红对勾理科数学课时作业9

课时作业9 指数与指数函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x
＋1x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：若使函数有意义，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2x
≥0
x ＋3>0，解得－3<x ≤0，选A.
答案：A
2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )
解析：f (x )＝2|x －1|
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1
x ≥1，21－x x <1，故选B.
答案：B
3．已知a ＝21.2
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8
，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系
为( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
解析：a ＝21.2
>21
＝2，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8
＝20.8<21＝2，b ＝20.8>20＝1，c
＝2log 52＝log 522＝log 54<log 55＝1，∴c <b <a .
答案：A 4．若函数f (x )＝a |2x －4|
(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调
递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|2x －4|
.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )
在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.
答案：B
5．若函数f (x )＝(a ＋1
e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于
( )
A ．－1
B ．1
C ．－12
D.12
解析：设g (x )＝a ＋1
e x －1，t (x )＝cos x ，∵t (x )＝cos x 为偶函数，
而f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 为奇函数，∴g (x )＝a ＋1
e x －1为奇函数，又∵
g (－x )＝a ＋1e －－1＝a ＋e x
1－e ，
∴a ＋e x 1－e x ＝－(a ＋1e x
－1
)对定义域内的一切实数都成立，解得：
a ＝12
. 答案：D
6．(2013·新课标卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
解析：由题知，存在正数x ，使得a >x －(12)x 成立．令f (x )＝x －(12)x ，
(x >0)，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )>－1，∴a >－1.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．(2013·北京卷)函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 12
x ，x ≥1，2x ，x <1
的值域为
________．
解析：当x ≥1时，f (x )＝log 1
2≤0；当x <1时，f (x )＝2x ∈(0,2)，
综上，f (x )∈(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．
解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n
9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________．
解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
10．(15分)求下列函数的定义域和值域．
(1)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122x －x 2
；(2)y ＝
32x －1－19
.
解：(1)显然定义域为R . ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，
且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
为减函数．
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12
. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2
的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.
(2)由3
2x －1
－19≥0，得32x －1≥19
＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－1
2
，
此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－1
9≥0，∴y ≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
11．(20分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23|x |－a
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的最大值等于9
4
，求a 的值．
解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t
，不论a 取何值，t 在(－∞，0]
上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23t 是单调递减的，因
此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2
，所以g (x )＝|x |－a 应该有
最小值－2，从而a ＝2.
——创新应用——
12．(20分)已知函数f (x )＝3x －1
3|x |.
(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；
(3)若3t
f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解． 当x >0时，f (x )＝3x
－13x ，令3x
－13
x ＝2.
∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2. ∵3x >0，∴3x ＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．
(2)∵y ＝3x
在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1
3
x 在(0，＋∞)上单调递减，
∴f (x )＝3x
－1
3
x 在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t －13
t >0. ∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3t －13t ≥0，
即3t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3t
＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1. 令g (t )＝－32t －1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1上递减，
∴g (t )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。