勾股定理的经典证法
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小 孩 到底 在 干 什 么 ．只 见 一 个 小 男 孩 正 俯
比较 ① ② 二 式 ， 便得０ ２ ＋ ６ ２ ＝ ＝ ｃ ｚ ．
这 一 证 明 由于 用 了梯 形 面 积 公 式 和 三
角 形 面 积公 式 ， 从 而使证明相当简洁． １ ８ ７ ６ 年４ 月１ 日， 伽 菲 尔德 在《 新 英 格兰 教育 日志》
上 发表 了他对 勾 股定 理 的 这一 证 明 ． ５ 年后 ，
着 身 子 用 树 枝 在 地 上 画 着 一 个 直 角 三 角 形， 于是伽菲尔德便问他们在干什么 ， 那个 小 男孩头 也不抬 地说 ： “ 请 问先 生 ， 如果直
角三角形 的两条 直角边分 别为３ 和 ４， 那 么
形 衄牺＝２ Ｓａ ｃ Ａ ，
易 证 △ 日 △Ｃ Ａ （ Ｓ ＡＳ ） ，
的正方 形 和４ 个 直角边 分别 为口 、 ｂ 的 直 于是 ， 伽 菲尔德 不再散 步 ， 立 即 回家 ， 为ｃ 这 两 个 正 方 形 的 面 积 相 潜 心 探 讨 小 男 孩 给他 出 的难 题 ．他 经 过 反 角 三 角 形 拼 成 的 ．
复思 考 与演 算 ， 终 于 弄 清 了其 中 的道 理 ， 并 等 ．
这 种 证 法 潜 藏 着 极 有 价 值 的数 学 思 想 ． 如 图， 有一 直 角三 角形ＡＢ Ｃ， Ｚ ＿ ＡＣ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ，
ＡＣ － ｂ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＢ＝ ｃ， 分 别 ｒ ＸＡＢ、 ＇ ＡＣ、 曰Ｃ为 边
证法如下 ：
左＝ ＋ ＋ ６ ２ ＋ ａ ｂ，
着， 突 然发 现 附近 的一 个 小石 凳 上 ， 有 两 个 小孩正在 热烈地 谈论着 什么 ， 时 而 大 声
又因为 ：
． ｓ 梯形Ａ ： 。 ；Ｓ△ 皿ｌ ＋ ５△ 皿 ＋Ｓ△ ∞ 曰 ａ ｂ ＋ｂ ａ＋ ｃ
２
以
ｃ
＝ Ｔ ２ ａ ｂ ＋ ｃ ２②
．
争论 ， 时而小声探讨 ． 好奇心驱使 下 ， 伽 菲 尔德 循声 向两个小 孩走去 ， 想搞 清楚 两个
４ ２
ｂ
ａ
由图得 等式 ： Ｃ ２ ＋ ４ Ｘ 一 ＝ １ ＿ ａ ｂ ＝ （ ａ ＋ ｂ ） ，
Ｚ
＼
．
７ 口 ６
１
化 简 即得 ： ＋ ６ ２ ＿ ｃ ．
【 欧几里得证法 】 欧 几 里 得 的证 法 并 不 是 很 简 单 ， 但是 ，
通 的老 百姓 ， 也有 尊 贵 的政 要 权贵 ， 甚 至
【 “ 总统” 证法】 ／ ［ ￣ Ｊ ｎ 菲尔德证 法 】
如图，
５…
２ａ ｂ＋ｂｚ
有 国家总统 ， 也 许 是 因 为 勾 股 定 理 既 重 要 又 简单 ， 更 容易 吸引 人 ， 所 以 反 复 被 人 论
证 ．
别 为５ 和７ ， 那 么 这 个 直 角 三 角 形 的斜 边 长 又是多少？” 伽 菲 尔 德 不 假 思 索 地 回答 道 ：
【 毕达 哥 拉 斯 证 法 】
毕达哥拉斯是古希腊数学家 、 哲学家 ，
下 图 中 左边 的 正方 形 是 由１ 个 “ 那 斜 边 的平 方 一 定 等 于 ５ 的平 方 加 上 ７ 的 他 的方 法 为 ： 的正 方 形 和 １ 个 边长 为ｂ 的正 方 形 平方 ． ” 小男 孩又说 ： “ 先生 ， 你 能 说 出 其 中 边 长 为 ０ 个 直 角边 分 别 为０ 、 ｂ ， 斜边 为Ｃ 的 直 的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞 ， 无 法 解 释 以 及 ４ 角 三 角 形 拼 成 ． 右 边 的正 方 形 是 由 １ 个 边 长 了， 心里很不是滋味．
