第四节 一次函数和二次函数

第四节一次函数和二次函数
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－m
2
，所以－
m
2
＝1，即m＝－2.故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：f(x)＝－(x－2)2＋4＋a.由x∈[0，1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值－2，得a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值1.
答案：C
3．(2013·宁夏银川一中月考)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为()
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a是偶函数，则对称轴为y轴，所以2－a＝0，得a＝2.故选D.
答案：D
4．函数f(x)＝x 2－2x －3，x ∈[0，m](m ＞0)的最大值为－3，最小值为－4，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0，1]
B ．[1，2]
C ．[2，＋∞)
D ．(0，2]
解析：二次函数的对称轴为x ＝1，结合图象可知，满足题设条件的m ∈[1，2]．故选B.
答案：B
5．(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)，若a ＝c ，则函数f(x)的图象不可能是( )
解析：由A ，B ，C ，D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2，由于a ＝c ，所以x 1x 2＝c
a ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1＜－1，x 2
＜－1，所以D 不满足．
答案：D
6．不等式f(x)＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为________．
解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
c ＝－2. ∴f(x)＝－x 2－x ＋2.
故f(x)图象的对称轴为x ＝－1
2，且开口向下，故f(x)在[1，2]上
单调递减，f(x)min ＝f(2)＝－4.
答案：－4
7．如果函数f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋b(x ∈[a ，b])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由已知得⎩⎨⎧
－a ＋22
＝1，
a ＋b
2＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6，
所以f(x)＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，x ∈[－4，6]．
故f(x)min ＝f(1)＝5. 答案：5
8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min ＝1. 又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f(x)min ＝f （a ）＝－a 2
＋2a ＋4＝1，
即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 答案：－1或3
9．已知g(x)＝－x 2－3，f(x)是二次函数，当x ∈[－1，2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)＋g(x)是奇函数，求f(x)的表达式．
解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，
则f(x)＋g(x)＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3是奇函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，c －3＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
c ＝3.
∴f(x)＝x 2
＋bx ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋3－14
b 2. ①当－1≤－b
2≤2即－4≤b≤2时，
最小值为3－14b 2
＝1⇒b ＝±22，
∴b ＝－2 2.∴f(x)＝x 2－22x ＋3.
②当－b 2>2，即b<－4时，f(2)＝1，无解．
③当－b 2<－1，即b>2时，f(－1)＝1⇒b ＝3，
∴f(x)＝x 2＋3x ＋3.
综上所述，f(x)＝x 2－22x ＋3或f(x)＝x 2＋3x ＋3.
10．(2014·武汉模拟)二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．
解析：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 由f(0)＝1得c ＝1，故f(x)＝ax 2＋bx ＋1. 因为f(x ＋1)－f(x)＝2x ，
所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x.
即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，
所以f(x)＝x 2－x ＋1.
(2)由题意得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1，1]上恒成立．
设g(x)＝x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝3
2，所以g(x)
在[－1，1]上递减．
故只需g(1)＞0，即12－3×1＋1－m ＞0，解得m ＜－1. 所以m 的取值范围是(－∞，－1)．
11．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －1
20(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发
射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解析：(1)在y ＝kx －1
20(1＋k 2)x 2(k>0)中，令y ＝0，得
kx －1
20
(1＋k 2)x 2＝0.
由实际意义和题设条件知，x>0，k>0.
∴x ＝20k 1＋k 2＝201k ＋k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka －120
(1＋
k2)a2＝3.2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0得a≤6.
此时，k＝20a＋（－20a）2－4a2（a2＋64）
2a2
>0(不考虑另一根)，
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．。