1.二元一次方程组(初学篇)

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简单的二元一次方程组

简单的二元一次方程组
二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，其解法主要是利用消元法和代入法两种方法。

二元一次方程组的题型主要有两种：一种是已知两个方程，求解两个未知数，另一种是已知一个方程，求解两个未知数。

以第一种类型为例，假设有以下二元一次方程组：
\begin{cases} 3某+2y=8 \\ 某+4y=5 \end{cases}
通过消元法求解：
1.将第二个方程中的某表示出来，即将某用y表示，得到方程
某=5-4y
2.将上述的结果带入到第一个方程中，即
3(5-4y)+2y=8
15-12y+2y=8
-10y=-7
y=7/10
3.将y代入到第二个方程中求出某：
某+4(7/10)=5
某=5-2.8
某=-1/2
所以，该方程组的解为某=-1/2，y=7/10。

另一种解法是代入法，即将一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后代入到另一个方程中，得到一个只含一个未知数的一元一次方程，从而求解出这个未知数，最后带入原方程解出另一个未知数。

对于上述的方程组，用代入法也可以解决。

1.将第二个方程中的某用y表示，即得到方程
某=5-4y
2.将上述结果带入到第一个方程中，即
3(5-4y)+2y=8
解得y=7/10
3.将y代入到第二个方程中求出某：
某=-1/2
通过以上两种方法都可以求解出该二元一次方程组的解。

在日常生活中，二元一次方程组的应用非常广泛，例如求解两个价格和为一定值的商品的价格；求解两个角的度数和等于某个定值的三角形的另一个角的度数等等。

因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于我们的生活和学习都非常重要。

（完整版）解二元一次方程组基础练习

（完整版）解二元一次方程组基础练习4x y 5 3x 2y 1知识点 (1) 解二元一次方程组基础练习肖老师一：代入消元法解方程组： y 2x 3 7x 5y 3 ((23x 2y 1 2x y 4(3)x y 2 3 3x 4y 18 x 5y 6 3x 6y 4 0知识点 (1) 二：用加减法解方程组:x y 3x y 14x 3y 0 12x 3y 8(3)4x 3y 5 4x 6y 145x 4y 6 2x 3y 1 3x 2y 7 2x 3y 17拓展训练: 解下列方程:(1)(先化简) 3(y 2) x 12(x 1) 5y 8(2)(化简后整体法)3x 4y 18(3)(整体法) 4x 15y 17 06x 25y 23 0(4)(先化简)13-23一2y-y 1 x 2(5)(化简后整体法)"7 丁2x 3y 1 (6)(整体法)21x 23y 24323x 21y 241综合训练：一.填空题 1. 在方程y __________________ 3x 2中若x 2,则y ____ 若y 2,则x；2. 若方程2x y 3写成用含x 的式子表示y 的形式: _______________________ 写成用含y 的式子表示x 的形式: _____________________________ ;x 23. 已知是方程2x+ay=5的解，贝U a= ______ .y 1x 14. 二元一次方程3x my 4和mx ny 3有一个公共解，则y 1(7)(先化简)2x 1 3y 2 243x 1 3y 2 门 054(8)(可化简或整体法)3x 2y 2x 3y i73x 2y 2x 3y 567(9)(你懂的)3K - 2y 5K 4-/(10)(先化简)気 _ y+1L0?2 "O T S(11)(先化简)f 廿产50018O%x+eoay= 500X 74^(12))整体法)宣■上号丄二4 (i-l)3x-2 (2y+l) ~im= 5.已知 |a b 2| (b 3)2 0,那么 ab 6.方程 3x+y=7 的正整数解为、选择题 1.对于方程组 xy3 x10,(2) x5 ,(4)y y r 是二元次方程组的为 A.（1）和（2） )B.(3)和(4)C.(1)和⑶D.(2)和⑷22是方程 5kx 2y 2的一个解，则k 等于（ A .85 B .53C.6D.3.方程组 3x 1 x 2 4y 1 y 31的解为（ 8x A. y x B.yC.丄2 3 8D.4.已知a,b 满足方程组 a 2a 2bb ，则ab 的值为（A.-1B.0 5.如果方程组C.1 xD.2 y 1by 有唯一的一组解，那么 a , b , C 的值应当满足（） A . a=1, C =1 B . a M b C . a=b=1 , C M 1D x m 4 6.已知 x , y 满足方程组，则无论m 取何值， x , y y 5 mA . x+y=1B . x+y= — 1C . x+y=9D . x+y=9ax .a=1, C M 1 恒有关系式是（） C、解答题x 3m 11、若，是方程组4x 3y 10的一组解，求m的值y 2m 22X_3Xy_的值.2.已知y=3xy+x，求代数式x 2xy y3、已知等式(2A —7B)x+(3A —8B)=8x+10,对一切实数x都成立，求A、B的值。

(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题

二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。

练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。

的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

（一）、代入消元法：1、直接代入例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1）（2）（3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝，当＝3时，＝。

《二元一次方程组》知识讲解(1)

+1)
+
m
−
3
=
0
，解得
m
=
3
.
答：m 的值为 3.
例 3.写出二元一次方程 4x + y = 20 的所有正整数解.
【答案与解析】
由原方程得 y = 20 − 4x ，因为 x、y 都是正整数，所以当 x =1， 2， 3， 4时， y =16，1 2， 8， 4 .
所以方程
4x
+
y
=
20
的所有正整数解为：
要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元
法，简称代入法．要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
，
又联立方程组
ax bx
− +
by ay
= =
−4 −8
，则有
2a + 2b = −4 −2a + 2b = −8
，
解得
a b
= =
1 −3
．
所以(2a+b)2011＝-1．
【变式】小明和小文解一个二元一次组
小明正确解得
小文因抄错了
c，解得
已知小文除抄错了 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c 的值．

