【精选试卷】上海控江初级中学数学高二下期末测试卷(含解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13884]如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+
D ．AB DA AC DB +=+
2．(0分)[ID ：13880]直线l ：210mx y m +--=与圆C ：2
2
(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=
D ．2410x y ++=
3．(0分)[ID ：13879]已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为
3
π
，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）
A ．23
B ．23+
C ．72+
D 72-
4．(0分)[ID ：13855]已知sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则cos2α的值为（ ）
A ．45
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
5．(0分)[ID ：13891]已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的周期为π，则下列选项正确的是
A ．函数()f x 的图象关于点π,06
⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π
12
x =-
对称
6．(0分)[ID ：13890]已知π(,π)2
α∈，π1
tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17
-
B ．25
-
C ．15
-
D ．
15
7．(0分)[ID ：13886]已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1
B ．
25
C ．2
5
-
D ．-1
8．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22
f x x =的图像向左平移6π
个单位长度，则平移后
图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(
,0)12
π
B ．(
,0)6
π
C ．(
,0)3
π
D ．(
,0)2
π
9．(0分)[ID ：13869]已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin 02
C
x x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
10．(0分)[ID ：13846]设奇函数()()()()sin 0f x x x ωφωφω=++>在
[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[
)4,5ππ
B ．[]
4,5ππ
C ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
11．(0分)[ID ：13843]已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－
43
B ．－
65
C ．
45
D ．
95
12．(0分)[ID ：13841]已知2sin()
3
,且(,0)2απ
∈-，则tan(2)πα-=
（ ）
A B ． C D ．13．(0分)[ID ：13840]已知4
cos 25
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．
7
25
B ．725-
C ．
2425
D ．2425
-
14．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则
=λ
μ
( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
15．(0分)[ID ：13899]若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．3C ．4
D ．12
二、填空题
16．(0分)[ID ：14006]在ABC 中，已知1
tan 2tan tan A B A
-=，则cos(2)A B -的值为________.
17．(0分)[ID ：13999]已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最
大值时，
a
b
= ______．
18．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，
||=9DA ，则·AC BD =_______．
19．(0分)[ID ：13993]已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足
0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.
20．(0分)[ID ：13985]已知向量a ，b 满足1a =，且()
2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．
21．(0分)[ID ：13971]将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________．
22．(0分)[ID ：13967]在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若
AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．
23．(0分)[ID ：13960]已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，
q ∈Z ）．
定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．
24．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3
()25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于
__________
25．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为
3
π
，则|2|a b -=__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：14113]已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，
2
22sin 2cos 22
B A
a b b c +=+． （1）求B ；
（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 27．(0分)[ID ：14046]如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，
(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03
π
θ<≤
，分别设OAC ABC ∆∆、的面积
为1S 和2S .
（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ； （2）求
12cos sin S S
θθ
+的最大值及取最大值时θ的值． 28．(0分)[ID ：14033]已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为
1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；
（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
29．(0分)[ID ：14031]已知函数(222(,0)4f x x x R πωω⎛⎫
++∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是
2
π． (1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．
30．(0分)[ID：14043]（1）化简求值：
2
2
2cos1
2tan sin
44
x
x x
ππ
-
⎛⎫⎛⎫
-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2
000
cos40sin501
++
+
00
00
sin20sin40
cos20cos40
-
-
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．A 13．B 14．B 15．B
二、填空题
16．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等
17．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取
18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型19．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-
ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平
20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小
21．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言
22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则
23．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；24．【解析】由题意得
25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．
【详解】
DC BC BD
=-，DC AC AD
=-，
∴AC AD BC BD
-=-，
∴AC BD BC AD
+=+．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.
【详解】
由题得
1
210
(21)(1)0,,2
10
1
x x
m x y
y
y
⎧
-==
⎧⎪
-+-=∴∴
⎨⎨
-=
⎩⎪=
⎩
，
所以直线l过定点P
1
1
2
（，）.
