2021年人教A版必修5数学第2章_数列单元测试卷含答案

2021年人教A版必修5数学第2章数列单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 等差数列{a n}中，已知a2=2，a5=8，则a9=( )
A.8
B.12
C.16
D.24
2. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1−3a n=1，则a n=()
A.1 2⋅3n−1
2
B.3n
C.1
2
⋅3n−1 D.101
3. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6+a8=44，则S9=( )
A.66
B.99
C.110
D.198
4. 在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）
A.−2
B.√2
C.2
D.4
5. 已知等比数列{a n}的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比是( )
A.1 2
B.2
C.1
3
D.1
3
或−2
6. 设首项为1，公比为2
3
的等比数列{a}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）
A.S n=4−3a n
B.S n=3−2a n
C.S n=3a n−2
D.S n=2a n−1
7. 设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前8项和S8=( )
A.16
B.24
C.30
D.36
8. 数列，…的通项公式可能是a n＝（）
A. B. C. D.
9. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（）
A. B. C. D.
10. 已知数列{a n}满足a n+1=2a n+3，且a1=3，则{a n}的前8项和S8=()
A.1506
B.1522
C.762
D.774
11. 已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则a10等于( )
A.18
B.20
C.16
D.22
12. 已知等差数列{a n}的公差d>0，则下列四个命题：
①数列{a n}是递增数列；②数列{S n}是递增数列；
③数列{a n
n }是递增数列；④数列{S n
n
}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
13. 设a n=−n2+10n+11，则数列{a n}中第________项的值最大．
14. 正项数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，又{√a n a n+1}是以1
2
为公比的等比数列，则使得不
等式1
a1+1
a2
+⋯+1
a2n+1
>2019成立的最小整数n为________．
15. 我国2000年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率p，到2010年底我国人口总数是________．
16. 如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角
形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并
在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴
上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三
角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为a n．
(1)a2=________.；
(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的1
，问至少经过________次操作？
4
17. 已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a8是a5与a13的等比中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记b n=1
，求数列{b n}的前n项和T n.
a n⋅a n+1
18. 在等比数列{a n}中，a1+a2=5，且a2+a3=20.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求数列{3a n+√a n}的前n项和S n.
19. 在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)记S n为{a n}的前n项和，求S n．
20. 在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，1+a2，a3成等差数列.
(1)求{a n}的公比；
(2)求数列{a n}的前n项和.
2=2S n+n+1,a2=2
21. 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1
(1)求数列{a n}的通项公式a n
(2)若b n=a n⋅2n，数列{b n}前n项和为T n，求使T n>2021的最小的正整数n的值．
参考答案与试题解析
2021年人教A 版必修5数学第2章 数列单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.
【答案】 C
【考点】
等差数列的通项公式 【解析】
设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列式求得a 1和d ，则答案可求． 【解答】
解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则由a 2=2，a 5=8， 得{a 1+d =2，a 1+4d =8， 解得a 1=0，d =2， ∴ a 9=a 1+8d =16． 故选C . 2.
【答案】 A
【考点】
等比关系的确定 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：a n+1−3a n =1 所以a n+1+1
2=3(a n +1
2)， a 1+1
2=1+1
2=3
2，不为0. 所以数列{a n +1
2}是以3
2为首项， 3为公比的等比数列. a n +1
2=3
2⋅3n−1=12⋅3n ， 所以a n =1
2(3n −1)=1
2⋅3n −1
2. 故选A .
3.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
无
【解答】
解：∵{a n}为等差数列，且a2+a4+a6+a8=44，
∴4a5=44，
解得a5=11，
∴S9=9(a1+a9)
=9a5=9×11=99.
2
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
【解析】
=8，解可得q的值，即可得答案．
根据题意，由等比数列的通项公式可得q3=a6
a3
【解答】
根据题意，等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，
=8，
则q3=a6
a3
解可得q=2；
5.
【答案】
C
【考点】
等差中项
等差数列与等比数列的综合
等比数列的性质
【解析】
a3，2a1成等差数列，建立方程，即可求出利用各项均为正数的等比数列{a n}，a2，1
2
等比数列{a n}的公比．
【解答】
解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，
∴5a3+3a4=2a2，即3q2+5q−2=0.