第1章二元一次方程组

第1章二元一次方程组 1．1 建立二元一次方程组01课前预习要点感知1 含有___未知数，并且含未知数的项的次数都是___，称这样的方程为二元一次方程．两个 1 预习练习1－1 下列各方程是二元一次方程的是(D ) A ．2x －1＝1＋x B ．x ＋1＝2xyC ．2x ＝y 2＋1 D ．x ＋2y －1＝0要点感知2 把两个含有_____未知数的_____(或者一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组．相同二元一次方程预习练习2－1 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1_____(填“是”或“不是”)二元一次方程组．是要点感知3 在一个二元一次方程组中，使每一个方程的左、右两边的值都______的一组_______的值，叫做这个方程组的一个解．求方程组的_______的过程叫做解方程组．相等未知数解预习练习3－1 下列各组数是方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，x ＋y ＝4的解的是(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2 02当堂训练知识点1 二元一次方程及其解1．方程x －3y ＝1，xy ＝2，x －1y ＝1，x －2y ＋3z ＝0，x 2＋y ＝3中是二元一次方程的有(A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列不是二元一次方程2x ＋y ＝7的解的是(C )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝9C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－0.5y ＝83．若x m －2y n －2＝1是关于x ，y 的二元一次方程，则m＝______，n ＝______．1 3知识点2 二元一次方程组及其解4．下列方程组是二元一次方程组的是(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1xy ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－2y ＝2x －1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＝0y ＝x －1D.⎩⎪⎨⎪⎧1x －y ＝32x ＋y ＝05．下列各组数是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2的解的是(D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是下列哪个方程组的解？ (1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－4，3x －2y ＝0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是方程组(2)的解．知识点3 根据题意列二元一次方程(组) 7．(内江中考)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝523x ＋2y ＝20B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝522x ＋3y ＝20 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝202x ＋3y ＝52D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝203x ＋2y ＝52 8．(1)根据题意列出关于x ，y 的二元一次方程或方程组：①长方形的长为x cm ，宽为y cm ，周长为20 cm ； ①2(x ＋y)＝20.②在为玉树地震捐款活动中，甲、乙两班共捐3 200元，已知甲班捐款数比乙班捐款数的2倍多50元．设甲班捐款x 元，乙班捐款y 元；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3 200，x ＝2y ＋50. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 150，y ＝1 050是(1)中列出的方程或方程组的解吗？ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 150，y ＝1 050不是①列出的方程的解，是②列出的方程组的解．03课后作业9．下列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，y ＝2z －1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y ＝2x ＋3；⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＋y ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1；⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2y ＝3，x －y ＝1是二元一次方程组的有(B ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10.解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3的方程组是(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝33x ＋2y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝33x ＋2y ＝－6 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝37x －3y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧5x －y ＝3x ＋y ＝111．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是二元一次方程5x ＋ay ＝1的一个解，则a 的值是(A )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 12．(泰安中考)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y 千克，则可列方程组为(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y ＋2B.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y ＋2 C.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y －2D.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y －2 13．若2x 2a －1＋3y 7－3b＝7是关于x ，y 的二元一次方程，则2a －b ＝_____．014．请写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1为解的二元一次方程组：____答案不唯一，如⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1x －y ＝－3.15．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，2x －y ＝n的解，则m ＋n ＝________．616．请判断下列各组数是不是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝10，2x －3y ＝4的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0. (1)把x ＝3，y ＝－5代入方程组，发现不满足2x －3y ＝4，所以不是原方程组的解．(2)把x ＝2，y ＝0代入方程组，发现适合每一个方程，所以是原方程组的解．17．已知二元一次方程5x ＋3y ＝22. (1)填表：(1)1734 73 23－1(2)求出方程的非负整数解．(2)方程的非负整数解只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.18．明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？设0.8元的邮票买了x 枚，2元的邮票买了y 枚． (1)请你根据题意列出方程组；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝13，0.8x ＋2y ＝20.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8是列出的二元一次方程组的解吗？ (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8是列出的二元一次方程组的解．挑战自我19．根据题意列二元一次方程组：(1)某校课外小组的学生准备外出活动．若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人．这个课外小组分成几组？共有多少人？设分成x 组，共有y 人．(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3＝y ，8（x －1）＋3＝y.(2)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放．问有多少只鸡，多少个笼？设有x 只鸡，y 个笼．(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝x ，5（y －1）＝x.1.2 二元一次方程组的解法1．2.1 代入消元法01课前预习要点感知1 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的________表示出来，然后把它代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入法．代数式预习练习1－1 在方程2x ＋y ＝5中，用含x 的代数式表示y 为________．y ＝5－2x要点感知2 用代入法解二元一次方程组的基本思路是____，是将“二元”转化为“一元”的化归思想．消元预习练习2－1 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x ＋y ＝5消去x 后所得的方程是(B )A ．2y ＋1＋y ＝5B ．2y ＋2＋y ＝5C ．y ＋2＋y ＝5D ．y ＋1＋y ＝502当堂训练知识点1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1．方程2x －3y ＝7，用含x 的代数式表示y 为(B ) A ．y ＝7－2x3B ．y ＝2x －73C ．x ＝7＋3y 2D ．x ＝7－3y22．对于方程5m ＋6n ＝8，用含n 的代数式表示m ，结果为______．m ＝8－6n53．把下列方程改写为用含x 的代数式表示y 的形式． (1)3x ＋y ＝2；(1)y ＝2－3x. (2)2x －3y ＋1＝0.(2)y ＝23x ＋13.知识点2 用代入消元法解二元一次方程组4．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，①3x －2y ＝10.②将方程①代入②中，所得的正确方程是(C )A ．3x －4x －3＝10B ．3x －4x ＋3＝10C ．3x －4x ＋6＝10D ．3x －4x －6＝105．用代入法解二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5②组时，最好的变式是(D )A ．由①得x ＝2－4y3B ．由①得y ＝2－3x4C ．由②得x ＝y ＋52D ．由②得y ＝2x －56．用代入消元法解下列方程组：(1)(重庆中考)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，①3x ＋y ＝1；②（1)将①代入②，得3x ＋2x －4＝1.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.(2)(荆州中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，①3x ＋5y ＝14；②(2)由①，得x ＝y ＋2.③ 将③代入②，得3y ＋6＋5y ＝14.解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(3)(厦门中考)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①2y ＋1＝5x ；②(3)由①，得y ＝4－2x.③ 将③代入②，得2(4－2x)＋1＝5x.解得x ＝1.把x＝1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，①2x －3y ＝1.②(4)由①，得x ＝3－y.③ 将③代入②，得2(3－y)－3y ＝1.解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.03课后作业7．把方程x 3－y2＝1写成用含x 的代数式表示y ，以下各式中正确的是(C )A ．y ＝2x －23B ．y ＝23x －13C ．y ＝23x －2D ．y ＝2－23x8．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －3x ＝1，x ＝y －1.下面的变形正确的是(A )A ．2y －3y ＋3＝1B ．2y －3y －3＝1C ．2y －3y ＋1＝1D ．2y －3y －1＝19．(雅安中考)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＝1，y －3＝m 可得出x 与y 的关系是( A )A ．2x ＋y ＝4B ．2x －y ＝4C ．2x ＋y ＝－4D ．2x －y ＝－410．四名学生解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝5，①x －2y ＝3，②提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( C )A ．由①得x ＝5＋4y3，代入②B ．由①得y ＝3x －54，代入②C ．由②得y ＝－x －32，代入①D ．