2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案13—函数值域和最值—学生版

函数值域和最值
知识梳理
一、函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
二、函数的最值
1、设函数y二f x定义域为A，则当x A时总有f x < f xo = M，则称当x = x°时f x取最大值M ；
当x • A时总有f x _ f x,二N，则称当x = x i时f x取最小值N ；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。

三、函数的值域的求法
1.直接观察
2.配方
3.基本不等式/耐克函数
4.判别式法
5.分离常数法/咅B分分式法
6.换元
7•数形结合
8单调性
9.奇偶性(*)
例题解析一、特殊方法
1直接观察
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

【例1】求函数y = 3 的值域；
【例2】求函数y = 2x _1 +|x _3的值域
2.配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.对于求二次函数y = ax2 bx c 0或可转化为形如f x二a||g x］亠bg x ］亠c a=0的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；
【例3】求函数y =x2-2x • 5,x：= L 1,2 1的值域；
【例4】求二次函数y =-X2 * 4x-2, X，1,4 1的值域;
【例5】求f (x) = x46x? -5, x ：= ! 1,2 1的最大值【例6】设x2■ 4y2 8x ^0，求x2 y2的最值
【例7】求函数f(x) 二的值域
x — 2x — 3
【例8】求函数f(x)二、x • J - X的值域
3.基本不等式
b a + b
对形如(或可转化为)f x = ax -,可利用 -------------- _、、ab,a 2 • b 2 _2ab 求得最值。

注意"一正、二定、三相等”；
' * x 2
1
【例9】求函数y =2x • — ,x ・(2,4 1的值域；
x
【例11】求函数y=x 21-2x,x ・0,1的值域;
-2
x
【例12】求f(x) 的值域;
1 +x+x 2
【例
10】
求函数y 二x _2的值域。

7x ^1
2
【例13】求f (x)=仝 十a 的值域; 我+1 2 -
-2 可以将其转化为 p y x q y • r y = 0, p y * 0的形式，再通过厶=q y 「-4p y r y \ ■■- 0求得y 的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出
y 的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免 发生错误；
【例14】求函数y = 5x 2 8x 5的值域；
x +1
【例15
】设函数厂冷的值域为'-1,5「求a ，b ；4•判别式法
一般地，形如
x 二 ax b 二 i ex 2 dx e, f x -、ax b , ex d, f x 二
ax 2 bx e dx 2 ex f
的函数，我们
5.分离常数法/部分分式法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.
4 _ x
【例46】求函数y 的值域；
2x+5
【例47】(4) y 2x -4 2x 4
【例48】求函数
x
3x1 的最值;
2
x 2x 2
【巩固训练】
1求二次函数y =x2 -6x・3,x・2,7 1的值域;
2.求函数y=x 1 -2x , x0,1的值域。

-2
3.求函数y 1 x x2
的值
域.
4.已知函数2x2bx
b ::: 0的值域为11,31, 求实数b,c的值;
X十1
5.求函数y =卡的值域;
x2+2x +2
5x _1
6.求函数y , x三：3, -1 ］的值域。

4x +2
二、通用方法
6•换元法
有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法•在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.
【例19】求f x =x -x的值域;
【例20】求函数y =2x 4 ..^x的值域;
对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函数值 的
变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化；
【例22】求函数y =J(x _2$ +J(x +8,的值域。

【例23】求函数y = x 2 • 4x • 5x 2 -4x • 8的值域;
I a a b
- 【例24】对a, b R ，记max ，求函数 f (x )= max<x + 1 , x-2〉,xW R 的最小值。

b a £ b
【例21】求函数 f(x)二
x 亠 2x - 3 ( -2 _ x ：：
0) —2x —3 (0 x 3)
的值
7.求函数y3x . 2 _5x的值域;
&已知函数f x的值域为3,5，求函数y二
8 9
f x . 1-2f x
9.求函数y
x亠2—2的值域。

x 3
10.求函数y x -1 + x—3的值域.
11 .求函数f x 2x , x 2x 2的最大值;
三、函数性质
8.单调性
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函
数的值域. 等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法
x 2 +5
【例25】求函数f (x )二 ==,X ^R 的值域；
对于形如f (x^ ax b ,cx d ( a 、b 、c 、d 为常数，ac 0 )或者形如
(x) = g(x) 而使用不
J x2+4’【例26】求函数y =2x -3 • x -1的值域.
【例27】求函数y = x 1 _ X _1的值域。

