2010年高考数学一轮复习精品学案人教版a版空间中的垂直关系

2010年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版)
空间中的垂直关系
一.【课标要求】
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
♦一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

♦一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
♦两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二.【命题走向】
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和
正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求
进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展
的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2010年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：
(1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；
(2)在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

(3)解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点
三.【要点精讲】
1 .线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直•
PO _ ： ,0 1
推理模式：PA^ ：•二A = a _ AO。

a 二：J a _ AP
注意：⑴三垂线指PA PO AO都垂直a内的直线a.其实质是：斜线和平面内一条直
线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

2. 线面垂直
定义：如果一条直线I和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直
线都垂直，我们就说直线I和平面a互相垂直.其中直线I叫做平面的垂线，平
面a叫做直线I的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。

直线I与平面a垂直记
作：I丄a。

-
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相
交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面 ，那么这两条直线平行。

3. 面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直 =面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直=线面垂直）若两个平面互相垂直， 那么在一个平
面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

四. 【典例解析】
题型1线线垂直问题
例仁如图1所示，已知正方体 ABCD — A 1B 1C 1D I 中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为AQ I , A 1B 1, BC , CD, DA , DE , CL 的中点，求证： EF ±GF 。

证明：如图2,作GQ 丄B 1C 1于Q ,连接FQ,贝U GQ 丄平面A 1B 1C 1D 1，且Q 为B 1C 1的中 点。

在正方形 A 1B 1C 1D 1中，由E 、F 、Q 分别为A 1D 1、A 1B 1、B 1C 1的中点可证明 EF 丄FQ,由 三垂线定理得EF 丄GF 。

点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考 查、论证思想。

例2 . （2006全国H, 19）如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C I 中，AB = BC , D 、E 分别为BBi 、AG 的中点，证明：ED 为异面直线BB 与AG 的公垂线。

1
证明：设 O 为AC 中点，连接 EO, BO ,贝y EO 12C 1C ,又Gc Z B 1B ,所 以EO f DB, EOBD 为平行四边形，ED// 0B 。

•/ AB = BC,「. B0丄 AC,
又平面ABC 丄平面ACCA 1, B0 面ABC,故B0丄平面ACCA 1, ••• ED 丄平面 AC （C A 1 , BD 丄 AG , ED 丄 CC , _ ••• ED 丄BB , ED 为异面直线 AG 与BB i 的公垂线•
点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻 辑推理增强。

题型2:线面垂直问题
例3. （1） （2006北京文，17）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱 柱，求证：BD 丄平面 ACCA 1。

-
B 1 D
B
1
(2) (2006天津文，i9)如图，在五面体ABCDE冲，点0是矩形ABCD的对角线的交
1
点，面CDE是等边三角形，棱EF// — BC。

2
(I)证明F0//平面CDE;;
(II)设BC =洛CD,证明E0_平面。

证明：(i)v ABCD-A i B i C i D i是正四棱柱，
••• CC 丄平面ADCD, _
••• BD丄CG
■/ ABCD是正方形
• BD 丄AC
又••• AC, CCu 平面ACGA i,_
且AC n CC i=C,_
• BD 丄平面ACC i A i。

(2)证明：
(I)取CD中点M，连结OM。

i i
在矩形ABCD 中，OM / —BC,又EF/ —BC,
=2 =2
则EF/OM .连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形。

FO// EM.
又；FO U平面CDE,且EM u平面CDE .
.FO// 平面CDE=
(II)连结FM。

由(I)和已知条件，在等边CDE中，CM二DM , EM _ CD
且EM 3CD J B C =EF. F E
2 2
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO—FM。

：CD _0M ,CD _ EM , CD _ 平面EOM,从而CD _ EO. A
而FM "CD =M ,所以EO _平面CDF.
点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力B
和推理论证能力.
例4•如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90° , AA i
= 2 , D是A I B I中点.(1)求证C i D丄平面A i B ; (2)当点F在BB i上什么位置时，会使得AB i丄平面GDF ?并证明你的结论。

分析：(〔)由于GD所在平面A i B i C i垂直平面A i B，只要证明CiD垂直交线A i B i，由直线与平面垂直判定定理可得CiD丄平面A i B。

(2)由(i)得C i D丄AB i，只要过D作AB i的垂线，它与BBi 的交点即
D -
・
・
<
・
・
『
卜
扌
A
■
-
・・・・・・・
为所求的F点位置。

