自然数立方的规律研究

自然数立方的规律研究
我喜欢数学，因为在数学王国里有许多有趣的规律。

上学期的一天，我在做正方体体积的计算练习，13=1、23=8、33=27、43=64、53=125……这些答案是否存在什么规律呢？于是我开始仔细地研究。

我把这些答案的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，就发现了一定的规律，于是我列了一张表，如下：
我归纳一下得出这样的普遍规律：自然数n除以3，当余数=1，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得1；当余数=2，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得8；当余数=0，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得9。

这只是偶然吗？后面的自然数立方也遵循这个规律吗？于是我
开始验证我发现的规律。

验证结果让我太高兴了，我立刻把这个发现告诉全家人，大家纷纷拿笔来计算，最后也都符合我发现的这个规律。

我太自豪了，这可是我自己动脑筋思考和研究的结果，也许这还是个伟大的发现呢！妈妈笑着提醒我，“你再研究研究，为什么自然数立方会有这样的规律呢？”
对呀，为什么呢？于是，我又进入了新一轮的苦思冥想，经过几番挫折，我都没有成功，后来我逐个突破，先从余数是0的开始，这个自然数n就是3的倍数，即n=3x（x=1，2，3，……），那么，
n3=27x3=9×3x3，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数，9的倍数各个位数之和一定是9的倍数，所以将各个位数上的数字相加，
直到求出的和是个位数时，结果一定是9。

啊哈，我越来越接近成功了！
再来看，当余数是1时，这个自然数n就是3的倍数加1，即n=3x+1（x=0，1，2，3，……），那么，n3=（3x+1）3=27x3+27x2+9x+1=9（3x3+3x2+x）+1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再加1，那么结果一定是9+1=10，1+0=1，哈哈，第二关闯关成功！
最后看，当余数是2时，这个自然数n就是3的倍数减1，即n=3x-1（x=1，2，3，……），那么，n3=（3x-1）3=27x3-27x2+9x-1=9（3x3-3x2+x）-1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再减1，那么结果一定是9-1=8，哈哈，第三关闯关成功！耶！我兴奋地大叫并跳了起来。

学习数学真是一个快乐的过程，自然数立方的规律问题是我自己在平时学习中发现的，我联系所学的数学知识，仔细思考、归纳总结并想办法证明，让我体会到在数学海洋里遨游的无穷乐趣，我要是能掌握更多的数学知识，我一定会收获更多的快乐。

肖老师留言：下周一上交的是方案，类似于我昨天给你的样本那样简写即可。

月底交的文章要详尽，可参考我刚才给你发的范文。

生活中的测量
——比例尺的应用与思考我是来自温州市实验小学的杨云涵。

今天，能站在这里为大家介绍我的研究课题，我感到无比的荣幸和自豪。

在这次“小数学家”评比中，我参赛的课题是《生活中的测量——比例尺的应用与思考》。

说起这个课题，不得不提建于公元前2000多年的金字塔。

它是古埃及国王的陵墓，高大雄伟，令人赞叹！但是，在金字塔建成后的1000多年里，人们都无法测量出金字塔的高度——它们实在太高了。

约公元前600年，泰勒斯,古希腊的伟大学者从遥远的希腊来到了埃及。

为了测量出金字塔的高度，泰勒斯已经观察金字塔很久了。

直到有一天，看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到了办法。

泰勒斯仔细地观察着金字塔影子的变化，找出金字塔地面正方形的一边的中点，并作了标记。

然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度。

当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的长度，他推断这时金字塔影子的长度也就是金字塔真实的高度。

泰勒斯在2600多年前用于测量金字塔的办法令我十分着迷，我突然想到了松台山上的净光宝塔，是不是也可以像泰勒斯一样测量出它的高度呢？这个问题让我侧夜难眠，于是在一个晴朗的早晨，我和妈妈一起来到了松台山进行实地考察。