∵q>0，
∴q=1
.
3
【答案】 B
【考点】
等比数列的前n 项和 【解析】
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】
由题意可得：a n =(2
3)n−1，
S n =
1−(23)n
1−23
=3[1−(23
)n brack =3−2(2
3
)n−1=3−2a n ，
∴ S n =3−2a n ， 7.
【答案】 C
【考点】
等差数列的前n 项和 【解析】
设公差不为零的等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，a 1，a 3，a 6成等比数列，可得(2+2d )2=2(2+5d )，解出再利用求和公式即可得出． 【解答】
解：设公差不为零的等差数列{a n }的公差为d . ∵ a 1=2，a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴ (2+2d )2=2(2+5d )， 解得d =1
2，
则S 8 =8×2+8×72
×1
2=30．
故选C . 8.
【答案】 D
【考点】
数列的概念及简单表示法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.
【答案】 B
【考点】
古典概型及其概率计算公式 【解析】
基本事件总数n＝C＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝
＝5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．
【解答】
现从五种不同属性的物质中任取两种，
基本事件总数n＝C＝10，
取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝＝5，
则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p＝＝．
10.
【答案】
A
【考点】
等比数列的前n项和
数列递推式
等比数列的通项公式
【解析】
【解答】
解：因为a n+1=2a n+3，所以a n+1+3=2(a n+3)．
又a1=3，
所以数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
则a n+3=6×2n−1，即a n=3×2n−3，
故S8=3×(21+22+⋯+28)−3×8
=3×2(1−28)
1−2
−24=1506 .
故选A .
11.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】
解：∵{a n}为等差数列，其前n项和为S n，a3=6，S3=12，
设数列{a n}的公差为d，
∴{a1+2d=6，
3a1+3×2
2
d=12，
解得d=2，a1=2，
∴a10=a1+9d=2+9×2=20．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
数列与函数单调性问题
等差数列与一次函数的关系
【解析】
根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合数列的通项公式的函数性质进行求解即可．
【解答】
解：①因为数列{a n}是等差数列，
所以a n=a1+(n−1)d=nd+a1−d，
因此可以把a n看成关于n的一次函数.
而d>0，所以数列{a n}是递增数列，故该命题是真命题；
②因为数列{a n}是等差数列，
所以S n=na1+1
2n(n−1)d=1
2
n2d+1
2
n(2a1−d)，
因此可以把S n看成关于n的二次函数，而二次函数的单调性与开口和对称轴有关，
虽然d>0能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列{S n}的单调性，故该命题是假命题；
③因为数列{a n}是等差数列，
所以a n=a1+(n−1)d=nd+a1−d.
设a n
n =b n，因此数列{a n
n
}的通项公式为：b n=a n
n
=d+a1−d
n
，
显然当a1=d时，数列{a n
n
}是常数列，故该命题是假命题；
④因为数列{a n}是等差数列，
所以S n=na1+1
2n(n−1)d=1
2
n2d+1
2
n(2a1−d).
设S n
n =c n，因此数列{S n
n
}的通项公式为c n=S n
n
=1
2
nd+1
2
(2a1−d)，
所以可以把c n看成关于n的一次函数，
而1
2d>0，所以数列{S n
n
}是递增数列，故该命题是真命题．
故选B．
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
13.
