赤峰二中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年内蒙古赤峰二中高二(下）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．某地区有300家商店,其中大型商店有30家，中型商店有75家,小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（)
A．2 B．3 C．5 D．13
2．某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）
A．A•C B．A•C
C．A•C D．2A
3．抽查10件产品,设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）
A．至多有2件次品B．至多有1件次品
C．至多有2件正品D．至多有1件正品
4．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
5．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的S的值等于
（）
A．18 B．20 C．21 D．40
6．展开式的第6项系数最大,则其常数项为（）A．120 B．252 C．210 D．45
7．某教育机构随机某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是()
A．B．C．
D．
8．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示,甲、乙的平均数分别为为、,方差分别为s甲2，s乙2，则( ）
A．＞，s甲2＞s乙2B．＞,s甲2＜s乙2
C．＜,s甲2＞s乙2D．＜,s甲2＜s乙2
9．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾,乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ）
A．34种B．48种C．96种D．144种
10．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）
A．B．C．D．
11．已知x与y之间的一组数据:
x0123
y m35。

57
已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0。

85，则m的值为（）
A．1 B．0。

85 C．0。

7 D．0.5
12．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（)
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分．)
13．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．
14．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．
15．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木,木克土，土克水，水克火，火克金．"将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．
16．已知（1﹣)•（1+x)5的展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0，则r= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．(10分）已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin(θ+)=，将C1的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．
（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点P为曲线C3上的任意一点,Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ｜的最小值,并求此时的P的坐标．
18．（12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y(单位:千元）的数据如表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y2。

93。

33。

6 4.4 4.85。

25。

9
（1）设y关于t的线性回归方程为y=bt+a,求b，a的值；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．(参考公式：b=，a=﹣b）
19．（12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X（单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量,T(单位：元）为下个月所缴纳的电费．（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2）将T表示为X的函数；
（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费T∈［37.5，115）的概率．
20．(12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出2个球．在摸出的4个球中，若都是红球,则获一等奖；若只有3个红球，则获二等奖；若只有2个红球，则获三等奖；若只有1个红球，则获四等奖；若没有红球，则不获奖．
(1）求顾客抽奖1次能获一等奖的概率；
(2）求顾客抽奖1次能获二等奖的概率
（3）求顾客抽奖1次能获奖的概率．
21．(12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在,求线段AS的长;若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线L交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有｜FA|=｜FD|,当点A的横坐标为3时,△ADF 为正三角形．
（1）求C的方程
(2）若直线L1平行L，且L1和C有且只有一个公共点E，证明直线
AE恒过定点 求△ABE的面积最小值．
2016—2017学年内蒙古赤峰二中高二（下）第一次月考数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）
A．2 B．3 C．5 D．13
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】先计算大型商店、中型商店、小型商店的层次比，再计算中型商店需抽取的数量即可．
【解答】解：各层次之比为：30：75:195=2：5：13，所抽取的中型商店数是，
故选C
【点评】本题考查分层抽样，属基本题．
2．某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级,且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（)
A．A•C B．A•C
C．A•C D．2A
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】首先将4名学生均分成两组，选择完成以后要除以2，再从6个班级中选出2个班进行排列,最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数．
【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题
首先将4名学生均分成两组方法数为C42，
再分配给6个班级中的2个分配方法数为A62，
∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为A62C42，
故选：B．
【点评】本题考查的是平均分组问题，解题的关键是在平均分组时，选择完成以后要除以2，即去掉重复的部分，本题是一个基础题．
3．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）
A．至多有2件次品B．至多有1件次品
C．至多有2件正品D．至多有1件正品
【考点】C4：互斥事件与对立事件．
【分析】根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n ﹣1个，由事件A：“至少有两件次品"，我们易得结果．
【解答】解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个
又∵事件A：“至少有两件次品”，
∴事件A的对立事件为：
至多有一件次品．
故选B
【点评】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定,集合的补集来进行求解．
4．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】利用定积分公式，求出阴影部分的面积，代入几何概型概率计算公式,可得答案．
【解答】解：阴影部分的面积S=2×+=1+2ln2，
边长为2的正方形的面积为:4，
故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P=，故选：A
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中利用定积分公式，求出阴影部分的面积，是解答的关键，难度中档．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）
A．18 B．20 C．21 D．40
【考点】E7：循环结构．
【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．
【解答】解:由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，
∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．
∴输出S=20．
故选：B．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
6．展开式的第6项系数最大，则其常数项为（) A．120 B．252 C．210 D．45
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，得到项的系数与二项式系数相同；据展开式的中间项的二项式系数最大,列出方程求出n,
在通项中，令x的指数为0求出常数项．
【解答】解:展开式的通项为
所以项的系数是二项式系数C2n r
据展开式中间项的二项式系数最大
又中间项是第n+1项
所以n+1=6解得n=5
所以展开式的通项为
令5﹣=0解得r=6
所以常数项为C106=210
故选C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题;考查二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大．
7．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．
【解答】解：由频率分布直方图可知：
[5,10）的频数为20×0。