当CP⊥l时，弦AB最短.
由题得
211
2,
12
2
CP l
k k
-
==-∴=
-,
所以112,24
m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．B
解析：B 【解析】
不妨设(1,0)a =，13
(,
22
b =，(,)
c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以
22(3)2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆
心，2为半径的圆上，所以2c x =+的最大值为32+．故选B ．
4．A
解析：A 【解析】 ∵
sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11
tan α3tan α12
-==+，.
∴cos2α=222222
cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5
αααααα--==-++ 故选A
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】
函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则 即22T π
πωω=
∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
由对称轴方程：26
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，（）
得：126
x k π
π=
+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．
由对称中心的横坐标：26
x k k Z π
π+=∈，（），
得：1212
x k k Z π
π=
-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由两角和的正切公式得出3
sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55
αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】
1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭
3tan 4
α∴=-，即3
sin cos 4αα=-
由平方关系得出2
23cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解得：43cos ,sin 55αα=-=
341
sin cos 555
αα+=
-=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=3
5-，4
cos 5
α=
，所以
2sin cos αα+=642
555
-+=-，故选C.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23
y x π
=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】
向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，则其对称中心为
(),0122k k Z ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22
C
=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=
1
2
x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，
∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．
点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．A
解析：A 【解析】
f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ）﹣2
cos （ωx+φ）] =2[cos
3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3
π
） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣
3π）=0，∴φ=3
π
+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=
()m k π
ω
-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,
[]1,1n π
ω
∈-，∴
n ωω
ππ
-
≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ω
πωππ
∴≤<⇒≤< 故答案为A.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
11．D
解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，
∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211
tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝9
5.
本题选择D 选项.
点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2
sin
3
，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α
3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3
παα-==-，
因为(,0)2απ∈-
，所以cos 3
α==，
又由sin tan(2)tan cos 5
απααα-=-=-=
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合诱导公式可得：4
sin cos 25
παα⎛⎫=-=
⎪⎝⎭， 则2
247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴2
2,,339λ
λμμ
=== 故选B.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.
【详解】
因为2
2
2
2cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
二、填空题
16．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等 解析：0 【解析】 【分析】
通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1
tan 2tan tan A B A
-
=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1
tan 2=
1tan tan A A A B
=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以
sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0. 【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.
17．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取
解析：1
8
【解析】 【分析】
根据向量模的性质可知当23a b -与4a b +反向时，7a b -取最大值，根据模长的比例关系可得()()
32324a b a b -=-+，整理可求得结果. 【详解】
()()
72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=
当且仅当23a b -与4a b +反向时取等号
又
43
2
23a b
a b
+=
- ()()
32324a b a b ∴-=-+ 整理得：8a b =
18
a b ∴= 本题正确结果：18
【点睛】
本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.
18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型
解析：0 【解析】 【分析】
由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】
因为()()()
······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+
()
()
22
2
2
22211··22
AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--
()
()()
22222222211111
22222
BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()
()222222111
811219490222BC AB AD DC AB BC +
+=--+=--+=. 故答案为0 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.
19．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =
【解析】 【分析】
设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】
解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,
则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,
2MP NP
=⇒()22()x x a y b y
⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为2
4y x =. 【点睛】
本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.
20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒
【解析】 【分析】
先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】
因为1a =，且()
2a a b ⋅-=，所以2
-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223
a b a b a b a b
⋅-==
=-∴=⨯⋅. 【点睛】
求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a b
θ⋅=
⋅；二是坐标公式
cos θ=
；三是几何方法，从图形判断角的大小.
21．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=
【解析】
分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e e
e e x
x
x x y y y --=→=→
==横坐标变为一半
右移个单位
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现
在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.