由②得x ＝3＋2y ，代入①11．(泉州中考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，2x ＋y ＝－1的解是_⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－312．如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x －y ＝2的解是方程3x －4y ＋a ＝6的解，那么a 的值是_____．313．用代入消元法解下列方程组：(1)(淮安中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2；②(1)由①，得x ＝3＋2y.③把③代入②，得3(3＋2y)＋y ＝2.解得y ＝－1.把y ＝－1代入③，得x ＝3－2＝1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝0，①4x ＋1＝9y ；②(2)由，①得x ＝2－3y2.③ 把③代入②，得4·2－3y 2＋1＝9y ，解得y ＝13.把y ＝13代入③，得x ＝12.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝13.(3)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2＝5y ，①2x －32＋y ＝172；②(3)由②，得x ＝10－y.③ 将③代入①，得3(10－y)＋2＝5y.解得y ＝4.将y ＝4代入③，得x ＝6.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.(4)(黄冈中考)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－x ＋y 4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.(4)原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧5y －x ＝3，①5x －11y ＝－1.②由①，得x ＝5y －3.③ 将③代入②，得25y －15－11y ＝－1.解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.挑战自我14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，①3（x ＋y ）＋y ＝14.②将①整体代入②，得3×4＋y ＝14，解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5.②由①，得x －y ＝1，③ 把③整体代入②，得4×1－y ＝5.解得y ＝－1.把y ＝－1代入③，得x －(－1)＝1.解得x ＝0.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. 1.2.2 加减消元法第1课时加减消元法要点感知1 两个二元一次方程中同一未知数的系数______或______时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．相同相反预习练习1－1 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，5x ＋2y ＝2时，可把两个方程_____．相加1－2 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，2x ＋5y ＝2时，可把两个方程_____．相减要点感知2 用加减消元法解方程组时，将方程中某个未知数的系数变成它们的最小公倍数之后，再相加减．预习练习2－1 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，①2x ＋3y ＝4②时，为消去未知数y ，可把①式两边同____．乘以302当堂训练知识点1 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值相等的方程组1．用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝－8，7x ＋5y ＝2，将两个方程相加，得( D )A ．3x ＝－8B ．7x ＝－6C ．10x ＝－10D ．10x ＝－62．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5，①－2x －y ＝10，②由②－①，得正确的方程是( C ) 2. 3. 4.A ．3x ＝5B ．3x ＝15C ．－3x ＝15D ．－3x ＝53．用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，①5x －y ＝9，②最合适的方法是( B )A ．①－②B ．②＋①C ．①×2＋②D ．②×3＋① 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，3x ＋5y ＝2时，消去x 得到的方程是( C ) A ．7y ＝7 B ．y ＝1C ．7y ＝－3D ．7y ＝3 5．用加减法解下列方程组：(1)(邵阳中考)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①x －y ＝－1；②(1)①＋②，得3x ＝3.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ＝－19，①6x －5y ＝17.②(2)①－②，得12y ＝－36.解得y ＝－3.把y ＝－3代入①，得x ＝13.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－3.知识点2 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值有倍数关系的方程组6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7，①4x －y ＝13，②下列变形正确的是(D )A ．①×2－②消去xB ．①－②×2消去yC ．①×2＋②消去xD ．①＋②×2消去y7．用加减法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13；②（1)②×3，得6x ＋3y ＝39.③ ①＋③，得10x ＝50.解得x ＝5.将x ＝5代入②，得10＋y ＝13.解得y ＝3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝9，①x －y ＝7.②(2)②×2，得2x －2y ＝14.③ ①－③，得x ＝－5.把x ＝－5代入②，得－5－y ＝7.解得y＝－12.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－12.03课后作业8．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( D ) A ．某个未知数的系数是1B ．同一个未知数的系数相等C ．同一个未知数的系数互为相反数D ．某一个未知数的系数的绝对值相等9．用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，3x －2y ＝8，消去y 后可以得到的方程是( D )A ．3x －4x －10＝0B ．3x －4x ＋5＝8C ．3x －2(5－2x)＝8D ．3x －4x ＝8－1010．用加减法解下列四个方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2.5x ＋3y ＝1，①－2.5x ＋2y ＝4；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝7，①4x －4y ＝8；② (3)⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋5y ＝32，①y ＝0.5x ＋11.5；②(4)⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝7，①3x －6y ＝8.②其中方法正确且最适宜的是( D ) A ．(1)①－② B ．(2)②－① C ．(3)①－② D ．(4)②－①11．(广州中考)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝12，3a －b ＝4.则a＋b 的值为( B )A ．－4B ．4C ．－2D ．212．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－4，3x ＋y ＝5的解是___．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝213．用加减法解下列方程组：(1)(成都中考)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；②(1)①＋②，得4x ＝4.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11；②(2)①×5＋②，得13x ＝26.解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. (3)(宿迁中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.②(3)①×2，得2x －4y ＝6.③ ③＋②，得5x ＝5.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.14．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋5y ＝－17，4x －by ＝1时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.乙看错了方程组中的b 而得到解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.(1)求正确的a ，b 的值；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16－3b ＝1，－3a －5＝－17.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5.(2)求原方程组的解．(2)原方程组是⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝－17，4x －5y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－95.挑战自我15．小红对小明说，有这样一个式子ax ＋by ，当x ＝5，y ＝2时，它的值是1；当x ＝7，y ＝3时，它的值是－5.你知道当x ＝7，y ＝－5时，它的值吗？小明想了想，很快就做出了正确答案．你知道聪明的小明是怎样做的吗？根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，①7a ＋3b ＝－5.②①×3－②×2，得a ＝13.将a ＝13代入①，得b ＝－32.所以这个式子为13x －32y.将x ＝7，y ＝－5代入上式，得13×7－32×(－5)＝251.第2课时选择合适的方法解二元一次方程组01课前预习要点感知 ___和___是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过_____其中一个未知数(消元)，使二元一次方程组转化为_____，从而求解，只是消元的方法不同．可以根据方程组的具体情况灵活选择适合它的消元方法．加减消元法代入消元法消去一元一次方程预习练习1－1 解以下两个方程组：①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，7x ＋5y ＝8；②⎩⎪⎨⎪⎧8s ＋6t ＝25，17s －6t ＝48，较为简便的方法是(C ) A ．①②均用代入法 B ．①②均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法1－2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－3，①5x －y ＝2.②(1)若用代入法解，可把②变形，得y ＝____，代入①，得______；(1)5x －2 3x －2(5x －2)＝－3(2)若用加减法解，可把②×2，把两个方程的两边分别___，得到的一元一次方程是___．(2)相减 7x ＝7或－7x ＝－702当堂训练知识点1 用适当的方法解二元一次方程组1．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，x －2y ＝4时，代入正确的是( C )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝42．解方程组①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，3x －5y ＝9；②⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝7，3x ＋2y ＝10； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x －4y ＝1；④⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝9，2x －3y ＝7.比较适宜的方法是( C )A ．①②用代入法，③④用加减法B ．②③用代入法，①④用加减法C ．①③用代入法，②④用加减法D ．②④用代入法，①③用加减法3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝6，①2x －5y ＝4，②将①×2－②×3得( C )A ．3y ＝2B ．4y ＋1＝0C ．11y ＝0D ．7y ＝104．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝7，①9x －10y ＋25＝0②最简便的解法是( C )A ．由①式得x ＝73＋43y ，再代入②式B ．由②式得y ＝25＋9x10，再代入①式C ．①×3得③式，再将③式与②式相减D ．由②式得9x ＝10y －25，再代入①式 5．用适当方法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－5，①y ＝2x ＋1；②(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. (2)(荆州中考)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7；②(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝3，①3x －5y ＝－5.