01×5=1个，排除B，
［25，30）频数为20×0.03×5=3个，排除C，D，
则对应的茎叶图为A,
故选:A．
【点评】本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础．
8．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2,s乙2，则（）
A．＞，s甲2＞s乙2B．＞，s甲2＜s乙2
C．＜，s甲2＞s乙2D．＜，s甲2＜s乙2
【考点】BC：极差、方差与标准差;BA:茎叶图．
【分析】由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方，甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，由此能求出结果．
【解答】解：∵某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，
由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方,
甲的成绩较分散,乙的成绩相对集中，
∴＜，s甲2＞s乙2．
故选：C．
【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．
9．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（)
A．34种B．48种C．96种D．144种
【考点】D3:计数原理的应用．
【分析】先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起,看做一个复
合元素，和剩下的3人全排即可．
【解答】解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起,看做一个复合元素，和剩下的3人全排,故有=96种，
故选:C．
【点评】本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，属于基础题．
10．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是( ）
A．B．C．D．
【考点】C7：等可能事件的概率；D5:组合及组合数公式．
【分析】欲求至少两人上了同一车厢的概率，可考虑它的对立事件，三人在不同的车厢的事件，先算出三人在不同的车厢的概率，最后用1减即得．
【解答】解：三人上10节车厢的情况种数是10×10×10=1000,
三人在不同的车厢的情况种数是：A103=10×9×8,
∴至少两人上了同一车厢的概率=
故选B．
【点评】题考查的是等可能事件的概率的求法．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
11．已知x与y之间的一组数据：
x0123
y m35。