当我一眼看到净光塔的影子时，我高兴地差点跳了起来，因为按照泰勒斯的方法，当人的高度和影子的高度相等时，净光塔的高度和影子的高度也一定相等。

可是这
时，我也发现了一个问题：塔的四周都是郁郁葱葱的大树，无法看到塔完整的影子，怎么测量啊？想到这里，我有点沮丧。

在回家的路上，我一边走，一边观察自己的影子。

我发现随着太阳照射角度的变化，影子的长度也发生了变化。

这时一个灵感从我脑子里蹦了出来：既然无法测量到与塔身长度相等的影子，那么可否在塔身和它的影子成一定比例的时候进行测量呢？我暗自下定决心下次再来试一试。

又是一个周末，我和妈妈再次来到了松台山。

这次我带上了一根155厘米长的尖木棍和一把卷尺。

我们把木棍插在塔前面的空地上，木棍留在地面以上的长度为150厘米。

当塔的影子完全落在塔周边的土地上时，我用卷尺测量出此时木棍影子的长度为5.15厘米。

这样计算出来的木棍长度约是木棍影子长度的29.12倍左右。

同时，我们测量出塔的影子的长度为223.5厘米，那么塔的高度应该就是223.5 X 29.12 = 6508.3（厘米）≈65米。

后来经过了解，净光塔的实际高度是65.46米。

虽然测量结果和塔的实际高度大约有40厘米的误差，但我相信如果进行多次测量，误差应该就会相应减少。

通过这次试验，我初步判断像我这种用影子测量物体高度的方法是可行的。

净光塔测量的第一次失败说明泰勒斯的方法在实际操作中有一定的难度，它对被测物体的周围环境有一定的要求。

而学校操场上的旗杆又让我产生再次尝试的念头。

因为旗杆很高，很直，而且操场又大又平，应该符合测量的条件。

于是我在假期来到了学校，这次，我没有用棍子而是要求妈妈充当测量的参照物，方法还是和上次一样。

以下是我在不同的时间段记录的各组测量数据，经过计算每次得出的旗杆高度非常接近，分别为9.98米、9.99米和10米，误差不超过两厘米，实验结果比较可靠。

我觉得这次实验应该是非常成功的。

可这时有个问题却再次困扰着我，因为不可能总是在晴天通过影子测量物体的高度，如果是阴天又该用什么办法呢？记得去年寒假的一天，我们一家外出旅游，我看到妈妈正好站在一棵大树边上。

那天正好是阴天，我又想起了测量的问题。

灵机一动，我拿起随身携带的数码相机，拍下了妈妈站在树下的全身像，画面上还有大树的整体图像。

回到家以后，我们马上就把照片冲洗出来。

我用尺子量出照片里妈妈的高度为8厘米，树的高度为14.5厘米。

我知道妈妈的实际身高是161厘米，也就是说，妈妈的实际身高是相片里的约20倍。

那么树的实际高度是不是也是相片里的20倍左右呢？那样的话，树的高度就是290厘米左右了。

那么，这个实验结果可信吗？首先，被测量物体被摄入照片时，不一定总是能找到其最高点；其次，参照物与被测量物体的距离会对测量结果有一定的影响。

我想这样测量的结果误差可能会比较大。

在做比例尺研究的时候，因为我们不可能总是在晴天测量物体的高度，而且如果临时没有现成的参照物又该怎么办呢？其实还有一种非常简便实用的，不受天气影响的测量物体高度的方法。

就是利用等腰直角三角形的特征,使用我们数学课最常用的等腰直角三角板去测量较高的物体。

下面我就举个例子来说明：
如图，如果想测量AB的高度，假设FG是一个人，他将等腰直角三角板△DEF的直角边EF水平放置，眼睛顺着斜边DF向上看，同时移动自已的位置，当刚刚能看到房子的最高点A时，记下自己的位置和三角板此时所在的高度。

因为：DE=EF,所以AB=BC=BG+GC，通过计算就可以得出AB的高度了。

这种测量方法不受很多自然条件的限制，但因为是目测，所以与影子测量法相比误差会更大一些。

如果精确度要求不是很高，我们就可以使用这个方法。

通过以上几次试验，让我初步体会到了利用比例的原理对物体进行测量的合理性，科学性及其局限性。

今年学了六年级课本有关比例尺的知识后，我更是涣然大悟，原来我以前的这些方法竟然都可以总结成一种方法，那就是：
被测物体高度=参照物高度÷参照物影子高度×被测物体影子的长度。