②(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 知识点2 利用二元一次方程组求字母系数的值6．如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，3x －y ＝2的解也是3x ＋ky ＝10的解，那么k 的值是( A ) A ．1B ．2C ．4 D.127．(襄阳中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( A ) A ．4，2 B ．2，4 C ．－4，－2 D ．－2，－48．如果二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝1，3ax ＋2by ＝23的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.那么a －b ＝________．003课后作业9．(河北中考)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6.②下列解法正确的是( D ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2 B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5) C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3 D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×210．解方程组①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，2x －5y ＝2； ②⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，2x －5y ＝1； ③⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝8，3x －2y ＝－2； ④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，2x －7y ＝－3.方程组_____适宜用代入消元法，____适宜用加减消元法．①④ ②③11．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝13的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，则a ＝______，b ＝_____．－5 312．解方程组：(1)(聊城中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，①2x ＋y ＝4；②(1)①＋②，得3x ＝9.解得x ＝3.把x ＝3代入①，得y ＝－2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2（y －1），①2（x －2）＋y －1＝5；②(2)把①代入②，得4(y －1)＋y －1＝5.解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x －2＝2×(2－1)．解得x ＝4.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 3＝132，①x 3－y 4＝32.②(3)原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝39，③4x －3y ＝18.④③×3＋④×2，得17x ＝153.解得x ＝9.把x ＝9代入④，得36－3y ＝18.解得y ＝6.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.13．(日照中考)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2的解满足x ＋y ＝0，求实数m 的值．解关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －11，y ＝7－m.因为x ＋y ＝0，所以2m －11＋7－m ＝0.解得m ＝4.挑战自我14．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便．解：①－②得，2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ 将③×16，得16x ＋16y ＝16.④②－④，得x ＝－1，从而由③，得y ＝2. 所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.(1)请用上述的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 019x ＋2 018y ＝2 017，①2 017x ＋2 016y ＝2 015；②(1)①－②得，2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1.③将③×2 016，得2 016x ＋2 016y ＝2 016.④②－④，得x ＝－1.把x ＝－1代入③，得y ＝2.所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.(2)猜想关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x ＋（a ＋1）y ＝a ，ax ＋（a －1）y ＝a －2的解是什么？(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.1.3 二元一次方程组的应用第1课时用二元一次方程组解决较简单的实际问题01课前预习要点感知建立二元一次方程组模型解应用题的步骤：(1)_审题；(2)_找等量关系；(3)_设未知数；(4)_列方程组；(5)_解方程组；(6)_检验作答．预习练习 (吉林中考)为促进教育均衡发展，A 市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．设男生有x 人，女生有y 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝45，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝21.答：该班男生有24人，女生有21人． 02当堂训练知识点列二元一次方程组解决较简单的实际问题1．买苹果和梨共50千克，其中苹果的质量是梨的2倍少8千克．若设买苹果x 千克，买梨y 千克，则列出的方程组应是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50y ＝2x ＋8B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50y ＝2x －8 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50x ＝2y ＋8 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50x ＝2y －82．某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%.这样会使在校学生共增加10%，这所学校初中现在的在校生人数是( A )A ．1 400人B ．1 900人C ．2 800人D ．2 300人 3．(丹东中考)小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文具．小明买了3支笔和2个圆规共花19元；小丽买了5支笔和4个圆规共花35元．设每支笔x 元，每个圆规y 元．请列出满足题意的方程组_．⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝195x ＋4y ＝354．(湘潭中考)湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4 000元．那么当日售出成人票____张．505．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为____只、树为______棵．20 56．(海南中考)小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A 型号计算器的单价比B 型号计算器的单价多10元，5台A 型号的计算器与7台B 型号的计算器的价钱相同，问A 、B 两种型号计算器的单价分别是多少？设A 型号计算器的单价为x 元，B 型号计算器的单价为y元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝10，5x ＝7y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝25.答：A 型号计算器的单价为35元，B 型号计算器的单价为25元．7．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价是y 元/斤．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝36，3（1＋50%）x ＋2（1＋20%）y ＝45. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝15.所以这天萝卜的单价是：(1＋50%)x ＝(1＋50%)×2＝3，这天排骨的单价是：(1＋20%)y ＝(1＋20%)×15＝18.答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．03课后作业8．(江西中考改编)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意所列方程组正确的是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋20y ＝562x ＋3y ＝28B.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝562x ＋3y ＝28 C.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝282x ＋3y ＝56D.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋20y ＝282x ＋3y ＝56 9. (淄博中考)把一根长100 cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5 cm ，则锯出的木棍的长不可能为( A )A ．70 cmB ．65 cmC ．35 cmD ．35 cm 或65 cm10．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克．则甲种药材买了____千克．511．(吉林中考)根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．设梅花鹿现在的高度为x m ，长颈鹿现在的高度为y m ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4，y －3x ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝5.5.答：梅花鹿现在的高度为 1.5 m ，长颈鹿现在的高度为5.5 m ．12．(福州中考)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球队、排球队各有多少支参赛？设有x 支篮球队和y 支排球队参赛．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝48，10x ＋12y ＝520.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝20.答：篮球队、排球队各有28支与20支参赛．13．(雅安中考)某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务．问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？设要安置x 户居民，规定时间为y 个月．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12y ＝90%x ，16（y －1）＝x.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝6. 答：要安置80户居民，规定时间为6个月．挑战自我14．为满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7 200平方米．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除校舍则超过了10%，结果恰好完成了原计划的拆建的总面积．(1)原计划拆、建面积各是多少平方米？(1)设原计划拆、建面积各是x 平方米和y 平方米．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7 200，（1＋10%）x ＋80%y ＝7 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 800，y ＝2 400.答：原计划拆、建面积分别是4 800平方米和2 400平方米．(2)如果绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化面积大约多少平方米？ (2)(1＋10%)×4 800＝5 280(平方米)，80%×2 400＝1 920(平方米)，[(4 800－5 280)×80＋(2 400－1 920)×700]÷200＝1 488(平方米)．答：在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化面积大约1 488平方米．第2课时用二元一次方程组解决较复杂的实际问题01课前预习预习练习1－1 楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1 225元，设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2035x ＋70y ＝1 225B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2070x ＋35y ＝1 225C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 22570x ＋35y ＝20D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 22535x ＋70y ＝201－2 用一根长为60 cm 的铁丝围成一个长方形，记长为x cm ，宽为y cm ，当长方形的长是宽的2倍时，可列方程组______．