伽菲 尔德 就任美 国第 二十任 总统 ． 后来 ， 人们
为 了纪念他对勾 股定理直观 、 简捷 、 易懂 、 明了
就 把 这 一 证 法 称 为勾 股 定 理 的 “ 总 斜 边长 为多少 呢？”伽菲 尔德答道 ： “ 是５ 的证 明 ， 统 ” 证 法 ， 这 在 数 学 史 上 被 传 为佳 话 ． 呀． ” 小 男 孩 又 问道 ： “ 如果两条 直角边长分
Ｓ 右 ＝ （ １ １ ２ ） × ４ ＋ ｃ ，
。 ． ’
引三 个 正 方 形 ．
Ｇ
｜ ｓ 左＝Ｓ 右，
・
． ．
口 ６ ＋ ｎ ２ ＋ ６ ＋ 口 ＝ ａ ｂ ｘ ４ ＋ ｃ ２ ．
２
化 简得 ｎ ２ ＋ ｂ ２ ＿ ｃ ．
【 弦 图证法 】
赵爽是 三国时期数 学家 ， 弦 图有两种证法 证法 １ ： 如 图， 边长为ｃ 的正 方 形 可 以看
作 是 由４ 个直角边分 别为ａ 、 ｂ， 斜 边为ｃ 的直
角三 角形拼 接形成 的 ， 不 过 中 间 缺 一 个 小
正方形 ．
证明 ： 过点ｃ 作Ｃ Ｎ上Ｄ Ｅ于 Ⅳ， 交Ａ Ｂ于 Ｍ， ￣ Ｊ Ｃ Ｎ＿ Ｊ ＿ ＡＢ ． 连接Ｂ Ｆ 、 ＥＣ ． 易证Ｊ ｓ 正 方 形 Ａ ｃ ∞ ＝ ２ Ｊ ｓ △ 崩 口 ，
Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ ｏ Ｇ Ｓ 簸
ｌ ｌ
勾股定理 的经典证法
杨 秀 琴
勾 股 定理是 几何 学 中 的明珠 ， 千 百 年 给 出 了 简 洁 的证 明方 法 ． 下 面 介 绍 的 是 伽
来， 人 们 对 它 的证 明趋 之 若 鹜 ， 其 中 有 著 菲 尔 德 对 勾 股 定 理 的证 法 ． 名 的数 学家 ， 也有 业余 数 学 爱 好者 ， 有 普
ａ２ ＋
： —
—
２ ＿
～பைடு நூலகம்
，
① 一
【 “ 总统” 证 法 的 由来 】 １ ８ ７ ６ 年一 个 周 末
的傍 晚 ， 在美 国首都 华盛 顿 的郊外 ， 有 一 位 中年 人 正 在 散 步 ， 欣 赏 黄 昏的美 景 ， 他 就 是 当 时 的美 国 俄 亥 俄 州 共 和 党 议 员 ， 后 来 成 为 第 二 十 任 总 统 的伽 菲 尔 德 ． 他 走 着 走
比较 ① ② 二 式 ， 便得０ ２ ＋ ６ ２ ＝ ＝ ｃ ｚ ．
这 一 证 明 由于 用 了梯 形 面 积 公 式 和 三
角 形 面 积公 式 ， 从 而使证明相当简洁． １ ８ ７ ６ 年４ 月１ 日， 伽 菲 尔德 在《 新 英 格兰 教育 日志》
上 发表 了他对 勾 股定 理 的 这一 证 明 ． ５ 年后 ，
着 身 子 用 树 枝 在 地 上 画 着 一 个 直 角 三 角 形， 于是伽菲尔德便问他们在干什么 ， 那个 小 男孩头 也不抬 地说 ： “ 请 问先 生 ， 如果直
角三角形 的两条 直角边分 别为３ 和 ４， 那 么
形 衄牺＝２ Ｓａ ｃ Ａ ，
易 证 △ 日 △Ｃ Ａ （ Ｓ ＡＳ ） ，
的正方 形 和４ 个 直角边 分别 为口 、 ｂ 的 直 于是 ， 伽 菲尔德 不再散 步 ， 立 即 回家 ， 为ｃ 这 两 个 正 方 形 的 面 积 相 潜 心 探 讨 小 男 孩 给他 出 的难 题 ．他 经 过 反 角 三 角 形 拼 成 的 ．
复思 考 与演 算 ， 终 于 弄 清 了其 中 的道 理 ， 并 等 ．
这 种 证 法 潜 藏 着 极 有 价 值 的数 学 思 想 ． 如 图， 有一 直 角三 角形ＡＢ Ｃ， Ｚ ＿ ＡＣ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ，
ＡＣ － ｂ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＢ＝ ｃ， 分 别 ｒ ＸＡＢ、 ＇ ＡＣ、 曰Ｃ为 边
证法如下 ：
左＝ ＋ ＋ ６ ２ ＋ ａ ｂ，
