人教版2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布高效演练新人教A版选修2_3

2.4 正态分布
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X ～N (1，22
)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( )
A ．4
B ．2 C.12
D ．1 解析：因为X ～N (1，22
)，所以D (X )＝4.
所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14
D (X )＝1.
答案：D
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
解析：由P (ξ＜4)＝0.8，知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.
答案：C
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32
)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，
P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 6
2
＝0.135 9＝
13.59%.
答案：B
4．若随机变量X ～N (1，4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0＜X ＜2)＝( )
A.1－2m
2
B.
1－m
2
C．1－2m D．1－m
解析：由对称性：P(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0＜X＜2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.
答案：C
5．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
答案：A
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：法一设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使
用寿命均服从正态分布N (1 000，502
)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝1
2，P 2＝12，P 3＝12
.因为P (A －
)＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58
，所以P (A )＝1－P (A －
)＝38
.
法二 设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502
)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12
.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12
×
12＋12×12×12＝38
. 答案：38
8．若随机变量ξ～N (10，σ2
)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________． 解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝10为对称轴知，
P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4，
即P (10≤ξ≤11)＝0.2， 又P (ξ≥10)＝0.5，
所以P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3 三、解答题
9．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N (173，72
)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]
解：设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P (ξ≥x )＜1%. 因为ξ～N (173，72
)，所以P (ξ≤x )＝φ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1737＞0.99.
查表得
x －173
7
＞2.33，所以x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比． 解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2
)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P (x )＝
12πσ
e －
（x －μ）22σ2＝15002π
e －（x －8 000）2
2×5002，x ∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P (7 500<ξ≤8 000) ＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6.
所以P (8 000<ξ≤8 500)＝1
2
P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3， 即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
B 级 能力提升
1．正态分布N (1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m ，n ，则( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不确定
解析：正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m ＝n .
答案：C
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102
)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12
(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名． 答案：229
3．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～N (20，4)．若这批零件共有5 000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18～22 mm 的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24～26 mm 的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
解：(1)因为X ～N (20，4)， 所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X 为18～22 mm 的零件所占百分比大约是68.26%，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， 所以零件尺寸X 为14～26 mm 的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X 为16～24 mm 的百分比大约是95.44%.
所以零件尺寸为24～26 mm 的百分比大约是99.74%～95.44%
2
＝2.15%.
5 000×2.15%＝107.5，
因此尺寸为24～26 mm 的零件大约有107个．。