平面解析几何 课时提升练47 (2) 精选配套练习

课时提升练(四十七) 直线与圆锥曲线的位
置关系
一、选择题
1．过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A ，B 两点，O
为坐标原点，则OA →·OB →
的值为( )
A ．－12
B ．－1
4 C ．－4 D ．无法确定 【解析】 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx －1
2.
由⎩⎨
⎧
y ＝kx －12，
y ＝－x 2，
得2x 2＋2kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12.
∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝
⎛⎭
⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)x 1x 2－12
k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.
【答案】 B
2．(2014·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|
的最大值为5，则b 的值是( )
A ．1 B. 2 C.32
D. 3
【解析】 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2
a ＝3.所以
b 2＝3，即b ＝ 3.
【答案】 D
3．已知双曲线x 212－y 2
4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33
B ．(－3，3) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－33，33
D ．[－3，3]
【解析】 由题意知，焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3
3x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
【答案】 C
4．过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是( )
A ．3x ＋4y －13＝0
B ．4x ＋3y －13＝0
C ．3x －4y ＋5＝0
D ．3x ＋4y ＋5＝0
【解析】 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，
B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1，
两式相减得
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
4
＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－3
4.
∴直线AB 的方程为y －1＝－3
4(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0. 【答案】 A
5．(2014·湖北高考)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的
两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y
2
sin 2θ
＝1的公共点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．
【答案】 A
6．(2014·四川高考)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.172
8
D.10
【解析】 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.
又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝x ，x ＝ny ＋m ，
得y 2－ny －m ＝0， ∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)．
又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝1
8y 1，
∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋1
8y 1 ＝98y 1＋2y 1
≥2
98y 1·2y 1＝3，
当且仅当y 1＝4
3时，等号成立． 【答案】 B 二、填空题
7．(2013·江西高考)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
【解析】
由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨
⎧
y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，
解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为
A ⎝
⎛⎭⎪⎫
－ 3＋14p 2，－p 2，B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2
3＋14p 2.
由△ABF 为等边三角形，得3
2AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 6
8．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1
|FQ |＝________.
【解析】 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知，|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1
x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立
直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8
＝1
2.
【答案】 1
2
9．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
【解析】 设椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，两个交点分别为M ，N ，由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2
a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，
b 2
a ，∴k MN ＝b
2
ac ，
又直线的斜率为22，∴b 2ac ＝2
2，即2b 2＝2ac ，∴2(a 2－c 2)＝ac ，∴2e 2＋e －2＝0，解得e ＝22或－2，又0＜e ＜1，∴e ＝2
2.
【答案】 2
2 三、解答题 10．(2014·陕西高考)
图8-8-4
已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1
2，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝－1
2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝53
4，求直线l 的方程．
【解】 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3，
c a ＝1
2，
b 2
＝a 2
－c 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝3，
c ＝1，
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |
5，
由d <1得|m |<5
2.(*) ∴|CD |＝21－d 2
＝2
1－45m 2＝25
5－4m 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－12x ＋m ，
x 24＋y 2
3＝1
得x 2－mx ＋m 2－3＝0，
由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝
15
2 4－m 2.
由|AB ||CD |＝53
4得
4－m 2
5－4m 2
＝1，
解得m ＝±3
3，满足(*)．
∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －3
3.
11．(2014·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2
的取值范围；
(3)若点P 满足|P A |＝|PB |，求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2
|OP |2为定值． 【解】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝32
2， ∴a 2
＋b 2
＝9
2.①
∵渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意知b a ＝2
2，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2
＝1. (2)由(1)知P ()－3，0.
设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →
，得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，
解得⎩⎨
⎧
x 0＝－33，
y 0＝0，
∴G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33，0.
设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，
|G A →|2
＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－332＋y 2
1
＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 2
1
＋23 ＝x 2
1＋113
.
又∵x 1∈[－3，3]，∴x 2
1∈[0,3]，
∴113≤x 21＋113≤203，
∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤113，203.
(3)证明：由|P A |＝|PB |，知P 在线段AB 的垂直平分线上， 由椭圆的对称性可知A ，B 关于原点对称．
①若A ，B 在椭圆的短轴顶点处，则点P 在椭圆的长轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1b 2＋1b 2＋2
a 2＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋1b 2＝2.
若A ，B 在椭圆的长轴顶点处，则点P 在椭圆的短轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②当点A ，B ，P 不在椭圆顶点处时，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OP 的方程为y ＝－1
k x ，设A (x 2，y 2)，B (－x 2，－y 2)．
由⎩⎨⎧
y ＝kx ，x 23＋2y 2
3＝1，
解得x 22＝31＋2k 2，y 2
2＝3k 2
1＋2k 2
. 所以|OA |2＝|OB |2＝x 22＋y 2
2＝3(1＋k 2
)1＋2k 2，
用－1
k 代换k ，得|OP |2＝3(1＋k 2
)2＋k 2
.
∴1|OA |2＋1|OB |2＋2
|OP |2＝1＋2k 23(1＋k 2)＋1＋2k 23(1＋k 2)＋2(2＋k 2)3(1＋k 2)＝2.
综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2
|OP |2为定值2.
12．(2014·湖北高考)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .
(1)求轨迹C 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．
【解】 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．
故点M 的轨迹C 的方程为y 2
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，0，x ＜0.
(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y －1＝k (x ＋2)，
y 2＝4x ，
可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1)
①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1
4.
故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(*2) 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则
由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .(*3)
(ⅰ)若⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＜0，x 0＜0，由(*2)(*3)解得k ＜－1或k ＞12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．
(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0，x 0≥0，由(*2)(*3)解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0.
即当k ∈⎩
⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．
当k ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．
(ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0，x 0＜0，由②③解得－1＜k ＜－12或0＜k ＜12. 即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。