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y2（x ＋y ）＝6002当堂训练知识点列二元一次方程组解决较复杂的实际问题1．(北京中考)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为____．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝82．为了合理使用电力资源，缓解用电紧张状况，我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(如下表)．已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？设王老师家4月份“峰电”用了x 千瓦时，“谷电”用了y 千瓦时，根据题意可列方程组______．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝950.56x ＋0.28y ＝43.43.在《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子一部分在树上欢歌，一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子就是整群的13，若从树上飞下来一只到地上，则树上和地上的鸽子就一样多了”．则树上鸽子有____只，地上鸽子有______只．7 54．(黄冈中考)已知A 、B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A 、B 两件服装的成本各是多少元？设A 服装的成本为x 元，B 服装的成本为y元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝500，30%x ＋20%y ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝200.答：A 、B 两件服装的成本分别为300元、200元．5．某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝56，36y ＝2×24x.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝32. 答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．6．A 、B 两地相距36千米．甲从A 地出发步行到B 地，乙从B 地出发步行到A 地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋y ）＝36，36－6x ＝2（36－6y ）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时． 03课后作业7．(内江中考)成渝路内江至成都全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比小客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/小时和y 千米/小时，则下列方程组正确的是( D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2076x ＋76y ＝170B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2076x ＋76y ＝170 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2076x －76y ＝170D.⎩⎪⎨⎪⎧76x ＋76y ＝17076x －76y ＝208．如图，宽为50 cm 的长方形图案是由10个完全相同的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为__cm 2.4009．(潜江中考)清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人．由此可知该班共有__名同学．5910．(张家界中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m ，下坡路每分钟走80 m ，上坡路每分钟走40 m ，则他从家里到学校需10 min ，从学校到家里需15 min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设平路有x m ，下坡路有y m ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 60＋y80＝10，x 60＋y 40＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝400.答：小华家到学校的平路和下坡路各为300 m 、400 m ． 11．(佛山中考)某景点的门票价格如表：某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1 118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(1)若两班人数和少于100人，则两班单独购票共需花费的钱数少于50×12＋50×10＝1 100(元)，而实际共需花费的钱数为 1 118元，所以两班人数和一定多于100人．设七年级(1)班有x 人，七年级(2)班有y 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，8（x ＋y ）＝816.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，x ＝53.答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人． (2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？(2)七年级(1)班节约的费用为：(12－8)×49＝196(元)，七年级(2)班节约的费用为：(10－8)×53＝106(元)．答：七年级(1)班节约196元，七年级(二)班节约106元．挑战自我12．(龙岩中考)已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、y 吨．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝10，x ＋2y ＝11.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(2)根据题意可得3a ＋4b ＝31，b ＝31－3a4，使a ，b 都为整数的情况共有a ＝1，b ＝7或a ＝5，b ＝4或a ＝9，b ＝1三种，故租车方案分别为： ①A 型车1辆，B 型车7辆；②A 型车5辆，B 型车4辆；③A 型车9辆，B 型车1辆．(3)若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．(3)方案①花费为100×1＋120×7＝940(元)；方案②花费为100×5＋120×4＝980(元)；方案③花费为100×9＋120×1＝1 020(元)．答：方案①最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元． 1.4 三元一次方程组01课前预习要点感知解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解____，进而再转化为解_____．消元的基本方法仍然是___法和______法．二元一次方程组一元一次方程代入加减预习练习1－1 如果x －y ＝－5，z －y ＝11，那么z －x ＝___．161－2 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＋z ＝1，y ＋2x ＝4的解为___．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2z ＝－102当堂训练知识点1 三元一次方程组的解法 1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3z ＝1，3x ＋y －7z ＝2，5x －y ＋3z ＝3.若要使运算简便，则消元的方法应选取( B )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋z ＝0，y ＋z ＝1的解是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0z ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1z ＝－1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0z ＝13．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝1，ax ＋（a －1）y ＝3的解x 与y 相等，则a的值等于( C )A ．4B ．10C ．11D ．124．当a 、b 、c 满足方程2(a －5)2＋|a －b ＋4|＋3(3c －b)2＝0时，则a ＝__，b ＝__，c ＝__．5 9 3 5．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝11，①y ＋z －x ＝5，②z ＋x －y ＝1；③(1)①＋②，得2y ＝16，即y ＝8.①＋③，得2x ＝12，即x ＝6.②＋③，得2z ＝6，即z ＝3.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y.③(2)把③代入①，得5y ＋z ＝12.④ 把③代入②，得6y＋5z ＝22.⑤ ④×5－⑤，得19y ＝38，解得y ＝2.把y ＝2代入④，得z ＝2.把y ＝2，z ＝2代入①，得x ＋2＋2＝12，解得x ＝8.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，z ＝2.6．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，①x ＋z ＝1，②y ＋z ＝1③的解使代数式x －3y ＋kz 的值为5，求k 的值．①－②，得y －z ＝－2.④ ④＋③，得y ＝－12.把y ＝－12代入③，得z ＝32.把y ＝－12代入②得x ＝－12.将方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，z ＝32代入x －3y ＋kz ＝5，解得k ＝83.知识点2 列三元一次方程组解应用题7．某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝50，y ＝14（x ＋z ），x ＝y ＋z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝10，z ＝15.答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．课后作业03课后作业8．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，2y ＋z ＝4，2z ＋x ＝5可以得到x ＋y ＋z 的值等于(B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝k ＋2，2x ＋3y ＝k ，其中x 与y 的值之和等于2，则k 的值为____．410．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋z ，x ＋y ＋z ＝10，3x －y ＝9；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，z ＝－1. (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝10，x ＋2y －z ＝6，x ＋y ＋2z ＝17.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，z ＝5.11．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＝4，5x －2y ＝m －1的解能使等式4x －3y ＝7成立．(1)求原方程组的解；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＝4，①4x －3y ＝7.② ①＋②，得11x ＝11.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.(2)求代数式m 2－2m ＋1的值．(2)将x ＝1，y ＝－1代入5x －2y ＝m －1，得5×1－2×(－1)＝m －1.解得m ＝8.所以m 2－2m ＋1＝82－2×8＋1＝49.12．对于有理数x ，y ，定义新运算x*y ＝ax ＋by ＋c.其中a ，b ，c 是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2＝9，(－3)*3＝6，0*1＝2.(1)求a ，b ，c 的值；(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c ＝9，－3a ＋3b ＋c ＝6，b ＋c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝－3.(2)求(－1)*2的值．(2)此新运算为x*y ＝2x ＋5y －3，所以(－1)*2＝2×(－1)＋5×2－3＝5.13．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．设原来的三位数的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝17，x ＋y －z ＝3，（100z ＋10y ＋x ）－（100x ＋10y ＋z ）＝495.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，z ＝7.答：原来的三位数是287 14．有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，。

