四川省成都市树德实验中学高二数学理测试题含解析

四川省成都市树德实验中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如右图，是一程序框图，则输出结果为( )
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
2. 的展开式中的系数是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
3. 已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的
是: （）
A．B．C．D．
参考答案：B
略
4. 设S n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）（n∈N*），则S n等于( )
A．n B．﹣n C．（﹣1）n n D．（﹣1）n﹣1n
参考答案：
D
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用n=1，2，3验证即可得到选项．
【解答】解：当n=1时，选项BC不成立；当n=2时，选项A不成立，
故选：D．
【点评】本题考查数列求和，选择题的解题，灵活应用解题方法，是解题的关键．
5. 已知两个正实数x，y满足+=1，并且x+2y≥m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）参考答案：
B
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质可得x+2y的最小值，x+2y≥m2﹣2m恒成
立?，即可得出．
解答：解：∵两个正实数x，y满足+=1，
∴x+2y=（x+2y）=4+≥4+2=8，当且仅当x=2y=4时取等号．
∵x+2y≥m2﹣2m恒成立，
∴，
∴m2﹣2m≤8，
解得﹣2≤m≤4．
∴实数m的取值范围是[﹣2，4]．
故选：B．
点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．
6.
参考答案：
B
7. 设函数，则（）
A. 为的极大值点
B.为的极小值点
C. 为的极大值点
D. 为的极小值点[学
参考答案：
D
8. 已知集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）
A．[﹣2，1） B．（1，2] C．[﹣2，﹣1）D．（﹣1，2]
参考答案：
A
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（3﹣x）＜0}
={x|（x﹣1）（x﹣3）＞0}
={x|＜1或x＞3}，
B={x|﹣2≤x≤2}，
则A∩B={x|﹣2≤x＜1}=[﹣2，1）．
故选：A．
9. 下面命题中，(1)如果，则a>b；(2)如果a>b，c<d，那么a-c>b-d(3)如果a>b，那么
a n>
b n()(4)如果a>b，那么ac2>bc2．正确命题的个数是
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
参考答案：
C 10. 已知，则展开式中，项的系数为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
，，因此
，项系数为，选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是___________.
参考答案：
略
12. 数列{a n}满足a1=2，且a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则数列的前10
项和为
．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】由a1=2，且a n+1﹣a n=2n，利用“累加求和”方法可得a n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=2，且a n+1﹣a n=2n，
∴n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n，当n=1时也成立，
∴a n=2n．
∴=．
∴数列的前10项和==．
故答案为：．
【点评】本题考查了“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
▲．
参考答案：
14. 若为圆内，则的取值范围是。

参考答案：
15. 二次函数的二次项系数为正,且对于任意实数恒有,若
,则的取值范围是___________.
参考答案：
（-2，1）
16. 若复数z满足iz=1（其中i为虚数单位），则|z|= _________ ．
参考答案：
1
17. 已知函数，对于下列命题：
①函数的最小值是—1；
②函数在R上是单调函数；
③若在上恒成立，则a的取值范围是；
④对任意，恒有
参考答案：①③④
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知是公差为2的等差数列，且a3 +1是a1+1与a7+1的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）令
参考答案：
(1)解：∵{a n}是公差为2的等差数列，∴a3 = a1 + 4，a7 = a1 + 12 2分
又a3 + 1是a1 + 1与a7 + 1的等比中项
∴(a3 + 1)2 = (a1 + 1)(a7 + 1)，即(a1 + 5)2 = (a1 + 1)(a1 + 13) 4分
解得：a1 = 3，∴a n = 2n + 1 6分
(2)解：
8分
两式相减得： 10分
∴ 12分
19. 已知椭圆C的方程为：，且平行四边形OMAN的三个顶点M，A，N都在椭圆C上，O 为坐标原点．
（1）当弦MN的中点为时，求直线MN的方程；
（2）证明：平行四边形OMAN的面积为定值．
参考答案：
（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据中点可得，利用点差法可得斜率，从而可得方程；
（2）设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，求出平行四边形的面积表达式，得出定值. 【详解】（1）的中点坐标为，
设，∴，
∴，两式相减可得，
即，∴，
∴直线的方程为，即；
证明（2）：当直线斜率不存在时，平行四边形为菱形，易得
设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，
将其代入得，
即
又，
∴，
∵四边形为平行四边形. ∴
∴点坐标为
∵点在椭圆上，∴，整理得
∴
∵点到直线的距离为，
∴.
【点睛】本题主要考查直线方程的求解和椭圆中的定值问题，直线方程求解时，主要有待定系数法和点差法，点差法主要适用于已知弦中点求解方程的类型.椭圆的定值问题一般求解方法是：先求解目标的表达式，结合其它条件把目标式中未知量转化为一个，一般都可以消去参数得到定值.
20. （本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b－2a）cosC＋c cosB＝0．
（1）求C；
（2）若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．
参考答案：
（1）原式可化为：………2分
即
………3分
………5分
（2）………7分
………8分
………10分
21. 已知数列{a n}中，，，．设．
（1）证明：数列{b n}是等比数列；
（2）设，求数列{c n}的前n项的和S n．
参考答案：
(1)证明见解析；(2).
试题分析：⑴由条件得即可证明数列是等比数列(2)由(1)得
代入求得利用裂项求和求出数列的前项的和
解析：（1）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以
.
22. 已知函数
（1）当时，求证：；
（2）若时，恒成立，求整数k的最大值.
参考答案：
（1）详见解析；（2）2.
【分析】
（1）构造函数，通过求导可知当，在上单调递增，可得，进而证得结论；（2）构造函数，将问题变为；求导后分别在和两种情况下讨论的单调性，从而得到最值，根据最值大于零的讨论可求得整数的最大值.
【详解】（1）令
当时，在上单调递增
，即在上恒成立
当时，
（2）令
①当时，，即在上单调递增
，即在上恒成立
②当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
设，则
当时，在上单调递减
，，
则当时，，不满足题意
当时，，此时在上恒成立
整数最大值为2
综上所述：整数最大值为2
【点睛】本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解.解题关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，通过对函数最值的讨论可证明不等式或求解出参数的取值范围.。