基于牛顿运动定律和伯努利方程的撒克逊碗下沉研究

工业技术
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DOI：10.16660/ki.1674-098X.2011-5640-9607
基于牛顿运动定律和伯努利方程的撒克逊碗
下沉研究①
王澳 史晨曦 王建达
(沈阳航空航天大学航空宇航学院 辽宁沈阳 110000)
摘 要：撒克逊碗是指底部有洞的碗，其构成的撒克逊碗计时系统是一种古老的计时系统，但对该系统的研究甚少。

本文通过牛顿运动定律和伯努利方程进行模型的建立，并通过求解微分方程，得到了撒克逊碗完全下沉时间与洞面积成反比、下沉时间与高度满足三次多项式的结论。

对该系统的理论研究能应用于船舶的下沉，对研究影响船舶下沉时间的因素具有引导意义。

关键词：撒克逊碗 牛顿运动定律 伯努利方程 微分方程
中图分类号：G647.38 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2021)01(c)-0078-04
Research on Saxon Bowl Sinking Based on Newton's Law of
Motion and Bernoulli Equation
WANG Ao SHI Chengxi WANG Jianda
(School of Aeronautics and Astronautics, Shenyang Aerospace University, Shenyang, Liaoning Province,
110000 China)Abstract: The Saxon bowl refers to a bowl with a hole in the bottom. The Saxon bowl timing system it constitutes is an ancient timing system, but there is little research on this system. In this paper, the model is established by Newton's law of motion and Bernoulli equation, and by solving the differential equations, the conclusion that the complete sinking time of the Saxon bowl is inversely proportional to the hole area, and that the sinking time and height satisfy the third-order polynomial. The theoretical study of this system can be applied to the sinking of ships, which has guiding significance for the study of factors affecting the sinking time of ships.
Key Words: Saxon bowl; Newton's Law of Motion; Bernoulli equation; Differential equation
①作者简介:王澳(2001—)，男，本科在读，研究方向为飞行器设计与工程。

一个底部有洞的碗放在水中会下沉，撒克逊人用它来计时，称之为撒克逊碗[1]。

撒克逊碗计时系统包括三个部分：底部有洞的碗、提供浮力的液体和较大的容器。

对撒克逊碗下沉时间的研究能应用于因底板破损而下沉的船舶上，因此理论研究十分重要。

本文就其完全下沉时间与洞的面积的关系、下沉时间与高度的关系展开研究。

1 系统简化
由于碗的形状多样，且不规则，研究时，我们将其简化为圆柱体，底部洞的形状也为圆柱体。

这样简化，非常接近实际，并且能为后续的计算带来方便。

2 模型建立
基于系统简化后的结果，我们建立以下的模型，并对其受力分析：假设碗在下沉中没有倾斜，碗内液面高x ，碗外液面高h 。

x 、h 均为时间t 的函数，并满足x h ≤。

其在下沉过程中受到重力G 、浮力1F 、由于速度产生的压差阻力[2]2F 。

其他参数如表1。

3 模型求解
3.1 碗完全下沉时间与洞的面积的关系
对洞口的水分析，设其位置为y ，质量为m ，密度为
p ，加速度为a ，碗底面两侧压强差为p ∆。

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由压强公式[3]和牛顿运动定律[4]得到其压力F ：
1F p =∆1
1s m a ⋅=⋅ （1）其中：
1m s δ=⋅1
1ρ⋅ （2）
22
d y
a dt = （3）1(p g s ρ∆=⋅⋅⋅1()s h x ⋅⋅−
（4）
将（2）（3）（4）代入（
1）
中：
图1 撒克逊碗计时系统
图2 受力分析2
S H
δ
1
S 碗的底面积
碗的高度
碗的厚度
洞的底面积
表1 模型其他参数
高度/H
cm 碗底半径/R cm
碗厚度/mm
δ碗的质量/M
kg
5
4
1
0.06
表2 固定参数的值
图3 1
01t S −−图线
1/s 1(m-2)
80
21112
()d y
s p s g s h x dt δρρ=⋅⋅⋅
=∆⋅⋅⋅⋅− （5）由连续性方程[5]可得：12dy dx s s dt dt
⋅⋅ （6）
联立（5）（6）可得：
2
1
22
()g s d x
h x s dt δ
⋅⋅−=
⋅ （7）
对碗受力分析（不考虑压差阻力），由牛顿第二运
动定律得：
2212()()d h
Mg g s s h x M dt ρ−⋅⋅−−⋅
（8）联立（7）（8）消去()h x −得：
222122
2
1
()s s s d x
d h
Mg M s dt
dt ρδ⋅−⋅⋅−
⋅
=⋅
（9）
已知
(0)0,|0dx
x dt
==，求解此微分方程[6]得：
21221
1()2s s s Mgt x M h s ρδ⋅−⋅⋅−⋅⋅ （10）
当碗完全下沉时，x h H
==，代入（10）解出完全下
沉时间 和各参数的关系如下
：
0t （11）
1为变量，研究碗完全下沉时间与S 1的关系。

其他参数的值如下表2。

将表2中参数的值代入（11），由MATLAB绘制出拟合后的11t S −−图线如图3。

计算得到拟合后的1S 和t 的相关系数为0.9971，拟
合效果很好。

3.2 碗下沉时间与下沉高度的关系
设水流进入洞的初始速度0=0v ，之后的速度为1v 。

假设机械能守恒，由伯努利方程[7]：
2110011
22
v p v p ρρ⋅⋅+=⋅⋅+ （
12）
图4 求解得到的t h
−图
图5 拟合后的t h −图
(下转114页)
114
规划模型加速计算，使代码运行速率加快，进而提高仿真运行速率。

最后通过对大量实验数据结果进行分析可知，基于强化学习的腿式机器人运动控制与决策，收敛速度快，路径规划具有较高的成功率，在面对复杂多变的外部环境时，可以很好地进行避障运动，进而实现高精度的运动控制与决策。

参考文献
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得：
1
v =
（13））：
112()v dt s d s x ⋅⋅=⋅
（14）
将（13）代入（14）
得：
2
1
s x s ⋅
（15）
设碗内水的质量为m ，对碗和碗内水组成的系统分析，浮力：
2F g h s ρ=⋅⋅⋅ （16）重力：
2()G M s x g ρ=+
（17）由牛顿第二运动定律得：
2222
()()d h
m M M s x g g h s dt ρρ+⋅
=+⋅⋅−⋅⋅⋅ （18）
联立（15）
(18):
222221()()d h
m M M s x g g h s dt s x s ρρ⋅ +⋅=+⋅−⋅⋅⋅ ⋅ （19）
此微分方程组暂无法求出解析解，通过Matlab求出数值解[8]并绘出图线如图4所示。

对此图线利用Matlab进行多项式拟合，得到拟合后图线的如图5。

拟合曲线方程为：321234t p h p h p h p =+++其中：P 1=-0.3913，P 2=6.77，P 3=-3.331，P 4=1.4023.3 结果分析
3.3.1 碗完全下沉时间与洞的面积的关系
由图3可知，当其他参数固定时，完全下沉时间 和 近似成直线关系，所以可以得到：碗完全下沉时间与洞面积近似成反比。

3.3.2 碗下沉时间与下沉高度的关系
下沉时间t 与下沉高度h 满足三次多项式关系。

4 结语
本文利用牛顿运动定律和伯努利方程，对撒克逊碗计时系统建模并求解，得到了撒克逊碗完全下沉时间与底部洞面积的关系、碗下沉时间与高度的关系。

本文的研究在一定程度上为船舶下沉研究提供了理论参考。

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