2019-2020学年湖北省黄冈市高二下学期期末考试数学试题 word版

绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足(2)(1)2z i i --=-，则复数||z =（） A.2
B.1
C.2
D.3
2.“1x >”是“3x >”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设2,8
()(8),x x f x f x x ⎧≤=⎨->8⎩
，则(17)f =（）
A.2
B.4
`C.8
D.16
4.已知5log 0.3a =，0.3
3b =，2
0.3c =，则下列选项正确的是（）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.b a c <<
5.已知函数()(2cos )sin f x x x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数，则(0)f '=（） A.0
B.1
C.π
D.2
6.函数3
()x x
x f x e e
-=+的图象大致为（）
A
B
C
D
7.已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且1PF d -=，则
动点p 的轨迹方程为（）
A.2
214
x y += B.2
4y x = C.2
8y x =
D.2
2y x =
8.已知函数1()x a
f x xe x
-=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A.()
20,4e
B.220,
e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C.()
20,2e
D.40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线方程为0y +=，双曲线的离心率为e ，双曲线的焦点到渐
近线的距离为d ，则（）
A.d =
B.d =
C.3e =
D.4
e =
10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x ，恒有(2)()f x f x -=成立，且(1)1f =，则（） A.(1,0)是函数()f x 的一个对称中心 B.函数()f x 的一个周期是4 C.(3)1f =-
D.(2)0f =
11.下列命题中正确的是（）
A.命题“00x ∃≥，00sin x x <”的否定是“0x ∀≥，sin x x ≥”
B.若函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '>在区间(,)a b 上恒成立
C.“0x <”是“不等式
1
1x
<成立”的必要不充分条件 D.若对任意1x ，()212x R x x ∈≠都满足
()()
2121
0f x f x x x ->-，则函数()f x 是R 上的增函数
12.已知1F ，2F 是椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，M 、N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的
离心率，过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知110AF BF ⋅=2232AF F B =，122AF AF =，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为1k ，2k ，直线BM 和直线BN 的斜率分别为3k ，
4k ，则下列结论一定正确的是（）
A.5
e =
B.12
k =
C.1245
k k ⋅=-
D.4345
k k ⋅=
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上.
13.若2
()1
x x
a e a f x e ⋅+-=+为奇函数，则a =___________. 14.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C 和1CC 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成的角的余弦值为__________.
15.若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i +++
+=___________.
16.已知3
()4f x x x =-，若过点(2,0)A -的动直线l 与()f x 有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为
A ，
B ，
C ，设线段BC 的中点是(,)E m t ，则m =_________；t 的取值范围为__________.（本题第一空
2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）
已知函数()ln f x x a x =-在点(2,(2))f 处的切线方程为222ln 20x y -+-=. （1）求a ； （Ⅱ）求函数()
()f x g x x
=
的极值. 18.（本小题满分12分）
已知定义在R 上的函数()22x
x
f x -=-. （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性和单调性； （Ⅱ）若222
2()x
x af x -+≥在区间()0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知点F 是抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点，且抛物线C 经过点(4,4)P . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点E 的坐标为(1,0)-，若直线EA 的斜率为1k ，直线EB 的斜率为2k ，证明：
12
11
0k k +=.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13A A =，
棱1A A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为线段AD 和11A B 的中点.
（1）证明：BE CF ⊥；
（Ⅱ）求二面角B EF C --的余弦值. 21.（本小题满分12分）
已椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)，离心率为22.