初中数学二元一次方程组知识点+习题

一、二元一次方程含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）．二、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．如：方程2x y +=的一组解为11x y =⎧⎨=⎩，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程．一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．【例1】若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______．【例2】已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =______．【例3】下列方程中，属于二元一次方程的是（）A ．10x y +-=B ．54xy +=-C ．2389x y +=D ．12x y+= 【例4】在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________．【例5】二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（）A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．10x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =-⎧⎨=-⎩【例6】求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解．例题解析知识精讲模块一：二元一次方程二元一次方程组的概念及解法【例7】已知23x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值．一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．特别地，134x y x +=⎧⎨-=⎩和31x y =⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解．注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是61x y =⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12x y =⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y +=、1y x -=，所以12x y =⎧⎨=⎩是方程组31x y y x +=⎧⎨-=⎩的解．【例8】下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．57x y =⎧⎨=⎩【例9】下列各组数中，_________是方程32x y -=的解；_________是方程29x y -=的解；例题解析知识精讲模块二：二元一次方程组的概念________是方程组3229x y x y -=⎧⎨-=⎩的解．①．11x y =-⎧⎨=-⎩；②．51x y =⎧⎨=⎩；③．32x y =⎧⎨=⎩；④．25x y =⎧⎨=-⎩【例10】下列方程中，与方程325x y +=所组成的方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩的是（）A ．34x y -=B ．434x y +=C ．1x y +=D ．432x y -=【例11】请以122x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩为解，构造一个二元一次方程组__________________．【例12】若x ay b =⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则934_______a b ++=．【例13】若关于x 、y 的二元一次方程组2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．2【例14】已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是_________．一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ），用另一个未知数（如x ）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b =+的形式；知识精讲模块三：二元一次方程组的解法②代入消元：将y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．【例15】把方程513yx y +=+写成用含x 的式子表示y 的形式，下列各式正确的是（） A ．352y x =+ B ．3102y x =-C ．31522y x =--D ．31522y x =-+【例16】若222x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则x 与y 之间的关系式为_________．【例17】已知代数式133m x y --与52n m n x y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．21m n =⎧⎨=-⎩B ．21m n =-⎧⎨=-⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．21m n =-⎧⎨=⎩【例18】若()2523100x y x y +-+--=，则（）A ．32x y =⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=⎩C ．50x y =⎧⎨=⎩D ．05x y =⎧⎨=⎩例题解析【例19】用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）2342x y y +=⎧⎨=⎩（2）50180x y x y =-⎧⎨+=⎩（3）53210x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）34194x y x y +=⎧⎨-=⎩【例20】解二元一次方程组345527x y x y +=⎧⎨-=⎩①②正确的消元方法是（） A ．53⨯+⨯①②，消去x B ．35⨯-⨯①②，消去x C ．2-⨯①②，消去yD ．2+⨯①②，消去y【例21】用加减消元法解下列二元一次方程组：（1）37232x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）3263524x y x y -=⎧⎨-=⎩（3）3210512x y x y +=⎧⎨+=⎩（4）324432x y y x -=⎧⎨-=-⎩【例22】已知x 、y 满足方程组2100721006x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【例23】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例24】解下列二元一次方程组：（1）235455y xx y=⎧⎨+=⎩（2）2333215x yx y-=-⎧⎨+=⎩（3）()()()()31425125y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩（4）2153224111466x yx y⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩【例25】解二元一次方程组：（1）1243231y xx y++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（2）2132245313245yxyx--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩（3）2320.40.7 2.8yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【例26】已知关于x、y的方程组227x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩，则:________x y=．【习题1】下列各式是二元一次方程的是（）A ．30x y z -+=B ．30xy y x -+=C ．12023x y -=D ．210y x+-=【习题2】若2211a b a b x y -+--=是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（）A ．10a b =⎧⎨=⎩B ．01a b =⎧⎨=-⎩C ．21a b =⎧⎨=⎩D ．23a b =⎧⎨=-⎩【习题3】二元一次方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=-⎩D ．20x y =⎧⎨=⎩【习题4】由4360x y -+=，可以得到用y 表示x 的式子为________________.【习题5】解下列方程：（1）2328y xy x =⎧⎨+=⎩（2）1035x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩（4）1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩（5）372513x y x y -=⎧⎨+=⎩（6）347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩随堂练习【作业1】若24341358m n m n x y --+--=是关于x 、y 的二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为_________．【作业2】若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程31ax y -=的解，则a 的值为（）A ．5-B ．1-C ．2D ．7【作业3】下列方程组：①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④120x y =⎧⎨-=⎩其中，是二元一次方程组的是_________．【作业4】已知12x y =-⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b +=______．【作业5】若12x y =⎧⎨=-⎩是关于x 、y 的方程1ax by -=的一组解，且3a b +=-，求52a b -的值．【作业6】解下列二元一次方程组：（1）45805620x y y x -=⎧⎨+=⎩（2）23953x y x y +=-⎧⎨-=⎩（3）()39312x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩（4）1243231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（5）734628x y x y +=⎧⎨+=⎩（6）134723m nm n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩课后作业。

七年级下册数学二元一次方程组知识点

七年级下册数学二元一次方程组知识点一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，例如：2x - 3 = 7。

而二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，例如：2x + 3y= 7。

在七年级下册的数学课程中，我们将学习关于二元一次方程组的知识。

方程组是一个由多个方程组成的集合，其中每个方程都有相同的未知数。

接下来，我们将学习以下知识点：1.二元一次方程组的概念：二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的集合。

一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c22.解二元一次方程组的方法：a.消元法：通过某种操作使得方程组中的一个未知数的系数相等，然后将方程相加或相减，从而消去该未知数。

b.代入法：选取一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后将其代入另一个方程，从而得到一个只含一个未知数的方程。

c.矩阵法：将方程组的系数分别放入矩阵中，计算矩阵的行列式，从而求得方程组的解。

3.解二元一次方程组的步骤：a.利用某种方法将方程组化简为易于求解的形式。

b.求解方程组中的一个未知数。

c.将求解得到的未知数代入另一个方程，求解另一个未知数。

d.检验所求解是否满足原方程组。

4.二元一次方程组的解的情况：a.唯一解：方程组有且仅有一个解。

b.无解：方程组没有解，即方程组的解不存在。

c.无穷多解：方程组有无数个解。

5.在解二元一次方程组时要注意的问题：a.方程组是否有解。

b.方程组是否有无穷多解。

c.是否可以进行消元操作。

d.是否正确地代入方程。

通过学习二元一次方程组的知识，我们可以解决一些实际问题，例如在解答题或应用题中，通过列方程组来求解问题。

希望以上简要介绍的二元一次方程组的知识点能对你的学习有所帮助！。

七年级数学二元一次方程组(学生讲义)

第一章二元一次方程组【知识要点】1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量； ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程， 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法（2）加减消元法三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解（二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组例：解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或x=ay+b ）的形式；③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8；（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3．由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4．则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．。

第一章方程组的解法

第一章方程组的解法第一章方程组的解法第一节二元一次方程组的解法一、二元一次方程组（一）二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：①等号两边的代数式是整式；②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.想一想：下列各方程中，哪个是二元一次方程？（1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x2－y＝9；（4）1x－y＝2.（二）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.例如，x＝2,y＝3适合方程x－y＝－1，显然，满足x－y＝－1的x,y的值有很多对，如x＝3，y＝4；x＝5，y＝6；均满足方程，因此二元一次方程x－y＝－1的解有无穷多个，它们可分别记作，可以看作是二元一次方程x－y＝－1的一个解。

