高中数学2.2.2对数函数及其性质(第1课时)学案设计新人教A版必修1

第二章基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)
学习目标
①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律;
②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
在研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细胞分裂时,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x表示.
现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个,10万个,…细胞,1个细胞要经过多少次分裂?
二、自主探索,尝试解决
经过分析,发现分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式.
如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数是.
三、信息交流,揭示规律
1.对数函数的定义
问题1:请同学们类比“指数函数”的定义,给出“对数函数”的定义.
问题2:在函数的定义中,为什么要限定a>0,且a≠1?
问题3:为什么对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)?
2.对数函数的图象与性质
问题4:画出函数y=log2x与y=lo x的图象(师生一起用几何画板画出图象).
问题5:y=log2x与y=lo x的图象有什么关系?并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
问题6:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,看看是否还有类似于问题5中的结论.
问题7:由问题5和问题6的结论,试猜测函数y=log a x与y=lo x(a>0,且a≠1)的图象之间有怎样的位置关系?并证明你的结论.
问题8:由问题5和问题6的结论,结合指数函数的性质,试猜测函数y=log a x(a>0,且a≠1)有怎样的性质.
先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.(投影)
a>1 0<a<1
图
象
性质定义域:
值域:
过定点,即x=时,y=
x∈(0,1)时,y<0;
x∈(1,+∞)时,y>0
x∈(0,1)时,y>0;
x∈(1,+∞)时,y<0
在(0,+∞)上是函数在(0,+∞)上是函数
四、运用规律,解决问题
【例1】求下列函数的定义域
(1)y=log a x2;(2)y=log a(4-x);(3)y=log a(9-x2).
【例2】比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;(3)log a5.1,log a5.9(a>0,且a≠1).
小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①
②
③
小结2:分类讨论的思想.
五、变式演练,深化提高
1.求下列函数的定义域:
(1)y=log3(1-x);(2)y=;
(3)y=log7;(4)y=.
2.函数y=log a(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.
3.已知函数y=log a(x+1)(a>0,a≠1)的定义域与值域都是[0,1],求a的值.
4.让学生每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的题.
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获吗?
1.
2.
3.
七、作业精选,巩固提高
1.课本P74习题
2.2A组第7,8,10题;
2.继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目;
3.已知log m7<log n7<0,按大小顺序排列m,n,0,1;
4.已知0<a<1,b>1,ab>1.比较log a,log a b,log b的大小;
参考答案
一、设计问题,创设情境
10000=,100000=,…
二、自主探索,尝试解决
x=log2y y=log2x
三、信息交流,揭示规律
问题1:一般地,我们把函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
问题2:根据对数式与指数式的关系,知y=log a x可化为a y=x,由指数的概念,要使a y=x有意义,必须规定a>0且a≠1.
问题3:因为y=log a x可化为x=a y,不管y取什么值,由指数函数的性质知,a y>0,所以x∈(0,+∞).
问题4:通过列表、描点、连线作y=log2x与y=lo x的图象:
问题5:y=log2x与y=lo x的图象关于x轴对称;
相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且x=1时,y=0.
不同性质:y=log2x的图象是上升的曲线,y=lo x的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是减函数.
问题6:分别取a=3,,4,,即在同一平面直角坐标系内作出对数函数
y=log3x,y=lo x,y=log4x,y=lo x的图象.
图象如右:
有类似于问题5中的结论.
问题7:函数y=log a x与y=lo x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.证明如下:
y=lo x=-log a x,又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log a x与y=lo x的图象关于x 轴对称.
问题8:(0,+∞) R(1,0) 1 0 增减
四、运用规律,解决问题
【例1】(1){x|x≠0};(2){x|x<4};(3){x|-3<x<3}.
【例2】(1)log23.4<log28.5
(2)log0.31.8>log0.32.7
(3)a>1时,log a5.1<log a5.9;当0<a<1时,log a5.1>log a5.9.
小结1:①确定所要考查的对数函数;
②根据对数、底数判断对数函数的单调性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.
小结2:对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)由1-x>0,得x<1,故所求函数定义域为{x|x<1};
(2)由log2x≠0,得x≠1,又x>0,故所求函数定义域为{x|x>0,且x≠1};
(3)由得x<,故所求函数定义域为{x|x<};
(4)由则x≥1,故所求函数定义域为{x|x≥1}.
2.(0,-2)
3.2
4.略
六、反思小结,观点提炼
1.学习了对数函数的定义、图象与性质;
2.用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了研究函数的方法和步骤;
3.学习了用对数函数的图象与性质解对数典型题的基本方法.
七、作业精选,巩固提高
3.0<n<m<1
4.log a b<log b<log a。