−x2|⩽1，即x2−ax−a+3=0在1⩽x⩽3有解，即有在1⩽x⩽3有解，令t=x+1(2⩽t⩽4),则在递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且. （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4【解析】试题分析：(1)利用两角和差正余弦公式结合同角三角函数基本关系求得即可得到；(2)利用余弦定理结合均值不等式构造关于的不等式，求解不等式可得 .试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，∵，∴，又为三角形内角，∴．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，即，∴的最大值为4．18. 西部大开发给中国西部带来了绿色，人与环境日趋和谐，群众生活条件和各项基础设施得到了极大的改善，西部某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：...（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，（其中，为样本平均值）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 【解析】试题分析：(1)利用题意求得，，故关于的线性回归方程为.(2)利用(1)中的回归方程可预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.试题解析：（Ⅰ）由题意得，，则，，故关于的线性回归方程为.（Ⅱ）线性回归方程为，斜率，所以2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 当时，.故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19. 在长方体中，，，，点在棱上移动. （Ⅰ）当时，求证：直线平面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)利用直线垂直于平面内的两条相交直线可证得直线平面；...(2) 两个三棱锥的底面相同，所以体积比等于相应的高之比，计算可得的值为．试题解析：（Ⅰ）证明：连接因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，所以.在上取一点，使，连接，，易证，所以，又，，所以平面，所以，又，且，所以平面.（Ⅱ）因为，且两个三棱锥的底面相同，所以体积比等于相应的高之比.，设点到平面的距离为，由，可得，则，故点到平面的距离为，所以.20. 已知椭圆：（）的短轴长为2，且椭圆的顶点在圆：上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦、，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)利用题意求得..故椭圆的方程为.(2) 当直线的斜率不存在或为零时，.试题解析：（Ⅰ）由题意可得，所以.椭圆的顶点在圆：上，所以.故椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在或为零时，....当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，由得，设，，由根与系数的关系，得，，所以，同理可得，所以.令，则，，而，所以，综上，，故的最小值为.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间是，没有递减区间；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1) 当时，，利用导函数的性质可得的递增区间是，没有递减区间.(2)导函数，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以的递增区间是，没有递减区间.（Ⅱ），令，则，当时，，则单调递增，，当时，，在上单调递增，恒成立；当时，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，则当时，，不合题意.综上，实数的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程...在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）把曲线的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）曲线与曲线交于、，与曲线交于、，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1) 曲线的参数方程化为极坐标方程为(2)由题意求得，，所以.试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，由，，得，所以曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若（，），求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：(1)零点分段可得的最大值为，故.(2)利用题意结合均值不等式的结论可证得结论，注意等号成立的条件.试题解析：（Ⅰ）由于所以的最大值为，故.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得.因为，，所以.当且仅当，时，等号成立.。