【工程力学 课后习题及答案全解】第19章动量定理及其应用习题解

工程力学（2）习题全解
第19章 动量定理及其应用
19-1 计算下列图示简单情况下系统的动量。

(1)质量为m 的匀质圆盘，圆心具有速度0v ，沿水平面作纯滚动（图a ）。

(2)非匀质圆盘以角速度ω绕轴O 转动，圆盘质量为m ，质心为C ，OC = a （图b ）。

(3)胶带与胶带轮组成的系统中，设胶带及胶带轮的质量都是均匀的（图c ）。

(4)质量为m 的匀质杆，长度为l ，角速度为ω（图d ）。

解：（1）p = m v 0，方向同0v ；
（2）p = ma ω，方向同C v ，垂直OC ； （3）p = 0；
（4）p =2
1
ml ω，方向同C v ，垂直OC ；
19-2 曲柄O 1O 2的质量为m 1，长为r 2，角速度为ω。

小齿轮质量为m 2，半径为r 2，在半径为2r 2的固定内齿轮上作纯滚动，如图所示。

若导杆AB 的质量为m 3，在水平槽内滑动。

试求此机构在图示位置时的动量。

解：ωr v O 22= ωω O =2
（逆）
ωr B ⋅=ϕsin 22v ωr O D 222
12
1==v v 机构在图示位置动量：
习题19-1图
习题19-2图
A (a) i
]cos )2(sin )42[(2
1
)cos (sin )cos (sin 2
1
sin 22132122221232
213j i j i j i i v v v p m m m m m r r m r m r m m m m O D B ϕϕωϕϕωϕϕωϕω++++=
++++=++=
19-3 已知三棱柱体A 质量为m 1，物块B 质量为m 2，在图示三种情形下，物块均由三棱柱体顶端无初速释放.若三棱柱体初始静止，不计各处摩擦，不计弹簧质量，则运动过程中哪一种情形有动量守恒。

解：（a ）系统水平方向外力为零，故水平方向动量守恒，且p x = 0；铅垂方向不守恒。

（b ）系统水平方向外力为零，故其水平方向动量守恒，且p x = 0；铅垂方向不守恒。

（c ）由图（d ）可知，系统在水平方向外力投影不为零，（F x = F N sin θ≠0）
，所以（c ）系统水平动量不守恒。

同时A 、B 下滑时，y 方向均有同向速度分量，故p y ≠0，而初始p y = 0，所以铅垂方向动量也不守恒。

习题19-3图
19-4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。

若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。

解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3
ω2
2222d m v m p C ⋅==，方向如图 ϕωsin 3333 d m v m p C ==，方向如图
由质系动量应理：
∑==y y y
F F t p d d
(1) ∑==x x x F F t
p d d (2) ϕωϕωsin sin 23232d m d m p p p y y y +⋅=+=
ϕωcos 2232d m p p p x x x ⋅=+= x x x F F F ==
∑
g m m m F F F )(321++−==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ωϕ=得：
g m m m F t d m t d
m t y )(sin sin 2d d 32132++−=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+⋅ωωωω
x F t d m t =⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⋅ωωcos 2d d 2 (d) 习题19-4图 p
习题19-5图
x
(a)
得t ωd m m g m m m F 2y ωcos 2
2)(3
2321++++= （3）
t m d F 2x ωωsin 2
2−= （4）
解法2：用质心运动定理解 研究对象及受力同前： R F a =C M 32p p p +=
3322C C C m m M v v v +=
t
d d
：3322C C C a a a m m M += 222
ωd a =
C ，方向指向O 点； t d a C ωωcos 23=，方向向上。

写出质心运动定理的投影形式：
g m m m F t d m t d m y 2)(cos cos 2
321322++−=+ωωωω x F t d m -=⋅ωωsin 222
t d
-m F x ωωsin 2
22⋅=
t d m m g m m m F 2y ωωcos 2
2)(3
2321++
++= 结果同解法1。

19-5 图示凸轮机构中，凸轮半径为r 、偏心距为e 。

凸轮绕A 轴以匀角速ω转动，带动滑杆D 在套筒E 中沿水平方向作往复运动。

已知凸轮质量为m 1，滑杆质量为m 2。

试求在任一瞬时机座螺栓所受的动反力。

解：设机座质量为m 3，系统受力如图（a ），质心坐标： 3
21321)cos (ωcos m m m c
m a r t ωe m t e m x C ++++++=
（1）
3
2131sin m m m h
m t ωe m y C ++−= （2）
由（1）、（2）得
()t e m m x m m m C ωωcos )(221..
321+−=++ （3）
()t e m y m m m 2C ωωsin 1..
321−=++ （4）
设螺栓总水平反力为F x ，总铅垂反力F y ，由质心运动定理： ()C x ..
321x m m m F ++=
（5）
()()C y ..
321321y m m m g m m m F ++=++− （6） 由（3）、（5）得：
()t e m m F 2x ωωcos 21+−= ()t e m -g m m m F 2y ωωsin 1321++=
螺栓受总的附加动反力为：
()⎪⎩⎪⎨⎧=+=t
e m F t
e m m F 'y 'x
ωωωωsin cos 212
21
习题19-6图
y
g
2
m
g
1
m
O
(a) 习题19-7图
B
F
g
m
(a)
习题19-8图
v
x
F
(a)
19-6 图示框架的质量为m1，置于光滑水平面上。

框架中单摆的摆长为l，质量为m2。

在摆角为θ0时框架处于静止状态，此时将单摆自由释放。

试求当单摆运动到铅垂位置时框架的位移。

解：系统在水平方向所受外力为零，故水平动量守恒，初始静止，所以水平位置质心守恒。

2
1
2
1
sin
m
m
l
m
x
C+
=
θ
2
1
2
1
2m
m
x
m
x
m
x
C+
+
=
由
2
1C
C
x
x=得
x
m
m
l
m)
(
sin
2
1
2
+
=
θ
2
1
2
sin
m
m
l
m
x
+
=
θ
（向右）
19-7 匀质杆AB长2l，B端放置在光滑水平面
上。

杆在图示位置自由倒下，试求A点轨迹方程。

解：杆水平受力为零，水平动量守恒；初始静
止、质心位置
C
x守恒：
cosα
l
x
C
=
ϕ
cos
l
x
x C
A
+
=（1）
ϕ
sin
2l
y A=（2）
由（1），
ϕ
cos
l
x
x C
A
=
−
即ϕ
αcos
cos
l
l
x A=
−（3）
由（2）ϕ
sin
2
l
y A
=（4）
（3）、（4）两边平方后相加，得
2
2
2
04
)
cos
(l
y
l
x A
A
=
+
−α
此为椭圆方程。

19-8 水力采煤系统利用水枪喷射的高压强力水流，如图所示。

已知水枪喷出水柱的直径为30mm，流速为56m/s。

试求水流给煤层的动压力。

解：v A
q mρ
=
)
0(x
m
x
q
F v
−
=
2
v A
F xρ
−
=
水对煤的动压力：
v
x
F
习题19-9图
2232d 5603.04
π10×××==−=v A F F x ρ=2217N ≈2.22KN （向右）
19-9 自动传送带如图所示，其运煤量恒为20kg/s ，传送带速度为1.5m/s 。

试求匀速传送时传送带作用于煤块的总水平推力。

解：设皮带作用煤块的总水平推力为F x ，皮带在d t 时间内输送量为t q V d ，由动量定理微分形式： t F v t q x V d d =⋅
305120=×==.q F V x v N
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