(1)证明：如图，•••ABC- A1B1C1是直三棱柱，
•A Q = B1C1 = 1，且/ A1C1B1 = 90°。

又D是A1B1的中点，•GD丄A1B1。

T AA1 丄平面A1B1C1 , GD 二平面A1B1C1 ,
•- AA1 丄GD ,• GD 丄平面AA1B1B。

(2)解：作DE丄AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，贝
U AB1丄平面C1DF，点F即为所求。

事实上，•••GD丄平面AA1BB , AB1二平面AA1B1B ,
C1D 丄AB1 .又AB1 丄DF , DF GD = D ,
•AB1丄平面GDF。

点评：本题(1 )的证明中，证得GD丄A1B1后，由ABC— A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1丄平面AA1B1B，立得GD丄平面AA1B1B。

(2)是开放性探索问题，注意采用逆向
思维的万法分析问题。

题型3:面面垂直问题
例5.如图，△ ABC为正三角形，EC丄平面ABC , BD // CE , CE = CA =2
BD , M 是EA的中点，求证：(1) DE = DA ; ( 2)平面BDM 丄平面ECA ; (3)平
面DEA丄平面ECA
分析：(1)证明DE = DA，可以通过图形分割，证明△DEF ◎△ DBA。

(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。

由( 1)
知DM丄EA ,取AC中点N ,连结MN、NB ,易得四边形MNBD是矩形。

从而证明
DM丄平面ECA
证明：(1)如图，取EC中点F，连结DF。

•/ EC丄平面ABC , BD // CE，得DB丄平面ABC。

DB 丄AB , EC 丄BCo
1 1
••• BD // CE , BD = - CE =—FC，则四边形FCBD 是矩形，DF 丄EC
2 2
又BA = BC = DF ,
••• Rt A DEF 也Rt A ABD，所以DE = DA。

(2)取AC中点N，连结MN、NB ,
M是EA的中点,
MN 二1 EG
2
MNBD是矩形，于是DM 丄MN。

由BD - —EC，且BD丄平面ABC，可得四边形
2
••• DE = DA , M 是EA 的中点，
DM 丄EA .又EA MN = M ,
•DM 丄平面ECA，而DM 二平面BDM，则平面ECA丄平面BDM。

(3)v DM 丄平面ECA , DM 二平面DEA ,
•平面DEA丄平面ECA
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。

例6. (2009江西卷理)(本小题满分12分)
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_平面ABCD , PA二AD=4 ,
3
AB =2•以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点M ，交PC 于点N . (1) 求证：平面 ABM 丄平面PCD ;
(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； (3) 求点N 到平面ACM 的距离•
解： 方法一：(1)依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AM 丄MC 。

又因为 P A 丄平面 ABCD,贝U PA 丄CD,又CD 丄AD , 所以CD 丄平面PAD ，贝U CD 丄AM ，所以A M 丄平面 PCD, 所以平面 ABM 丄平面 PCB
(2)由(1)知，AM _ PD ，又 PA = AD ，则 M 是 PD 的 中点可得
AM =2、.2 , MC 二 MD 2—CD 2 =2.3
A
则 S A CM 1
AM MC =2 ,6
设D 到平面ACM 的距离为h ，由V D 」CM =V 」CD 即2 6h =8 , 可求得h 二^6 ,
3
又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由(2)可知所求距离为 方法二： (1)同方法一;
(2 )如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) , P(0,0,4),
B(2,0,0) , C(2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2);设平面 ACM 的一
个法向量R(x,y,z)，由「忌「扇可得：2x 4厂0
，令
、2y+2z = 0 Z =1，贝
U
n = (2, -1,1) o 设所求角为：•，则 sin 二
设所求角为-，则sin -
CD ，二-arcsin 6。

3 (1) 可求得PC=6因为AN 丄NC ,
由PA
故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面 8 PN 。

所以 NC : PC = 5:9。

3
5
ACM 距离的—。

9
PA /曰 PC ，得 27
P N
M
A
O
D
所以所求角的大小为 (3)由条件可得， 2
8
AN _ NC .在 Rt PAC 中，PA 2 二 PN PC 所以 PN ,则 3
NC 二 PC — PN 』
NC 5
5
PCU ，所以所求距离等于点P 到平面ACM 距离的9，设点P
到平面ACM 距离为 玄，所以所求距离为
5
10.6 h = 9 27
题型4:射影问题 例7. (1)如图，SA
丄正方形ABCD 所在平面，过A 作与SC 垂直的平面分别交 SB 、
SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影. 证明：••• SA_ 面 ABCD ,••• SA_CD , ••• ABCD 为正方形，• CD _ AD , ••• SA 与 AD 相交，• CD _ 面 SAD , AH 面 SAD , • CD _ AH . 由已知SC _面AEKH ，且AH 面AEKH , • SC_ AH , ••• SC CD = C , • AH _ 面 SCD , SD 二面 SCD , • AH _ SD , 即H 为点A 在直线SD 上的射影， 同理可证得E 为点A 在直线SB 上的射影。