（1）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线l ：2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆经过不在直线l 上的点(2,0)D ，求直线l 的方程. 22.（本小题满分12分） 已知函数()1ln f x ax x =-+. （I ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若1a =，证明：1
()e x
xf x ≥-
. 黄冈市2020年春季高二年级期末考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1.C2.B3.A4.A5.D6.B7.B 8.D
8.解析：由121e 0e x x a
x a x x
---=⇒=， 设21()e
x
g x x -=，1()e (2)x
g x x x -'=-，
故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,2x ∈时，()0g x '>；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故(0)0g =，4
(2)
e
g =，故40e
a <<
. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9.AC10.BCD11.AD12.AC
12.解析：由110AF BF ⋅=，得11AF BF ⊥，过点2F 作1F B 的平行线，交1AF 于点E ，故12EF EF ⊥. 设14F A t =，则22AF t =，又2232AF F B =，所以||5AB t =.又110AF BF ⋅=，所以13F
B t =，所以1243t a a t =⇒=.因为2232AF F B =，所以
22||2
3
||AF F B =，所以23F B t =， 所以12F B F B =，故b k c =或b c -. 又2
1EF F B ，所以212655EF F B t ==，11312
55
EF AF t ==.
又12EF EF ⊥，所以2
2
2612(2)55t t c ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
又3a t =，所以2215
5c c a a =⇒=，故A 正确.
又2
2
2
c a b =-，所以222222214
55
c a b b a a a -==⇒-=-.
设点(,)A x y ，则1y k x a =
+，2y
k x a
=-， 21222y k k x a ⋅=-.由2222222211x y x y b a b a ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭
，所以2122b k k a ⋅=-同理2342b k k a ⋅=-，故C 正确，D
错误.
由2222222
22
114255c c c b b
a a c
b
c c
=⇒==⇒=⇒=+，所以B 错误.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 .13.114.015.10101010i -16.1(3,24)-
16.解析：设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为(2)y k x =+，
则由3()4,(2),
f x x x y k x ⎧=-⎨=+⎩得220x x k --=所以122x x +=.
又(,)E m t 为线段BC 的中点，所以
12
12
x x m +==. 又()()()1212122223222k x k x x x y y t k k ++++⎡⎤+=
==+=⎢⎥⎣⎦
，
设函数()f x 上的切点为()
3
000,4P x x x -，
由切线过点(2,0)-知，切线方程为()0(2)y f x x '=+，()2
0034f x x '=-，
又点P 在切线方程上，
所以(
)()320000434
2x x x x -=-+，整理得()()()()2
20000022210x x x x x ++-=+-=，
解得02x =-或01x =
所以切线的斜率为1-和8，所以(1,8)k ∈-，所以3(3,24)t k =∈-. 四、解答题：本大题共6小题，共70分
17.解：（I ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，………………………………………………………………1分
()1a x a
f x x x -'=-
=
，…………………………………………………………………………………………2分 1
(2)122a f '=-=，解得1a =.…………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）()ln ()1f x x
g x x x
==-
，………………………………………………………………………………4分 2ln 1
()x g x x -'=，…………………………………………………………………………………………………6分 列表：
……………………………………………………………………………………………………………………8分 故e x =是函数()g x 的极小值点，()g x 的极小值为1
(e)1e
g =-，无极大值.…………………………10分 18.解：（I ）()
()2222()x x x x f x f x ---=-=--=-，2分
故函数()f x 为奇函数.…………………………………………………………………………………………3分
2x y =为增函数，2x y -=-为增函数，………………………………………………………………………4分
故函数()f x 为R 上的增函数.………………………………………………………………………………5分 （只要说法有理，判断正确即给分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）()22x
x
f x -=-在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f >=.……………………6分 又(
)
2
2222
222x
x x x ---=+-，………………………………………………………………………………7分
设22x x t --=，则222222x x t -+=+，………………………………………………………………………8分
22222()2x x af x t at -+≥⇒+≥即222
22()x x af x t a t
-+≥⇒+
≥，……………………………………10分
又2
t t
+
≥
t =
时，等号成立，所以a ≤. 故a
的取值范围为(,-∞.…………………………………………………………………………………12分 19.（Ⅰ）解：因为抛物线C 经过点(4,4)P ，所以168p =，故2p =，
所以抛物线C 的方程为：2
4y x =.………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，
由21,4,
x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 所以124y y m +=，124y y =-.…………………………………………………………………………………6分 因为1111y k x =