22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则
解析：
12. 【解析】
分析：先根据三角形法则化AE 为1
2
AB AD +
，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为1
2AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
, 因为,AB AD 不共线，所以1
11=1
+=0=-,+=.2
2
2
λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，
1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，
23．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；
解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】
（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,
(0,5)a b ⊗=．
（2）∵(5,0)a b =⊗，∴5
0mp nq mq np -=⎧⎨
+=⎩
，①又∵5a <，5b <，
∴2222
25
25
m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．
故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-. 24．【解析】由题意得
解析：4
-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=
∈∴=+=-=- 25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
【解析】
【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以2
2
2
|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.
三、解答题 26．
（1）3B π
=；（2）2⎤
⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；
（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B
C b
=求解sin C 的取值范围. 【详解】
（1）已知得2
(1cos )12cos
2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝
⎭
， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，
即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1
cos 2
B =
，解得3B π=．
（2）由余弦定理得22222
2cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，
∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin 2c B C b ⎤
=∈⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，难度一般.
（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；
（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.
27．
(1) 11
sin 22
S θ=，()2sin 1cos S θθ=-；
(2)
12cos sin S S θθ+，此时θ的值为3π.
【解析】
【详解】
试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所
()111
11sin 3sin 222
S θθθ=
⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝11
11sin 11sin sin 22
θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21
sin sin 2sin 1cos 2
S θθθθ=-=-. (2)由(1)知
()
12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛
⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭.
因为03
π
θ<≤, 所以4
4
12
π
π
π
θ-
<-
≤
, 所以sin()sin 2412ππ
θ-
<-≤=
所以
12cos sin S S θθ+的最大值为
1
2
, 此时θ的值为3π. 考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．
28．
（1）2
4y x =;（2）∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-;（3）(2,0)． 【解析】
【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．
（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-， 所以
12
p
=，2p =． ∴抛物线的标准方程为2
4y x =．
（2）设l ：1my x =-，与24y x =联立，得2
440y my --=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y =-， ∴()
()2
12121212113OA OB x x y y m y y m y y ⋅=+=++++=-．
（3）解：假设直线l 过定点，设l ：my x n =+与2
4y x =联立，得2
440y my n -+=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y n =．
由()
()2
2
2
1212414OA OB m y y mn y y n n n ⋅=-=+-++=+，解得2n =-，
∴l ：2my x =-过定点()2,0．
点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数p 的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．
29．
(1) 2ω= (2) 函数f (x )的最大值是2＋
，此时x 的集合为{x |x ＝
16
π +2k π，
k ∈Z}．
【解析】
试题分析析：本题是函数sin()y A x ωϕ=+性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出ω，当函数的解析式确定后，可以令2sin y t =
，
24
t x π
ω=+
，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出24
x π
ω+
为何值时，函数值
()f x 取得的最大值，进而求出x 的值的集合.
试题解析：
(1)∵f (x )＝2sin （24
x π
ω+ ＋2(x ∈R，ω＞0)的最小正周期是
2π，∴
222
ππ
ω=，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝
sin 44x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
＋2. 当4x ＋
4π＝2π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝16π＋2k π(k ∈Z)时，sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，
所以函数f (x )的最大值是22x 的集合为{x |x ＝16π＋2
k π，(k ∈Z)}． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2T π
ω
=
，根据公式求出ω，页有关函数
sin()y A x ωϕ=+的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成sin y A t =与.复合而成的
复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令424
2
x k π
π
π+=+
，求出x 值，同时求出函
数的最大值2.
30．
(1)1，(2)23-【解析】 【分析】
（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；
（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积化简求值．
【详解】
（1）2221
244cos x tan x sin x ππ-⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=224244cos x
sin x cos x cos x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪
⎛⎫⎝⎭- ⎪
⎝⎭
=2244cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=221
222cos x cos x cos x sin x π==⎛⎫- ⎪
⎝⎭
； （2
4050110cos sin ︒+︒+︒
+20402040sin sin cos cos ︒-︒︒
-︒
4050cos sin ︒++()
()
2301023010cos sin sin sin ︒-︒-︒-︒
24040403030sin cos cos cos sin ︒︒
︒+
︒
︒
+
2
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．。