点评：直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解决两条直线 的主要
途径之一，另外，三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角 等也是证明两条直线垂直的常用的方法 . (2) ( 2006湖北理，18)如图，在棱长为1的正方体 ABCD - A B C I 中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP 二m 。

(I)试确定 m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值 为 3.2 ； (n)在线段 AC 1上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

解法1: ( I)连AC ,设AC 与BD 相交于点 O,AP 与平面BDD 1
B 1相
交于点，连结OG ,
A B
因为PC//平面BDD 1B 1，平面BDD 1B 1门平面APC = OG ,
1
m
故 OG// PC,所以 OG = — PC =。

2 2
又AO 丄BD,AO 丄BB ,所以AO 丄平面BDD 1B 1 ,
故/ AGO 是AP 与平面BDD 1B 1所成的角。

在 Rt A AOG 中，tanAGO =少=2 = 3、2，即 m =-。

GO m 3
2
1
所以，当一时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角的正切值为。

3
(H)可以推测，点 Q 应当是AC I 的中点O i ,
因为D i O i 丄A i C i ,且D i O i 丄A i A ，所以D i O i 丄平面ACCA i , 又 AP U 平面 ACCA J ，故 D 1O 1± AP 。

那么根据三垂线定理知，D i O i 在平面APD i 的射影与AP 垂直。

点评：本小题主要考查线面关系、 直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推 理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

例8.如图i 所示，已知 A i B i C i — ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。

(1) 证明 AB i // DBG ; (2) 假设 AB i 丄 BG , BC=2。

求线段AB i 在侧面B i BCG 上的射影长•
证明：(i )如图2所示，T A i B i C i — ABC 是正三棱柱, 四边形B i BCG 是矩形。

连结B i C ,交BC i 于E ,贝V BE=EC 连结DE ,在厶AB i C 中，I AD=DC
••• DE// AB i ,又因为 AB i 二平面 DBG , DE 平面 DBG ,： AB// 平面 DBG 。

(2)作AF 丄BC,垂足为F 。

因为面 ABC 丄面B i BCC ,
團 2
••• AF 丄平面B I BCG 。

连结B i F ,贝V B i F 是AB i 在平面B i BCG 内的射影。

BC | _L AB ］，…BG 丄 B i F o
•••四边形 B i BCG 是矩形，B i BF=Z BCG=90。

，又/ FB i B=Z C i BC, B i BF s^ BCC ,
则 B£=JL =聖。

BC CC i
B i B
又F 为正三角形 ABC 的BC 边中点，因而 B i B 2=BF • BC=i X 2=2。

是B i F 2=B i B 2+BF=3,^ B i F={3，即线段AB i 在平面B i BCG 内的射影长为 J 3。

点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。

题型5:垂直的应用 例9 •已知A 是边长为a 的正三角形BCD 所在平面外一点， 求异面直线 AB 与CD 的距离•
1 J3 如图⑵，在 Rt CEF 中， CFE =90 , CF , CE a ,
2
2
解析：⑴在L ABD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，• EH //
1
在 GBD 中，F 、G 分别是边GB 、CD 的中点，二FG / - BD ,
2
AB = AC = AD = a ,
解析：分别取AB 、CD 中点E 、 连结EG 、ED （图⑵）
BC = BD = a , • EBC 也 EBD
•••点F 为CD 中点 又 AB EF 二 E , • EF 即为异面直线 F ，连结EF （图⑴）。

EBC = EBD 二 60 ,
BE 为公共边， • EC 二 ED • EF CD 同理：FE _ AB （图⑶） CD EF 二 F ,
AB 与CD 的公垂线段
• EF
側； —a — — ci I I 2
丿「
i
a
— a •异面直线AB 与CD 的距离 2
2 a 。

2
点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。

例i0.如图，在空间四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边 AB 、
BC 、CD 、DA 的中点，对角线 AC 二BD 二a 且它们所成的角为30。

⑴求证：EG _ HF ，⑵求四边形 EFGH 的面积。

1
丄BD ,
2
图⑴ 图⑵
1 ••• EH // FG 且 EH 二 FG BD , 2
1 同理：EF // HG 且 EF =HG =丄 AC 2
1 ••• AC 二 BD = a ，二 EF = FG =
GH = HE a ,
2
•••四边形EFGH 为菱形，••• EG _ HF 。