也就是说：如果假设被测物体高度是X，那么就有
X:被测物体影子的长度=参照物高度:参照物影子高度
这样，通过测量出其中的三个数据就可以计算出被测物体的高度了。

通过对这些问题的研究，我明白了数学知识来源于生活，同时又
能解决生活中的问题，真是其乐无穷啊！我们如果能采用正确的方法，不怕失败，持之以恒，并摸索出其中的规律，找到突破口，也就可以像泰勒斯一样解决很多难题,很多看似复杂的问题也都会最终迎刃而解的。

追逐游戏中的发现
江舟扬
【探骊得珠】
一天，我与爸爸在楼下花坛中玩追逐游戏，妈妈在旁边当裁判。

一开始，我们定下游戏规则是：要绕着一个花坛在规定的时间（1分半钟）之内追上对方。

虽然双方各有输赢，但由于只绕着一个花坛跑，爸爸占着身高腿长的优势略占上风。

于是，我打起了“如意小算盘”：我
们不要只绕着一个花坛跑，扩大游戏活动范围（六个花坛加
一个玻璃房，如图1所示），凭借我的灵活机智，那不就是胜
券在握了吗！就在我暗自得意的时候，老爸也提出了一个要
求：可以如你所愿，但跑的路径不能重复，以跑遍整个花坛
而没有被追上者为胜。

我不假思索地答应了。

新的一轮游戏又开始了，我先跑，爸爸追，出乎意料的是我场场皆败。

我纳闷了，凭我这敏捷的身段，怎么会落得如此下场？五场后角色交换，爸爸先跑，我来追。

虽然爸爸跑的并不慢，但他也逃脱不了五场连败的命运。

奇怪了，为什么两个人都会五连败呢？而且每一次都不是被对方追上，而是走入死胡同，无路可跑了，举手投降的。

这是怎么回事呢？我决定学学赵括的“纸上谈兵”，于是我将活动场景画下来，利用“走图”的方式，尝试着来解开这谜底……【按图索骥】
游戏活动的场地中一共有六个花坛和一个玻璃房，按照这些花坛的实际形状描绘下来，就是以上图1的情形。

我
将分别从不同的地点出发，通过不同的路径，
来寻求答案。

1、从A点出发，会怎样呢？
从A点出发，有3个方向可选择。

我们
先以图2为例。

假设选择中间的方向出发，
到了第一个分岔口，又出现了3个方向可选
择。

再假设选择中间的方向继续向前，到了
第二个分岔口，有2个方向可选择。

再假设向左方转，行进到第3个分岔口，再选择左转，经过第4、5个分岔口时不改变方向，继续直走，一直到第六个分岔口，向右转两次，结果无论经过哪一个岔口，都会出现到无路可走的局面。

如果选择其他方向，也会出现同样的结果。

比如图3至图9中所展示
的一样。

2、从B、C点出发，会怎样呢？
分别从B、C点出发，经过尝试，我们发现同样走入困境，图10至图18
所
示。

3、从其他点出发的情况
在图19至图22所展示的分别是从D、E、F点
出发的几种情况，结果还是出现与前面一样的结论。

于是，我便选择场地中间的某一个点为起点，比如点G、H、I，唉！还是进入死胡同，不能成功跑遍整个场地。

我觉得很奇怪，观察这几幅图形，到底是我没有列全所有种类遗漏了
正确路径，还是根本不可能完成这个问题的？但是列全所有的路径费时费力又不科学，看来呀，应该要寻求其他的方法来解决这个问题。

【柳暗花明】
经过观察，我发现这个问题可以将活动场地简单地画成路径图，而这样的路径图应该就是一种几何图形，就像是图28一样。

啊哈，真相大白了！现在可以清晰地看出“不重复地
走遍整个花坛”不就是“一笔画”问题吗？！
要正确解答这个问题，现在只需要弄清“一笔画”图
形必须具备哪些特点就可以了。

早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了“一
笔画”的规律。

欧拉认为，能“一笔画”的图形必须是连
通图。

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图形中的奇点和偶点（与奇数条边相连的点叫做奇点，与偶数条边相连的点叫做偶点）的数目来决定的。

能一笔画的连通图一定要具备以下条件：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一个偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

