上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题附答案解析

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试
数学试题
一、填空题（本大题共12题）
1.抛物线的准线方程是_______
【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.
【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，
所以：，即，所以，
所以准线方程为：，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.
2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.
【详解】根据椭圆的标准方程的形式，
可知方程表示椭圆的条件是：，
解得，
所以实数的取值范围是，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.
3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.
【详解】根据两直线平行，可得，解得，
所以两直线的方程为：，
整理得，
根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.
4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．
【答案】或
【解析】
【分析】
首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.
【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，
圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；
过点，切线斜率存在时，直线设为，
即，
圆心到直线的距离为，整理解得；
切线方程为或，
故答案是：或.
【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.
5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.
【详解】由得，所以，得，
即椭圆的半焦距为，
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
因为所求双曲线的焦点在轴上，则，
双曲线方程化为，
根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，
所以所求双曲线的方程为：，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.
6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______ 【答案】
【解析】
【分析】
首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.
【详解】设的重心，，
则有，即，
因为点C在曲线上，
所以有，即，
因为三角形的三个顶点不能共线，所以，
所以的重心的轨迹方程为：，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.
7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.
【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，
由（为参数）可得曲线的普通方程为，
因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，
所以，可以无穷远，
所以的取值范围是，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.
8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______ 【答案】
【解析】
【分析】
首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.
【详解】
，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.
9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．
【答案】15
【解析】
【分析】
首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.
【详解】利用椭圆的参数方程：设、，
则,
所以最大值是:15.
【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.
10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．
【答案】
【解析】
【分析】
首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与
的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果.
【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，
如图，
当时，要满足条件，则，∴；
类似，当时，；
综上，实数的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.
11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，
利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.
【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，
方法一：设、，
则，
，即，∴．
方法二：利用参数方程，设、，
则．
【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.
12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.
【详解】易得，
从而可证，∴，
点关于的对称点为，
记，则，∴．
【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.
二、选择题（本大题共4题）
13.方程所表示的曲线的对称性是（）
A. 关于轴对称
B. 关于轴对称
C. 关于轴对称
D. 关于原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.
【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；
将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；
将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；
可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；
故选D.
【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.
14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）
A. 相离
B. 相切
C. 相交且不过圆心
D. 相交且过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线
与该圆的位置关系，从而求得结果.
【详解】由题意，得，
从而圆心到直线的距离为，
∴选C．
【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.
15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）
A. 存在一个圆与所有直线相交
B. 存在一个圆与所有直线不相交
C. 存在一个圆与所有直线相切
D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】D
【解析】
【分析】
首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.
【详解】根据点到L的距离为，
表示圆的所有切线，
符合选项A、B、C的圆依次为、
、，
对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，
故选D．
【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.
16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.
【详解】
设内切圆圆心为，
内切圆与、、的切点分别为、、，
则由切线长定理，知、、，
∴，
∴为双曲线的左顶点且轴，
设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，
由于，∴点一定位于上，
因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，
则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，
其中，
∴选B．
【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.
三、解答题（本大题共5题）
17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；
（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.
【详解】（1）圆心为与的交点，解得，
圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，
∴圆的方程为；
（2）直线过定点，由垂径定理知，
当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，
∴．
【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.
18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；
（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一
个公共点，得出结果；
（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.
【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，
①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，
②直线的斜率存在，设，
与抛物线方程联立得，
（ⅰ），符合题意，此时的方程为，
（ⅱ），则，解得，此时的方程为，
综上，符合题意的直线的方程为、、；
（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，
设定点坐标为、、、，
，则，
∵，∴，即，
解得或（舍），
∴命题为真命题．
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.
19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、
两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．
（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；
（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，
那么是否有搁浅风险?
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；
（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.
【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，
∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，
其方程为，又，解得；
（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，
且距离为1.5的直线的方程为，
考虑与是否有交点，
，
∴与没有交点，
即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．
【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目.
20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．
（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；
（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；
（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；
（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果
【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；
（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，
设、、中点，
则，
得，又，解得，
显然在椭圆内，∴，得，又，∴；
（3）设椭圆方程，即，
方法一：（常规解法）
①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，
由，得，
②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，
由，得，
，
则，由，可得，
∴，
综上，点横坐标的取值范围是．
方法二：设，则，
，
又，∴，
∴，
∴，即点横坐标的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目. 21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；
（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；
（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.
【详解】（1）由题意，得，
，
∴，∴双曲线的方程为，
∴，∴；
（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】
设，、，
将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，
则，得，
，
令，，则，
其中在上单调递减，
∴在上单调递增，
∴当时，取得最小值，此时，的方程为；
（3）设，其中
方法一：设，与联立，
可求出，
由三阶行列式表示的三角形面积公式
可得
．
方法二：如图，，
设到和的距离为、，
则，，
∴
【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。