河南省三门峡市2013年高三学生综合能力竞赛--数学(文)

河南省三门峡市“人保财险杯” 2013年高三学生综合能力竞赛
数学（文）试题
命题人：段孝伟 审题人：高玉杰
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卷上，在本卷上答题无效．．．．．．．．
. 注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卷上.
2、所有答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1．已知集合2{|2,0},{|lg(2)},x M y y x N x y x x M N ==>==-=
A ．（1，2）
B ．(1,)+∞
C ．[)2,+∞
D ．[)1,+∞
2．已知复数
21,,i
ai a R i i
+=-∈其中是虚数单位，则a = A ．—2 B ．—i
C ．1
D ．2
3. 下列函数中既是增函数又是奇函数的是 A.()3
()(0,)f x x
x =∈+∞ B.()sin f x x = C.
()f x x x = D. ln ()x f x x
=
4．设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1
cos 5
x α=
,则tan α=
A. 43-
B. 34-
C. 34
D. 4
3
5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1321
3,,22
a a a 成等差数列，则
1113
810
a a a a +=+
A ．－1或3
B ．27
C ．3
D ．1或27
6．执行如图所示的程序，输出的S 的值为___
A ． 0 B
．
C
． D
．- （6题图）
7．已知双曲线2222b
y a x -=1(a>0，b>0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，被直线2
a x c =
分成
2
弧长
为2∶1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是
A ．2
B ．2 C
D
．8．函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，,A B 分别
为最高点与最低点，并且AB = A ．2
x π
=
B ．2
x π
=
C ．1x =
D ．2x =
9．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（a 为常数）所表示
的平面区域的面积等于2，则a 的值为 A ．-5 B ．1 C ．2 D ．3
10．已知正三角形ABC 的边长为4，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，则四面体
ABCD 外接球表面积为
A ．16π
B ．
323
π
C ．
523
π
D ．
133
π
11．已知圆O 的半径为2，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，设.APO α∠=那么
2tan 2PAB S α
∆的最小值为
A
．16-+ B
．12-+ C
．16-+
D
．12-+12. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧－x 2＋1（－1≤x ≤1），－|x －2|＋1（1<x ≤3），若方程f (x )－ax
＝0有5个实根，则正实数a 的取值范围是
A.14< a <13
B.16< a <14 C ．16－67<a <16 D.1
6
< a <8－215 第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，
则此四棱锥的体积为 . 14．已知1,2a b ==，且a b +与a 垂直，则向量a 与b 的夹角大小是
___________.
15．如图，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数
1
()(0)f x x x x
=+>的图像上，若点n B 的坐标为(,0)(2,)n n n N +≥∈，记
矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a +++= .
16．给出以下四个命题：
① 若命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x
++≥”；
②“2a =”是“直线1:20l ax y +=和2:3(1)10l x a y +++=平行”的充要条件；
③ 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ④ 用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；
⑤ 若,x y 满足221x y xy ++=，则x y + 其中真命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （I ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若a +c=4，求AC 边上中线长的最小值．
19．（本小题满分12分）
一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(I)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (Ⅱ)证明：1
AC ⊥平面11AB C ； (Ⅲ)若D 是棱1CC 的中点，E 是棱AB 的中点，判断DE 是否平行于平面11AB C ，并证明你的结论． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上
4
各取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求1C ，2C 的标准方程；
（2）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N ，且满足以MN 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分） 已知函数1()ln ()m
f x x mx m R x
-=-+
∈ （Ⅰ）当m=2时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ)当1
4
m ≤
时，讨论()f x 的单调性；
(Ⅲ)设2
()2.g x x x n =-+当112
m =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使
12()()f x g x ≥，求实数n 的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线 PBC 交圆O 于点C B 、，APC ∠的平分线分别交 AC AB 、于点E D 、．
（Ⅰ）证明：ADE AED ∠=∠； （Ⅱ）若AP
AC =,求
PC
PA
的值． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
已知点)sin ,cos 1(αα+P ，参数],0[πα∈，点Q 在曲线C ：)
4
sin(29πθρ+
=
上．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 与点Q 之间距离的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝|mx ＋1|(m ∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}． (Ⅰ)求m 的值；
（Ⅱ）若不等式||||||(()1)a b a b a f x x ++-≥+-（0a ≠，a R ∈，b R ∈）恒成立，求实数x 的范围．
6
8。