着， 突 然发 现 附近 的一 个 小石 凳 上 ， 有 两 个 小孩正在 热烈地 谈论着 什么 ， 时 而 大 声
又因为 ：
． ｓ 梯形Ａ ： 。 ；Ｓ△ 皿ｌ ＋ ５△ 皿 ＋Ｓ△ ∞ 曰 ａ ｂ ＋ｂ ａ＋ ｃ
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化 简 即得 ： ＋ ６ ２ ＿ ｃ ．
【 欧几里得证法 】 欧 几 里 得 的证 法 并 不 是 很 简 单 ， 但是 ，
通 的老 百姓 ， 也有 尊 贵 的政 要 权贵 ， 甚 至
【 “ 总统” 证法】 ／ ［ ￣ Ｊ ｎ 菲尔德证 法 】
如图，
５…
２ａ ｂ＋ｂｚ
有 国家总统 ， 也 许 是 因 为 勾 股 定 理 既 重 要 又 简单 ， 更 容易 吸引 人 ， 所 以 反 复 被 人 论
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别 为５ 和７ ， 那 么 这 个 直 角 三 角 形 的斜 边 长 又是多少？” 伽 菲 尔 德 不 假 思 索 地 回答 道 ：
【 毕达 哥 拉 斯 证 法 】
毕达哥拉斯是古希腊数学家 、 哲学家 ，
下 图 中 左边 的 正方 形 是 由１ 个 “ 那 斜 边 的平 方 一 定 等 于 ５ 的平 方 加 上 ７ 的 他 的方 法 为 ： 的正 方 形 和 １ 个 边长 为ｂ 的正 方 形 平方 ． ” 小男 孩又说 ： “ 先生 ， 你 能 说 出 其 中 边 长 为 ０ 个 直 角边 分 别 为０ 、 ｂ ， 斜边 为Ｃ 的 直 的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞 ， 无 法 解 释 以 及 ４ 角 三 角 形 拼 成 ． 右 边 的正 方 形 是 由 １ 个 边 长 了， 心里很不是滋味．
伽菲 尔德 就任美 国第 二十任 总统 ． 后来 ， 人们
为 了纪念他对勾 股定理直观 、 简捷 、 易懂 、 明了
就 把 这 一 证 法 称 为勾 股 定 理 的 “ 总 斜 边长 为多少 呢？”伽菲 尔德答道 ： “ 是５ 的证 明 ， 统 ” 证 法 ， 这 在 数 学 史 上 被 传 为佳 话 ． 呀． ” 小 男 孩 又 问道 ： “ 如果两条 直角边长分
Ｓ 右 ＝ （ １ １ ２ ） × ４ ＋ ｃ ，
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２
化 简得 ｎ ２ ＋ ｂ ２ ＿ ｃ ．
【 弦 图证法 】
赵爽是 三国时期数 学家 ， 弦 图有两种证法 证法 １ ： 如 图， 边长为ｃ 的正 方 形 可 以看
作 是 由４ 个直角边分 别为ａ 、 ｂ， 斜 边为ｃ 的直
角三 角形拼 接形成 的 ， 不 过 中 间 缺 一 个 小
正方形 ．
证明 ： 过点ｃ 作Ｃ Ｎ上Ｄ Ｅ于 Ⅳ， 交Ａ Ｂ于 Ｍ， ￣ Ｊ Ｃ Ｎ＿ Ｊ ＿ ＡＢ ． 连接Ｂ Ｆ 、 ＥＣ ． 易证Ｊ ｓ 正 方 形 Ａ ｃ ∞ ＝ ２ Ｊ ｓ △ 崩 口 ，
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勾股定理 的经典证法
杨 秀 琴
勾 股 定理是 几何 学 中 的明珠 ， 千 百 年 给 出 了 简 洁 的证 明方 法 ． 下 面 介 绍 的 是 伽
来， 人 们 对 它 的证 明趋 之 若 鹜 ， 其 中 有 著 菲 尔 德 对 勾 股 定 理 的证 法 ． 名 的数 学家 ， 也有 业余 数 学 爱 好者 ， 有 普
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，
① 一
【 “ 总统” 证 法 的 由来 】 １ ８ ７ ６ 年一 个 周 末
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