+，2
221
y k x =+，111x my =+，221x my =+，………………………………………………8分 所以1212121212111111
11x x my my k k y y y y +++++++=+=+=121212
112222
y y m m y y y y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭.………10分 又
121244
y y m
m y y +==--，
所以
1
2
11
0k k +=得证.…………………………………………………………………………………………12分 20.（I ）证明：由题意DA ，DC ，1DD 两两垂直，如图，以D 为坐标原点，以DA 的方向为x 轴的正方向，以1DD 的方向为y 轴的正方向，以1DD 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
故(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，3)F ， 所以(1,2,0)EB =，(2,3)CF =-，
所以21(1)2300CF EB ⋅=⨯+-⨯+=，故BE CF ⊥.…………………………………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知3)EF =，(1,2,0)EB =，(1,2,0)EC =-，
设()111,,n x y z =为平面EFB 的一个法向量，则有0,0,n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111120,
30,x y x y z +=⎧⎪⎨+=⎪
⎩
可取32,1,n ⎛=- ⎝⎭
，…………………………………………………………………………………………7分
设()222,,m x y z =为平面EFC 的一个法向量，则有0,0,m EC m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,30,x y x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪
⎩
可取(2,1,3)m =-，…………………………………………………………………………………………10分 所以6
cos ,4
n m n m n m ⋅〈〉=
=. 所以二面角B EF C --的余弦值为
6
4
……………………………………………………………………12分
21.解：（I
）由题意得22222211,,2a b c
a a
b
c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
……………………………………………………………………………2分
解得：2a =
，b =
c =
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=.……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立222,
1,42
y kx x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消y 并化简整理得()2221840k x kx +-+=，
则有122821k x x k +=+，122
4
21
x x k =+，………………………………………………………………………6分
()2221
64162102
k k k ∆=-+>⇒>
， 又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =--=-++，
由DA DB ⊥得()()1212220x x y y --+=……………………………………………………………………8分
()()2121212(1)80k x x k x x ⇒+-+++=()222
4812(1)
8021
21
k
k k k k ⇒+-++=++ 2430k k ⇒-+=，
解得3k =或1k =.……………………………………………………………………………………………10分 当1k =时，直线l 过点(2,0)D ，与题意不符；
当3k =时，直线l 不过点(2,0)D ，符合题意，故直线l 的方程为32y x =-.…………………………12分 22.（I ）解：由题意0x >，11
()ax f x a x x
+'=+=
，………………………………………………………1分 当0a ≥时，1
()0ax f x x
+'=
>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………………2分 当0a <时，由()0f x '=得1
x a
=-.
当10,x a ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<.
所以函数()f x 在10,a ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………3分 当0a <时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.………………………………4分 （Ⅱ）证明：要证1()e
x
xf x ≥-，只需证e (1ln )0x x x x -+-+≥，即证2
e ln 0x x x x x -+-+≥即可， 设2()e
ln x
h x x x x x -=+-+，0x >.…………………………………………………………………………5分
则()e 2ln x
h x x x -'=-++，
1
()e 20x h x x
-''=++
>，所以函数()e 2ln x h x x x -'=-++在(0,)+∞上单调递增.……………………6分 又e 112e 10e e h -⎛
⎫'=-+-< ⎪⎝⎭
，1(1)20e h '=-+>，
故()e
2ln x
h x x x -'=-++在1e ,1⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的零点0x ，即000e 2ln 0x x x --++=.…………………7分
所以当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()0
200000()e
ln x h x h x x x x x -≥=+-+，
所以只需证()0
200000e ln 0x h x x x x x -=+-+≥即可.………………………………………………………9分
由0
00e
2ln 0x x x --++=，得000e 2ln x x x -=+，
所以()()()00001ln h x x x x =++.
又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可.…………………………………………………………………10分 当00ln 0x x +<时，0
00000ln e e 0x x x x x x --<-⇒<⇒-+<，
所以0
000e
ln 0x x x x --+++<与000e 2ln 0x x x --++=矛盾.
故00ln 0x x +≥，故()0h x ≥，即1
()e
x xf x ≥-
得证.………………………………………………………12分。