3．其他情况的图都不能一笔画出。

用这样“一笔画”的思维去观察这幅图，我们可以看出这个图形一共有14连接点，其中有6个连接点是偶点，有8个连接点是奇点，但一笔画图形只允许有2个奇点，所以这个图不是一笔画图形，也就是说“不重复地走遍整个花坛”这个事情是不可能完成的。

【引伸触类】
本次追逐游戏的失利原因是找到了，但探究活动还没有到此为止。

通过上网查资料，我才知道“一笔画”问题是属于数学里一个分支——拓扑
学的基础知识，大数学家欧拉在这一方面有着极大的成
就。

比如著名的“七桥问题”，我们的第十二册数学书
95页就有所记载。

18世纪，在Prussia的Konigsberg
城中有一条名叫Pregel的河流和两个小岛，7座桥连接
着两个小岛和陆地。

当地的市民热衷于在桥上散步。

后来，有人提出走遍所有七座桥，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

这个提议引起了公众极大的兴趣，大家纷纷实践着，但都没有成功。

大数学家欧拉（Euler）偶然到Konigsberg城游览，听说了这个游戏，就被这个游戏吸引住了。

经过长时间的思考，他把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的：除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一个点时，他同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，当做两条线，从起点离开的线与最后回到始点的线亦当做两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成。

1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。

他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论（就是本文“柳暗花明”中的三个条件），人们通常称之为欧拉定理。

欧拉的思考非常重要，也非常巧妙，表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，这种研究问题的方法就是“数学模型方法”。

这并不需要运用多么深奥的理论，但要想到这一点，是解决实际问题的关键。

不知不觉中，我运用了数学模型方法和“一笔画”知识解决了“追逐游戏中的失利原因”。

这件事也提醒我们：无论无何，当你遇到问题陷入困境时，不要急躁，不要烦恼。

只要仔细、认真的思考，总可以找办法解
决的。

相信自己，没有什么困难能难倒你的！
2009年2月8日
相邻两数平方差和立方差计算公式之探讨
黄张琦
随着图形面积、体积的普及，平方、立方也进入了我们的视线。

但有些时候，我总是对平方、立方的问题苦恼，如求14522 =？、3572 =？……等等，计算这类问题必须苦苦死算，那要经过N重计算，太麻烦了！于是我便想：是否有什么简便方法，可以计算相邻数之间的平方差、立方差呢？带者这个问题，我对相邻数的平方差，立方差展开了研究。

首先，我观察了平方差，从10以内的平方差入手：
52 －42 =25-16=9
62 －52 =36-25=11
72 －62 -=49-36=13
……
到这一步，我有了一个惊人的发现：
52 －42 =9=4+5
62 －52 =11=5+6
72 －62 -=13=6+7
……
难道平方差的公式是：a2 －b2 =a + b吗？当然这仅是一个推断。

接下来，我用大数进行验证：
任意选取572和573：
5732 －5722 =328329-327184=1145=572+573
选取1353和1354：
13542 －13532 =1833316-1830609=2707=1354+1353
选取11698和11699
116992 －116982 =136866601－136843204=23397=11698+11699 ……
推断完全成立。

至此，可以肯定相邻数平方差公式为a2 -b2 =a + b。

解决了平方差公式，便着手研究立方差计算，还是从10以内的立方差入手：
33 －23 =19
43 －33 =37
53 －43 =61
……
这时，看到前面的平方差公式——a2 －b2 =a + b，于是设想a3-b3是不是等于a2 +b2 呢？
验证：
33 －23 =19= 32 +22+6
43 －33 =37= 42 +32+12
53 －43 =61= 52 +42+20
……
基本否定a3－b3 = a2 +b2。

但我的目光又转移到上面的剩余数上，经过好长时间的观察和思索、推算，发现剩余数有以下规律：
6=3×2
12=4×3
20=5×4
……
我渐渐地在脑中结合成一个公式：a3－b3 = a2 +b2+ab
仍需用大数验证：
87和88：883－873 = 681472－658503=22969
= 7569+7744+7656=872 +882+87×88
775和776：7753－7763 = 467288576－465484375=1804201
= 600625+602176+601400=7752 +7762+776×775
……
推断成立。