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.（三）二元一次方程组由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 例如：这三个方程组都是二元一次方程组，其中（3）虽然是由三个方程组成的，其中有一个方程只含有一个未知数，但根据二元一次方程组的概念，它仍是二元一次方程组。

（四）二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.二、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法体现消元的数学思想，把二元转化为一元。

新人教版第八章《二元一次方程组》基础知识要点

第八章二元一次方程组1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是一次，两边都是关于未知数的整式的方程叫二元一次方程。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值叫做二元一次方程的解。

注意：一个二元一次方程有无数多个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是一次，两边都是关于未知数的整式的方程组叫二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的一个解。

5、解二元一次方程组、三元一次方程组的基本思想是消元；二元一次方程组的基本解法：代入法和加减法。

6、代入法解二元一次方程组的一般步骤：变形、代入、求解、代入、结论。

（1）把其中一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数；（2）把表示出的未知数代入另一个方程消去被表示的未知数，得到一元一次方程；（3）解所得到的一元一次方程求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入第（1）步变形得到的式子，求出另一个未知数的值；（5）得出结论。

注意：适当应用整体代入会使问题变简单。

7、加减法解二元一次方程组的一般步骤：变形、加减、求解、代入、结论。

（1）在一个方程或两个方程的两边同乘以一个恰当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把所得的两个方程左右两边分别相加或相减消去一个未知数；（某未知数的系数相等时相减，某未知数的系数互为相反数时相加；相减时注意符号）；（3）解所得到的一元一次方程，得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入原方程组其中的一个方程，求另一个未知数的值；（5）得出结论。

注意：解二元一次方程组时应先把它化为一般形式。

8、三元一次方程组的解法：从原方程组中选择其中一个方程分别与另两个方程结合消去同一个未知数转化为二元一次方程组求解。

积累与应用1、解二元一次方程组时，适当运用整体思想会更简便。

如解方程63233x yxx yx-⎧=-⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩和215216217x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩2、已知二元一次方程或二元一次方程组的解时，常把它代入原方程或方程组中。

二元一次方程组（精选12篇）

二元一次方程组（精选12篇）二元一次方程组篇1教学建议一、重点、难点分析本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.难点是了解的解的含义.这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解.用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答.这是克服这一难点的关键所在.二、知识结构本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、（用描述的语言）以及的解等概念.三、教法建议1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.4.为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如和矛盾方程组如等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程.教学设计示例一、素质教育目标（－）知识教学点1.了解二元一次方程、和它的解的概念.2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.3.会检验一对数值是不是某个的解.（二）能力训练点培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.（三）德育渗透点培养学生严格认真的学习态度.（四）美育渗透点通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情.二、学法引导1.教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法.2.学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.三、重点·难点·疑点及解决办法（－）重点使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.（二）难点了解的解的含义.（三）疑点及解决办法检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.四、课时安排一课时.五、教具学具准备电脑或投影仪、自制胶片.六、师生互动活动设计1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.七、教学步骤（－）明确目标本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解.（二）整体感知由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题.（三）教学过程1.创设情境、复习导入（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？回答老师提出的问题并自由举例.【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.（2）列一元一次方程求解.香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？学生活动：思考，设未知数，回答.设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得解这个方程，得答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—.【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.2.探索新知，讲授新课（1）关于二元一次方程的教学.我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.练习一判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.① ② ③④ ⑤ ⑥练习二分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.练习三课本第6页练习1.提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应.练习四填表，使上下每对、的值满足方程 .－20.42－13师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为 .【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础.（2）关于的教学.上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成这两个方程合在一起，就组成了一个.方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.练习五已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？① ②③ ④【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识.对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些.根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说是的解.学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言.教师纠正、指导后板书：使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解.例题判断是不是的解.学生活动：口答例题.此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯.3.尝试反馈，巩固知识练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点.（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性.4.变式训练，培养能力练习：（1）P8 4.【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础.（2）P8 B组1.【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.（四）总结、扩展1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解.3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.八、布置作业（一）必做题：P7 3.（二）选做题：P8 B组2.（三）预习：课本第9～13页.参考答案略.二元一次方程组篇28.1 二元一次方程组教学目标 1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣.教学难点弄懂二元一次方程组解的含义。

二元一次方程组(难点、考点、易错点)

DSE 金牌数学专题系列二元一次方程组(难点、考点、易错点)一、导入:讲个故事：“从前有个太监…………………………”有人耐不住问：“下面呢？”继续讲故事：“下面？没了啊……”一、知识点回顾（一）二元一次方程组1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （二）二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.二、专题讲解专题一错题分析【误解】A或D．【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．【正解】C．把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解．【正解】由式②得x=8-3y③把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103. 所以【例3】解方程组【错解】方程①- ②得：－3y=0，所以y=0，把y=0，代入②得x=－2，所以原方程组的解为【分析】在①- ②时出错.【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）x－2y－x＋y＝4－y=4 y=－4把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.所以答:晚会上男生3人，女生5人.【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把③代入④,得x=［2（x-1）－1－1］，解得x=12.把x=12代入④，得y=21.所以答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.【例5】解方程组【错解】方程①＋②得：2x=4，原方程组的解是：x=2【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.【正解】（接上）将x=2带入②得：y=0.所以原方程组的解为【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.【例6】解方程组【错解】由式①得y=2x-19 ③把式③代入式②得2（2x－19－【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．【正解一】化简原方程组得【正解二】化简原方程组得①×6+②得17x=114，【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．专题二思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系.第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额.第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目. 第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【思考与解】第一步：找数量关系. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数. Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系，构建等式. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.第三步：找出未知量和已知量. 已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.第四步：设元，列方程组. 设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：第五步：答：Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.【例３】用加减法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.解：①＋②，得４x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=3.解得y=.所以，原方程组的解为：【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再与方程②作差消去x较好.解：①×２，得4x-6y=16. ③②－③，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８. 解得x=1.所以原方程组的解为【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程②的系数比较简单，应该将方程②进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.解法1：由②得x=8-2y.③把③代入①得2（8-2y）+5y=21，解得y=5.把y=5代入③得x=-2.所以原方程组的解为：解法2：②×2得2x+4y=16. ③①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.把y=5代入②得x=-2.所以原方程组的解为【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据.【例6】用代入法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.解得y=-1.把y=-1代入①，得x=2.所以原方程组的解为【例7】用代入法解方程组【思考与分析】经观察比较，我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择①变形，消去y.解：由①，得y=2x-5. ③把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.把x=2代入③，得y=-1.所以原方程组的解为：【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台.根据题意，得答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.解法二：间接设法.设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.根据题意，得所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，y×（110％-1）＝40×10％＝4.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得化简得从起点到终点所用的时间为所以出发时间为：17－10＝7.即早晨7点出发.答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.专题三竞赛数学【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k 的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８.又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得y=4－mx，③把③代入②，得2x+5（4－mx）=8，解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，即m＝时，方程无解，则原方程组无解.当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则①时，原方程组有惟一解；②时，原方程组有无穷多组解；③时，原方程组无解.【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0<x<25．①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得②当0<x≤20，y>40时，由题意，得（与0<x≤20，y≤40相矛盾，不合题意，舍去）．③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合题意，舍去）.综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数= 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数= 长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个. 根据题意，得①×4-②，得５y=2000，解得y=400.把y=400代入①，得x+800=1000，解得x=200.所以方程组的解为因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.三、巩固练习：一）精心选一选（每题7分，共35分）1. 方程组的解是（）.2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（）.3. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶、乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（）.4. 一个两位数被9除余2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9除余5，设个位数字为x，十位数字为y，则下面正确的是（）.（以下选项中k1、k2都为整数）5. 用面值l元的纸币换成面值为l角或5角的硬币，则换法共有（）种.A. 4B. 3C. 2D. 1二）用心填一填（每题7分，共35分）1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______.2. 一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件. 则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.3. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y＝______.4. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.三）耐心做一做（每题10分，共30分）1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.2. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？3. 《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？答案一、精心选一选1. B2. C3. B4. C5. B二、用心填一填1.18千米/时，2千米/时.2. 25，155.3. 4，6.4. 8米，6米.5. 4.三、耐心做一做1. 【解题思路】由于甲地到乙地的距离不知道是多少，从甲地到乙地规定的时间也不知道，所以不能直接求速度.我们可以设甲地到乙地的路程和规定的时间为未知数，列方程求解，最后用速度＝路程÷时间得到标准速度.解：设甲、乙两地的之间距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时.根据题意，得解得经检验，符合题意.则＝60（千米/小时）.答：他以每小时60千米/小时的速度行驶可准时到达.2. 【解题思路】由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费用，然后再进行比较.解：设甲组单独完成需x天，乙组单独完成需y天，则根据题意，得。