⑵••• EF // AC , FG // BD ,
• . EFG （或.EFG 的补角）即为异面直线 AC 与BD 所成的角, 由已知得：.EFG =30 （或.EFG =150），
题型6:课标创新题
例11. （1） （2000全国，16）如图（1）所示，E 、F 分别为正方体的面 的中心，则四边形 BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图（ 的图的序号都
图（2）
答案：②③
解析：T 面BFD 1E X 面ADD 1A 1，所以四边形BFD 1E 在面ADD 1A 1上的射影是③，同理， 在面BCGB 1上的射影也是③。

过E 、F 分别作DD 1和CG 的垂线，可得四边形 BFD,E 在面DCGD 1上的射影是②，同理 在面ABB ）A 1，面ABCD 和面A 1B 1GD 1上的射影也是②。

（2） （2000上海，7）命题A :底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三 棱锥是正三棱锥.
命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 ___________ 的三棱锥是正三棱锥。

答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等 ）
解析：要使命题B 与命题A 等价，则只需保证顶点在底面上的射影 S 是底面正三角形的
外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。

例12. （ 2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 上的点。

(I)求证：AC 丄SD;
•四边形EFGH 的面积为：2 丄 12
I a a 1 EF
FG sin. EFG =
2 2
AD0A 1、面 BCGB I （要求：把可能
倍，P 为侧棱SD
2 ）的
① ④
③
(n)若SD丄平面PAC 求二面角P-AC-D的大小
(川)在(n)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由。

解法一：
(I)连BD,设AC交BD于0,由题意S0_ AC。

在正方形ABCD中，AC _ BD , 所以AC _平面SBD,得AC _SD.
(n)设正方形边长a，则SD - 2a。

0D 2a ,所以.S0D =60°
2
连0P，由(I)知AC _平面SBD，所以AC _ 0P ,
且AC _ 0D所以.POD是二面角P - AC - D的平面角。

由SD丄平面PAC，知SD丄0P ,所以N POD = 30°,
即二面角P - AC - D的大小为30°。

(川)在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC
由(n)可得PD a，故可在SP上取一点N，使PN二PD，过N作PC的平行
4
线与SC的交点即为E。

连BN。

在L BDN中知BN // P0，又由于NE // PC ,故平面
BEN // 平面PAC ，得BE //平面PAC ,由于SN: NP=21 ，故SE: EC =21 .
解法二：
(I);连BD ,设AC交于BD于0 ,由题意知S0 —平面ABCD .以0为坐标原点，0B,0C,0S分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系0-xyz如图.
设底面边长为a ，则高SO 二弓
a 。

S(0,0, ±a),D (一辽 a,0,0)
2 2 C (0¥a,°) OC"亘,0)
2
耳」0」）
2 2
OC SD 二 0
而BE 不在平面PAC 内，故BE//平面PAC
故 从而
OC _SD AC _SD
（n ）由题设知，平面PAC 的一个法向量DS 二巨a,0亡
2 2 a), 一个法向量
O S =)0,0,二6 a)，设所求二面角为 h ，则 COST - OS DS
2 l°s|bs|
平面DAC 的
,所求二面角
的大小为 300
（川）在棱SC 上存在一点E 使BE//平面PAC . 由（H ）知DS 是平面PAC 的一个法向量,
2
X 6 2
DS (〒。

云必―©盲a,y a )
CE =tCS,
BE = BC CE = BC tCS = (
2
a, ~2 a(1 -1), 6 at)
2 2 2
BE DC = 0 二 t 二1
3
即当 SE:EC=2:1 时，BE_DS
五.【思维总结】
1 •通过典型问题掌握基本解题方法，高考中立体几何解答题基本题型是：
(I)证明空间线面平行或垂直；
(n)求空间中线面的夹角或距离；
(川)求几何体的侧面积及体积。

证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相
应结论。

④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑
应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直•另外通过计算证明线线垂直也是常用的方
法之一。

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
1. 平行转化：线线平行二线面平行二面面平行；
2. 垂直转化：线线垂直二线面垂直二面面垂直；
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的。

例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

2•“升降维”思想
直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。

运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。

运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。

平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。

2.反证法
反证法是立体几何中常用的间接证明方法。

其步骤是：①否定结论；②进行推理；③导出矛盾；④肯定结论.用反证法证题要注意：①宜用此法否；②命题结论的反面情况有几种。