57
已求得关于y与x的线性回归方程为=2。

1x+0。

85，则m的值为( )
A．1 B．0。

85 C．0.7 D．0.5
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．
【解答】解：∵==，=，
∴这组数据的样本中心点是（，），
∵关于y与x的线性回归方程=2。

1x+0.85,
∴=2。

1×+0。

85，解得m=0。

5，
∴m的值为0。

5．
故选：D．
【点评】本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题．
12．考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ）
A．B．C．D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古
典概型的概率公式求解．
【解答】解:甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,
共有C62=15条,甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法,
因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，
这是一个古典概型，所以所求概率为=，
故选D．
【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．)
13．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．
【考点】CF:几何概型．
【分析】由题意，本题属于几何概型的概率求法，求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S=2×2=4，
不等式x+y≤对应的区域如图：
对应三角形OAB,
当x=0时，y=，当y=0时，x=，
即A(0，），B(,0）,
则△AOB的面积为=1,
则所取的点恰好满足x+y≤的概率P=；
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的图形的面积是解决本题的关键．
14．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率．
【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．
在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，
基本事件总数n=，
2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，
∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===．
故答案为:．
【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
15．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土，土克水,水克火,火克金．"将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10 种（结果用数值表示）．
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素:相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数
【解答】解:由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，
则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水，
第三步只能排上木,第四步只能排上火，第五步只能排上土,
故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=10
故答案为10
【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数,本题较抽象，计数时要考虑周详,本题以实际问题为背景,有着
实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势
16．已知（1﹣）•（1+x)5的展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0,则r= 2 ．
【考点】DB:二项式系数的性质．
【分析】根据(1﹣)•(1+x）5的展开式中各项系数的特点，利用x r 的系数为0，求出r的值．
【解答】解：∵（1﹣)•（1+x)5=(1﹣）•（1+x+x2+x3+x4+x5），其展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0，
即x2﹣•x3=0，
∴r=2．
故答案为:2．
【点评】本题考查了二项式展开式各项系数特点的应用问题，是基础题目．
三、解答题（共6小题，满分70分)
17．（10分）（2014•呼伦贝尔二模）已知曲线C1：（α为参数）,曲线C2：ρsin（θ+）=,将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．
(Ⅰ)求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ)若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点,求线段｜PQ｜的最小值，并求此时的P的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ)通过变换求出曲线C3的参数方程然后求解它的普通
方程，利用极坐标与直角坐标的关系，直接求解曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，线段|PQ|的最小值，转化为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可并求此时的P的坐标．
【解答】（本题满分10分)
解：(Ⅰ）曲线C1：（α为参数），将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．，∴曲线C3：x2+y2=1,
曲线C2：ρsin（θ+）=，即ρsinθ+ρcosθ=，
∴曲线C2：x+y=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II)设P（cosα，sinα），则线段｜PQ｜的最小值为点P到直线x+y=2的距离．
转化为圆的想到直线的距离减去半径,
∴，
直线x+y=2的斜率为﹣1,所以QP的斜率为1,P在x2+y2=1上，
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
【点评】本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用点到直线的距离公式的应用,考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）（2015秋•高安市校级期末）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y 2.9 3.33。

6 4.44。

8 5.25。

9
（1）设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，求b,a的值；
(2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．
（参考公式：b=，a=﹣b)
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把x=10代入回归方程计算估计值．
【解答】解:(1）∵,
∴，
；
（2）由（1)知y关于t的回归方程为y=0.5t+2。

3．
当t=10时，y=0。

5×10+2.3=7.3（千元），
答:预计到2016年，该区人均纯收入约7300元左右．
【点评】本题考查了线性回归方程的求解和数值估计,属于基础题．
19．(12分）（2017春•红山区校级月考)一户居民根据以往的月用电量情况,绘制了月用电量的频率分布直方图(月用电量都在25度到325度之间）如图所示,将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度)，则每度电价0。

5元．若每月的用电量超过200度,则超过的部分每度电价0。

6元．记X（单位：度，25≤X≤325)为该用户下个月的用电量，T（单位:元）为下
个月所缴纳的电费．
（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)将T表示为X的函数；
（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费T∈[37。

5，115）的概率．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由频率分布直方图能估计该用户的月用电量的平均值．
（2)当25≤X≤200时,T=0.5X，当200＜X≤325时,T=200×0.5+（X ﹣200）×0.6=100+0。

6（X﹣200），由此能求出结果．
(3）T∈[37。

5，115］，从而X∈[75，225］，由此能求出结果．【解答】解：(1）由频率分布直方图估计该用户的月用电量的平均值为：
=50×0.12+100×0。

18+150×0。

3+200×0。

22+250×0。

12+300×0.06=161（度）．
(2）每月用电量在200度以内(含200度），则每度电价0.5元．
若每月的用电量超过200度,则超过的部分每度电价0.6元．
记X(单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量，T(单位：
元）为下个月所缴纳的电费．
∴当25≤X≤200时，T=0。