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)二元一次方程组知识点梳理及经典练知识点1：二元一次方程组的定义1.二元一次方程1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

②含有未知数的项的次数都是1.③二元一次方程的左右两边都必须是等式。

3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.2.二元一次方程组1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

2）常考题型：①根据定义判断。

②已知方程组的解，求方程组待定系数（将解代入方程）。

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组1.代入消元法1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

例：解方程组：2x-7y=83x-8y-10=02.加减消元法1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2）加减消元法解方程步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。

2元一次方程组知识点总结

2元一次方程组知识点总结
二元一次方程组知识点总结：
1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2. 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组称为二元一次方程组。

3. 消元法：通过对方程进行变形，使两个方程中一个未知数被另一个未知数替代，从而得到解的方法叫做消元法。

4. 代入法：通过对方程进行变形，使两个方程中一个未知数的系数相等，然后将一个方程中的未知数用另一个未知数表示出来，从而得到解的方法叫做代入法。

5. 转化为一元一次方程：通过对方程进行变形，将二元一次方程转化为一元一次方程，从而得到解的方法叫做转化为一元一次方程。

6. 求解二元一次方程组的基本步骤：
（1）消元或代入，将二元一次方程组转化为一元一次方程；
（2）解一元一次方程；
（3）将求出的解代入原方程组，得到二元一次方程组的解。

7. 解集：满足二元一次方程组的未知数的值叫做二元一次方程组的解，所有解的集合叫做解集。

8. 解的存在性：如果一个二元一次方程组有解，则一定存在满足该方程组的未知数的值。

9. 解的唯一性：如果一个二元一次方程组有解，则一定存在唯一的解集。

10. 解的多样性：如果一个二元一次方程组无解，则一定不存在满足该方程组的未知数的值。

以上就是二元一次方程组的相关知识点总结，希望对你有所帮助。

简单的二元一次方程组

简单的二元一次方程组二元一次方程组是由两个未知数和两个一次方程组成的方程组。

每个方程包含两个变量的一次幂且其系数不为零。

解决这样的方程组通常需要使用代入法、消元法或Cramer法则等方法。

让我们看一个简单的例子，来解释如何解决二元一次方程组。

假设我们有以下的方程组：方程1:2x+y=7方程2:3x-4y=-2我们可以使用消元法解决这个方程组，步骤如下:步骤1:通过将方程的系数与变量相乘，使得两个方程的系数一样。

为了使方程1和方程2的x的系数一样，我们可以将方程1的所有项乘以3，方程2的所有项乘以2、这样我们得到以下等价的方程组：方程1:6x+3y=21方程2:6x-8y=-4现在方程1和方程2的x的系数相同。

步骤2:将两个方程相减，消去x的项。

现在我们可以将方程1减去方程2，得到：(6x+3y)-(6x-8y)=21-(-4)化简得到：6x+3y-6x+8y=21+4化简得到：11y=25解方程得到：y=25/11步骤3:将y的值代入到其中一个方程中，解出x的值。

我们可以将y=25/11代入方程1，得到：2x+25/11=7化简得到：2x=7-25/11化简得到：2x=(77-25)/11化简得到：2x=52/11解方程得到：x=52/(11*2)化简得到：x=26/11所以，这个二元一次方程组的解是x=26/11，y=25/11以上是一个简单的实例，解决二元一次方程组的步骤基本相同。

首先通过倍增或减少方程的系数使两个方程系数相等，然后通过消元法消去一个变量的项，最后代入求解另一个变量的值。

二元一次方程组计算方法

二元一次方程组计算方法
二元一次方程组，这可是数学里的重要家伙！它就像是个解谜游戏，咱们得找出那隐藏在方程里的答案。

1.1 啥是二元一次方程组？简单说，就是有两个含有两个未知数的一次方程组合在一起。

比如说，x + y = 5 ，2x - y = 1 ，这就是一组二元一次方程组。

1.2 那为啥要学它呢？您想啊，生活里好多事儿都能用它来解决。

像买东西算价钱，安排工作算人数，用处大着呢！
接下来说说咋解这方程组。

2.1 最常用的法子就是“代入消元法”。

举个例子，有方程组 x + y = 3 ，x - y = 1 。

从第一个方程里，咱能得出 x = 3 - y ，然后把这 x 代入第二个方程，就变成 3 - y - y = 1 ，这不就变成一元一次方程了嘛，解出来 y = 1 ，再把 y 的值代回第一个方程，就能算出 x = 2 。

2.2 再说说“加减消元法”。

比如方程组 2x + 3y = 8 ，3x + 2y = 7 。

咱可以把第一个方程乘以 3 ，第二个方程乘以 2 ，然后相减，就能消去一个未知数，算出另一个未知数的值。

2.3 解方程组的时候，得细心，一步错，步步错，就像走路踩错了石头，容易摔跟头。

三。

3.1 多做练习题那是必须的。

俗话说，熟能生巧，做得多了，各种类型的方程组都见过了，再遇到难题也不怕。

3.2 还有啊，得学会总结方法和技巧。

每解完一组方程，都想想自己用的啥办法，为啥这么用，下次遇到类似的就能更快解决。

二元一次方程组不难，只要您用心学，多练习，一定能把它拿下！。