正在我准备下结论之时，爸爸给了我一条立方差的公式，据说是初中才会学到的知识，即是：a3 －b3 =（a+b）2－ab。

小数验证：19=25－6
37=49－12
61=81－20
……
大数验证：3804201=（775+776）2－（775×776）=2405601－601400 22969=（87+88）2－（87×88）=30625－7656
……
全部成立。

然后我又思考：这个公式a3 －b3 =（a+b）2－ab与我之前提出的公式a3－b3 = a2 +b2+ab是否存在什么关系呢？
于是我从（a+b）2－ab往回推：
（a+b）2－ab=（a+b）×（a+b）－ab
= a（a+b）+ b（a+b）－ab （乘法分配律）=a2 + ab +b2 + ab－ab （乘法分配律）
= a2 +b2+ab （抵消）
仔细观察这两条公式，得出以下结论：在计算应用时各有各的优点和缺点。

前者数值小，易计算，但步骤多，易出错；后者步骤少，但数值较大，计算麻烦。

由此我在运用时有了以下结论：若a－b=1，则可以用以下公式计算：a2 －b2 =a + b
而立方差则根据相邻两数a和b的数值大小分别选择计算：
a3 －b3 =（a+b）2－ab
或a3－b3 = a2 +b2+ab
这三条公式一出，我再也不为计算平方、立方而苦恼了。

父母在我身上花费了多少钱？
赵奕扬
温州市实验小学浙江温州 325000
前言：
我长这么大了，爸爸妈妈到底在我身上花了多少钱？都花在什么地方？如果把这些钱用在其他地方，能做多少事情？我想在我小学将要画上句号的时候，来一次“大盘点”，也许会发现许多我们意想不到的事情。

研究内容：12年来的花费情况。

研究方法：
和爸爸妈妈一起回顾、计算我12年来的花费情况。

研究过程：
1－3岁花费细项：
奶粉：200元/月*12*3＝7200
尿布湿：100元/月*12*＝3600
服装：2000元/年*3＝6000
玩具：1000元/年*3＝3000
医疗费：500元/年*3＝1500
托儿费：130元/月*18＝2340
旅游费：500元/年*3＝1500
零食：300元/年*3＝900
图书：300元/年*3＝900
3—6岁花费细项：
集资费：15000
学费：200元/月*12*3＝7200
钢琴费：1400元*2＝2800
玩具：1500元/年*3＝4500
服装：2500元/年*3=7500
食物：300元/月*12*3＝10800
医疗费：800元/年*3＝2400
旅游费：800元/年*3＝2400
零食：500元/年*3＝1500
学习用品：500元/年*3=1500
其他费用：2000元
托管费：200元/月*12*＝7200
钢琴：13500元
6—12岁花费细项：
集资费：20000元
学费：150元/学期*12＝1800元
钢琴费：1900*2*6＝22800元
餐费：100元/学期*12＝1200元
图画费用：200元/月*12*2＝2400元英语费用：5000元
学习用品：2000元/年*6＝12000元
服装：3000元/年*6＝18000元食物：500元/月*12*6＝36000元医疗费：600元/年*6＝3600元旅游费：800元/年*6=4800元
零食：1500元/年*6＝9000元
电脑：10000元
玩具：1000元/年*6＝6000元
其他费用：5000元
汇总表格1：
汇总表格2：
研究结果：
（1）切今为止爸爸妈妈在我身上总共花了26万。

