必做一次函数-反比例函数与几何综合

一次函数与几何综合
【例1】
已知：如图，直线y =+x 轴交于点A
，与直线y =相交于点P ．
（1）求点P 的坐标．
（2）请判断OPA ∆的形状并说明理由． （3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着 O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 与点O 、
A 重合）
，过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与OPA ∆重叠部分的面积为S ．求：
①S 与t 之间的函数关系式．
②当t 为何值时，S 最大，并求S 的最大值．
【例2】 如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A 的坐标为()60-，
. 点,P x y （）是第二象限内的直线上的一个动点。

（1）求k 值；
（2）当点P 运动过程中，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为
27
8
，并说明理由
【例3】 在平面直角坐标系中，直线1
62
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，
⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；
⑵ 直线y x =与直线1
62
y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运
动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.
【例4】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC 的解析式为y =交y 轴于点A ．
（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；
（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线
AC上的点'B处时，求α的值；
（3）在（2）的条件下，判断点'B是否在过点B的抛物线23
y mx x
=+上，并说明理由．
图2
【例5】在平面直角坐标系中，直线
1
6
2
y x
=-+与x轴、y轴分别交于B、C两点，
⑴直接写出B、C两点的坐标；
⑵直线y x
=与直线
1
6
2
y x
=-+交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP t=）过点P作PQ x
∥轴交直线BC于点Q，①若点P在线段OA上运动时（如图），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之
间的函数关系式，并求出S的最大值；②若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时
间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与x轴相切.
补充：求|x+y|+|x-y|=5图像围成的面积
反比例函数与几何综合
【例1】 如图所示，()()111222P x y P x y ，，
，，……，()n n n P
x y ，在函数()9
0y x x
=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n
n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．
【例2】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x
轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k
y x
=
(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．
⑴求B 点的坐标和k 的值；
⑵当9
2
S =时，求P 点坐标；
⑶写出S 关于m 的函数关系式．
【例3】 两个反比例函数1k y x =
和()2120k
y k k x
=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P
在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x
=的图象于点A ，
PD y ⊥轴于点D ，交2k
y x
=的图象于点B ．
⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值；
⑵当23PA PC =时，求
DB BP
的值； ⑶若点P 的坐标为()52，
，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=． k 2x
①求1k 的值；
②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
【例4】 如图，点A 、B 在反比例函数k
y x
=
(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．
【例5】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)
k
y k x
=>的图象与AC 边交于点E ．
（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例6】 如图，点()1A m m +，
，()31B m m +-，都在反比例函数k
y x
=的图象上． （1）求m k ，
的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，
，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．
【例7】 如图，已知反比例函数12
y x
=
的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，
在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。

【例8】 反比例函数2k
y x
=
和一次函数21y x =-，其中一次函数图像经过()a b ，，()1a b k ++，两点． （1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两函数的交点A 的坐标．在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
【例9】 如图，已知反比例函数1
2k y x
=
的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，
两点，()1122A n B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例10】 将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()1
0y x x
=
>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=_____________．
【例11】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x
=
<′
的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，
，点B 的横坐标为4-．
（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积．
【例12】 如图甲，点（１，２）在函数k
y x
=
（0x >）的图象上，矩形ＡＢＣＤ的边ＢＣ在x 轴上，点Ｅ是对角线ＢＤ的中点，函数k
y x
=
（0x >）的图象又经过点Ａ、Ｅ，点Ｅ的横坐标为m 。

（１）求k 的值；
（２）用含m 的代数式表示Ｂ、Ｄ两点的坐标；
（３）当45ABD ∠=时，求直线ＢＤ的解析式；
（４）在（３）的条件下，延长ＤＡ交y 轴于点Ｆ，连接ＦＣ。

若在ＡＢ与ＣＤ之间的这段双曲线上有一动点Ｐ，过点Ｐ作PG y ⊥轴于点Ｇ，交线段ＦＣ于点Ｍ，过点Ｐ作PH x ⊥轴于点Ｈ，交线段ＦＣ于点Ｎ（如图乙），问
CM FN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由。

（图甲） （图乙）
【例13】 已知函数k
y x
=
的图象上有一点(),P m n ，且,m n 是关于x 的方程2244680x ax a a -+--=的两个实数根，其中a 是使方程有实数根的最小整数，求函数k
y x
=的解析式。

【例14】 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教
师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如下图所示（其中AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【例15】 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”
的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数x
y 1
=
的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB =
3
1
∠AOB ． （1）帕普斯的方法究竟是如何证明的呢？请写出证明过程 （2）你能三等分一个钝角吗？（用文字简要说明）
【例16】 如图，已知Rt ABC ∆的顶点A 是一次函数y x m =+与反比例函数m
y x
=
的图像在第一象限内的交点，且3AOB S ∆=．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由． （2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE x ⊥轴于E ，那么ODE ∆的面积与AOB ∆的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断AOD ∆为何特殊三角形，并证明你的结论．
【例17】 如图所示，设反比例函数1
y x
=
的两支为12C C ，，正三角形PQR 三个顶点位于此反比例函数的图象上．
（1）求证：P Q R ，
，不能都在反比例函数的同一支上． （2）设()1P -，
-1在2C 上，Q R 、在1C 上，求顶点Q R ，的坐标．
y
习题
已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点
C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式。

如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为12345，
，，，．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =，()1y a x =+，()2y a x =+相交，其中0a >，则图中阴影部分的面积是_________．
x
x
如图，在直角梯形ABCD 中，45C ∠=︒，上底3AD =，下底5BC =，P 是CD 边形ABPD 的面积用y 表示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，求点P 的位置．
P
D
C
B
A
如图，P 是函数1
2y x
=
(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F .求AF BE ⋅的值.
已知直线1l 经过点10A -（，）与点23B （，），另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴交于点()0P m ，
. （1）求直线1l 的解析式。

（2）若APB ∆的面积为3，求m 的值。

在平面直角坐标系中，CA x ⊥轴于点10A （，），BD x ⊥轴于点()30B ，
,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点F E ，，且解析式3y kx =+，4ABCD S =四边形，求直线CD 的解析式。

如图，在平面直角坐标系中，点(),P x y 是第一象限直线6y x =-+上的点，点()5,0A ，O 是坐标原点，PAO ∆的面积为s ，求s 与x 的函数关系式
.
正比例函数y kx =(0k >)与反比例函数1
y x
=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB x ⊥轴于B ，连结BC ，若ABC
∆的面积为S ，求S ．
已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A
的坐标为()
3-，，点B 的坐标为()60-，．
（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；
（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A
恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；
（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）．当α=30时
点B 恰好落在反比例函数k
y x
=的图像上，求k 的值。