5X，
当200＜X≤325时，T=200×0.5+(X﹣200）×0。

6=100+0.6(X﹣200），∴T=．
（3）T∈［37.5，115]，∴X∈[75，225],
∴P（T∈［37.5，115)）=P（X∈[75。

225））
=（0。

0036+0.0060+0.0044）×50=0。

7．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
20．（12分）（2017春•红山区校级月考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出2个球．在摸出的4个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有3个红球，则获二等奖；若只有2个红球，则获三等奖；若只有1个红球,则获四等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获一等奖的概率；
（2)求顾客抽奖1次能获二等奖的概率
(3）求顾客抽奖1次能获奖的概率．
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）利用等可能事件概率计算公式能求出顾客抽奖1次能获一等奖的概率．
(2）利用互斥事件概率加法公式能求出顾客抽奖1次能获二等奖的
概率．
(3）利用等可能事件概率计算公式能求出顾客抽奖1次能获奖的概率．
【解答】解:（1）顾客抽奖1次能获一等奖的概率：
=．
（2）顾客抽奖1次能获二等奖的概率:
P2===．
(3)顾客抽奖1次能获奖的概率：
P3==．
【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．
21．（12分)（2012•亭湖区校级三模）如图,四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1，E为BC的中点，
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长;若不存在，请说明理由．
【考点】LW:直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．
【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos ＜＞的值，再取绝对值,即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ)．由ES⊥平面AMN可得，解得λ 的值，
可得的坐标以及｜｜的值，从而得出结论．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴,
建立空间坐标系．
则有题意可得D(0,0，0)、A（1,0，0)、B（1，1，0）、M（0，0，1）、
N(1，1,1）、E（，1，0）．∴=(﹣,0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．
假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），
可设=λ•=（0,λ，λ）．
又=（，﹣1，0)，=+=（，λ﹣1,λ），
由ES⊥平面AMN可得,即,解得λ=．
此时，=（0，，），｜｜=，故当｜|=时，ES⊥平面AMN．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．
22．（12分）（2017春•红山区校级月考）已知抛物线C：y2=2px(p ＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线L 交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D，且有|FA｜=｜FD｜,当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程
（2）若直线L1平行L,且L1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE恒过定点 求△ABE的面积最小值．
【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
【分析】(1）根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质，求出的p值;
（2）设出点A的坐标，求出直线AB的方程,利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方
程，将方程化为点斜式，可求出定点；利用弦长公式求出弦AB的长度,再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式,再利用基本不等式求最小值．
【解答】解：（1)当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
A（3，），F(，0），
∴｜FA|=｜FD|=3+．
∵△ADF为正三角形，
∴｜FG|=|FD｜=+．
又∵｜FG｜=｜OG|=|OF｜=3﹣，
∴3﹣=+，
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
当D在焦点F的左侧时,｜FA|=|FD|=3+
又｜FD|=2｜FG｜=2（﹣3）=p﹣6，
∵△ADF为正三角形，
∴3+=p﹣6,解得p=18,
∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴,不成立，舍．
∴C的方程为y2=4x．
（2)证明：设A（x1,y1），|FD｜=|AF｜=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴k AD=﹣．
由直线l1∥l可设直线l1方程为y=﹣x+m,
联立方程，消去x得y1y2+8y﹣8m=0 ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，
这时方程①的解为y=2m，代入y=﹣x+m得x=m2，∴E(m2，2m）．点A的坐标可化为（，﹣），直线AE方程为y﹣2m=（x
﹣m2），
即y=（x﹣1），
∴直线AE过定点（1,0）;
直线AB的方程为y﹣y1=﹣（x﹣），即x=﹣y++2．
联立方程，消去x得，
∴y1+y2=﹣，
∴｜AB|=｜y1﹣y2|=||，
点E的坐标为E（，﹣)，点E到直线AB的距离为：d=,
∴△ABE的面积S=|AB|d=2|+|3≥16,
当且仅当y1=±2时等号成立,
∴△ABE的面积最小值为16．。