【例28】求函数f x =X • •.'X^i的值域
9.奇偶性(*)
适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；
【例29】若'x ,g x都是奇函数，f x j=a ： x b g x 2在0,= 上有最大值5,则f x在-:：,0上有 ()
A .最小值~5B.最大值-5 C .最小值-1 D .最大值-3
［巩固训练】__________ _
12.求函数y二、.3x • 6 -・.8 - X的值域;
13•求函数y =x--2x 的值域;
14•函数f (x )=x 2+丄，x 兰—1的值域是 _______________________________
x
四、综合及应用
【例30】若关于x 的不等式X 2 +36+ x 3 -6x^ax 在【2,10】上恒成立，则a 的取值范围是
___________ 15•设函数 fx=x 3 x 2x2 x
2x 2 +x 的最大值为M ，最小值为
【例31】已知函数f x =- 2^-a ,^ 1.1^：；
x
1
(1) 当a 时，求函数f x 的最小值；
(2) 若对任意x \1^- -, f x ］亠0恒成立，试求实数 a 的取值范围;
A . I -1,2 丨
B . I -1,0丨
C . 1,2 丨
D . 1.0,2 1
【例33】某企业生产一种产品时，固定成本为
5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加 2500元，市场
一 一 一 1 2 对此商品年需求量为 500台，销售的收入函数为 R x =5X -§X 2(万元)0乞x 乞5，其中x 是产品售出的数量(单 位：百台)
(1) 把利润表示为年产量的函数；
(2) 年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3) 年产量多少时，企业才不亏本？
【巩固训练】
2 2 2
16.设X i , X 2为方程4x 2 —4mx+m+2 =0的两个实根，当 m= ____________ 时，X i +冷 有最小值 ______________
【例32】函数 匚 2
|(x -a ) ,x 兰0
f (x )= * 1 ，若
x + — +a, x >0 L. x f 0是f x 的最小值，则 a 的取值范围为(
2 17.已知函数f x =x-4ax 2a 6 R
(1)若函数的值域为0,亠「j,求a的值；
(2)若函数的值均为非负数，求函数g(a)=2-aa+3的值域。

18•对于函数f i x , f2 x ,h x，如果存在实数a,b使得h x]=a f i x b t x，那么称h x为f i x , f2 x的生成函数•
（1）判断下面函数，h x是否分别为f i x , f2 x的生成函数？并说明理由；
f1 x =x2-x,f2x =x2x 1, h x =x2-x1；
（2）设f i x i；=x ；f2 x」，a =1,b =1生成函数h x，若不等式3h2x厂2h x T<0在x 1,2 ]上有解，求实数
x
t的取值范围；
、r i
（3）设f i x[=x x 0 , f2 x]=- x .0，取a 0,b .0,生成函数h x图像的最低点为2,8，若对于任意的正实数
x
X i,X2，且X i •X2 =i，试问是否存在最大的常熟m，使h X i h X2 _m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果
不存在，请说明理由•
反思总结
1、函数值域的问题，也要先求定义域，或者题目给定的范围内求；然后根据解析式的特征选择合适的方法;
2、大多题目都需要各种方法综合运用，所以换元、配方、部分分式、单调性尤其要熟练掌握；
3、不等式的恒成立、方程的有解，本质上都是函数值域和最值的问题，灵活运用参变分离法;
课后练习
1、函数y =x2• -,x< --的值域是（）
x 2
B.
2、函数y = x ■、、1 -2x的值域是（）
A.：；：—〜1 ]
B.：i —r -1 lc. R D. 1,：：
3、函数y = JX +2的值域为____________________
1
4、函数y ,x・1,3 U 3,5 1的值域为 _________________________
x —3
5、函数y 二一3, 1.4,5 的值域
x
2
6、函数y - -x 4x 8的值域
7、求函数 y = J x —1 + J X +1,(X H 1 )的值域 ________________ 8求函数y = J x ? +6x +10的值域 ____________________
1
9、求函数y=2x + p(x>0)的值域 ______________________ x
2
10、求函数y =—2x +5x+6的值域
___________________ 2x +3
12、求函数y = -------- 的值域_________________
3x_2 13、求函数▼究，*0，x £的值域 -----------------------------------
11、求函数 2x 1 ~2 x-2x 2
的值域
14、求函数y = x — / —2x 的值域 _________________
15、求函数y = x —3 — x + 1的值域 _______________
16、求函数y=x+^的值域 ____________________ x
18、求下列函数的值域
17、一批货物随
17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车 间距离不得小于 20
B 市，最快需要
_________ 小时（不计货车的车身长）. (1) y 3 -2x x 2 (2) y x 2 - x 1 x 2 x 1
(4)
(5) y_ x 2 x
19、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60 ■，防洪堤高记为h （如图），考虑到防洪堤坚固性及 石块用料等因素，设计其断面面积为 6.. 3平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长 I
（I = AB BC CD ）要最小。

（1） 用h 表示AB BC ；
（2） 将I 表示成h 的函数I = f （h ），如h 限制在［3,2.3］范围内，I 最小为多少米？并说明理由。

(3) y 2x
1
20、f(x) bx的定义域为R, f(2) . f (1), a 0
1+a .2bx
(1)求证：b ::: 0 ;
4 1
(2)f(1) , f(x)在10,1 ］最小值为一，求f(x)的解析式;
5 2
(3)在（2）的条件下，设|x ］表示不超过x的最大整数，求g x二f
的值域。

2
21、已知函数f (x) = J +x + J1 -x .( 1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设F(X) =Q f X) 2 ］胎) (a 为实数)，求F(x)在a ::: 0时的最大值g(a) ; (3)对(2)中g(a)，若-m2• 2tm…”、.迈岂g(a)对a 0所有的实数a及tw［_1,1］恒成立，求实数m的取值范围.。