其中衣食费用86700元，占总数的33.44％；学习费用130740元，占总数的50.43％；其他费用41800元，占总数的16.12％。

（2）根据资料表示在2004年青海师范大学在校生总人数6841名，贫困生人数4167名，占60％，贫困生中的特困生人数2908名。

每个学生每年支出费用最低在7000元以上，包括学费3000元，最低生活费3000元，公寓费800元，书费400元。

根据我的计算：21903÷7000＝3（人）我每年的平均费用足够供3个大学生生活、学习。

（3）根据资料表示2002年西部12个省区农村人口近2.8亿，人均年收入1771元。

根据我的计算：21903÷1771＝12（人）我每年的平均费用足够养活12个西部农民。

（4）根据资料表示南京市下岗工人的最低生活标准为每月220元，每年的生活费用为2640元。

根据我的计算：21903÷2640＝8（人）我每年的费用足够养活南京市8个下岗工人。

通过这一次分析出来的结果，实在是出乎我的意料，没有想到12年来，爸爸妈妈在我身上竟花费了26万元，而他们花费的心血更多。

我想我以后要节约节省，学会“算了花，不要花了算”，更不能“花了不算”。

如果把省下来的钱捐给那些特困学生、农民和特困下岗工人的话，便可以养活更多的人。

我以后一定会节省、节约，用节约出来的钱做更多有意义的事情！
对浓度问题的研究
前言
在生活中时时有浓度问题的出现。

那次，我们去实践基地野炊，我们小组炒年糕，第一次放盐太少，淡了，第二次还是不够。

第三次一放，咸味充满了嘴巴，让我们说不出话来。

年糕与盐的比为多少时才会合口味呢？于是我就关注起了浓度这个问题。

解决方案
我们一次做的年糕共有1斤，500克。

一般来说，应该放2-3勺盐，为5-8克，那么就是年糕的1%-1.6%。

而我们最后是直接拿起来倒，用了20克左右，占了总重量的4%。

这时想减少盐的比重只能增加年糕的比重，而盐的重量不变，20除以1%，等于2000克。

可我们只带了3斤，1500克年糕。

不够，所以取1.6%，为1250克，只要再添加1250-500=750（克）年糕就可以使味道变得相对均匀了。

从炒年糕的这个问题中，我发现了规律，只要把盐除以它的浓度，就可以得出所需数目，再用它减去原重量，可得出答案。

按这种规律就可以解决类似简单问题。

一、关于浓度问题的简介
关于浓度，有以下需要讲的：
首先，浓度其实就是一个溶质在溶液中所占的比例，简单的说就是一个百分数，它的单位“1”就是溶液。

尽管它是百分数的一种，但与一般百分数不同的是：它不会超过100%。

如，一倍盐水，溶质指其中的盐，溶液指盐水，而其中水被称为溶剂。

二、浓度问题的解决方法和基础公式
例题：一杯水100毫升，加入盐5毫升，盐水的浓度是多少？
这是最基础的浓度问题。

解决浓度问题公式有下：
1、溶质÷溶液=浓度。

（可互换）
2、溶质＋溶剂=溶液。

（可互换）
这道题的解答方法便成形了：5（溶质）＋100（溶剂）=105ml （溶液），5（溶质）÷105溶液≈4.8%。

由此得出，盐的浓度是
4.8%。

三、生活中遇到的浓度问题
正如前言所说，浓度问题在生活中无处不在，我就用浓度问题的方法来解决一些生活中的难题：
1.一瓶果浆需与水混合才好喝，最佳配比是20%的果浆，要配500ml的果汁，现已调出5%浓度的果汁，应加入多少毫升果浆才能达到味道最佳的果汁？
第一次，我想用20%减去5%等于15%，500ml乘15%，经过验算后发现不是。

这是因为加了果浆之后溶液也会相应增大，所以不能按百分数的方法算。

所以，我就想到了方程。

解：设应加入x毫升果浆。

（500+x）×20%=500×5%+x
20%x+500×20%=25+x
100-25=x-20%x
80%x=75
x=93.75（ml）
这条方程总结成公式就是：
（原溶液+增加溶质）×浓度=原溶液×原浓度+增加溶质，对于此类问题，取其中一个为x，这条方程即可解答。

2.化学课，一容器内盛有浓度为45%的硫酸，若再加16千克水，则浓度变为25%，这个容器内原来含有纯硫酸多少千克？
这道题用以上方程也可解答，但把溶质换成溶剂：
1－45%=55%
1-25%=75%
解：设原溶液为x
（x+16）×75%=55%x+16
75%x+16×75%=55%x+16
75%x-55%x=16-12
20%x=4
x=20
20×45%=9（kg）
四、较难浓度问题（变化较多）
1.甲，乙，丙三个杯子中分别盛有20克，40克，60克水。

把x 盐水20克倒入甲中，混合后取出20克倒入乙中，在混合后从乙中取出20克倒入丙中，现在丙中的盐水浓度为百分之二。

x盐水的浓度是百分之几？
以现有条件可先求出丙，（60+20）×2%=1.6（克），之前丙没有。