【答案】
5
【考点】
数列的函数特性
【解析】
根据题意，分析可得a n＝−(n−5)2+36，据此结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】
根据题意，a n =−n 2+10n +11=−(n −5)2+36， 当n ＝5时，a n 取得最大值， 14. 【答案】 6
【考点】 数列递推式 【解析】
本题可先根据已知条件算出数列{√a n a n+1}的通项公式，再得出√a a 关于n 的表达式，
再观察不等式1a 1
+1a 2
+⋯+1
a
2n+1
>2019，联系数列{√a n a n+1}的特点可从不等式的第
二项开始运用均值不等式进行合并、整理、化简，得到关于n 的最简算式，再与2019分析比较得到n 的最小取值． 【解答】
由题意，可知：
∵ √a 1a 2=√1⋅2=√2，
∴ {√a n a n+1}是以√2为首项，以1
2为公比的等比数列． ∴ √a n a n+1=√2⋅(1
2)n−1=
√2
2n−1． ∴ √a a =
n−1√2
=2
√
2
2n =√24
⋅2n ．
∵ 1
a 1
+
1a 2
+⋯+
1
a 2n+1
=
1a 1+(1a 2+1a 3)+(1a 4+1a 5)+⋯+(1a 2n +1
a 2n+1
) ≥1+2√1a 2⋅1a 3+2√1a 4⋅1a 5+⋯+2√1a 2n ⋅1a 2n+1
＝1+2⋅(
√a a √a a +⋯√a a )
＝1+2⋅(√2
4⋅22+√2
4
⋅24+⋯+√2
4
⋅22n )
＝1+2⋅√24
⋅(41+42+...+4n )
＝1+√22
⋅
4(1−4n )1−4
＝1+
2√23
⋅(4n −1)．
∵ 1a 1
+1
a 2
+⋯+1
a
2n+1
>2019．
∴ 1+2√2
3
⋅(4n −1)>2019
即
2√2
3
⋅(4n −1)>2018．
整理，得：4n >
3027√22+1． ∵ 1<√2<2
∴ 1514.5=3027×12+1<3027√22+1<3027×22+1=3028
而45＝210＝1024，46＝212＝40(96)
经过比较，可得知：n ≥6
15.
【答案】
M(1+p)10
【考点】
等比数列
【解析】
记2000年底的人口总数为a 1=M ，后一年底的人口数为上一年的(1+p)倍，故构成一个以M 为首项，(1+p)为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得．
【解答】
解：记2000年底的人口总数为a 1=M ，
因为人口的年平均自然增长率p ，
故后一年底的人口数为上一年的(1+p)倍，
故构成一个以M 为首项，(1+p)为公比的等比数列，
故到第n 年底人口总数为a n =M(1+p)n−1，
所以2010年底我国人口总数为数列的第11项，
即a 11=M(1+p)10故答案为：M(1+p)10
16.
【答案】
916
5
【考点】
数列的应用
等比数列
【解析】
（1）观察图形直接可得结论；
（2）通过a n =(34)n <14，计算即得结论；
【解答】
解：(1)a 1=34，a 2=916.
故答案为：916.
(2)因为{a n }是以34为首项，以34为公比的等比数列，
所以a n =(34)n .
由(34)n <14，得3n <4n−1，
因为31>40，32>41，33>42，34>43，35<44，
所以当n =5时，(34)n <14， 所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14. 故答案为：5.
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ） 17.
【答案】
解：(1)∵ a 1=1，a 8是a 5与a 13的等比中项，{a n }是等差数列， ∴ (1+7d)2=(1+4d)(1+12d)，
∴ d =0（舍）或d =2，
∴ a n =2n −1.
(2)由(1)知a n =2n −1，
∴ b n =1a
n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)
=12(1−12n +1
) =n 2n+1.
【考点】
等比中项
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a 1=1，a 8是a 5与a 13的等比中项，{a n }是等差数列， ∴ (1+7d)2=(1+4d)(1+12d)，
∴ d =0（舍）或d =2，
∴ a n =2n −1.
(2)由(1)知a n =2n −1，
∴ b n =1a
n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)
=12(1−12n +1
) =n 2n+1.
18.
【答案】
解：(1)因为公比q=a2+a3
a1+a2
=4，
所以a1+a2=5a1=5，即a1=1，故a n=4n−1；
(2)因为3a n+√a n=3⋅4n−1+2n−1，
所以S n=3×1−4n
1−4+1−2n
1−2
=4n−1+2n−1=4n+2n−2.
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为公比q=a2+a3
a1+a2
=4，
所以a1+a2=5a1=5，即a1=1，故a n=4n−1；
(2)因为3a n+√a n=3⋅4n−1+2n−1，
所以S n=3×1−4n
1−4+1−2n
1−2
=4n−1+2n−1=4n+2n−2.
19.
【答案】
解：(1)∵在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，
∴1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=−2（舍去），
∴{a n}的通项公式为a n=2n−1.
(2)∵a1=1，q=2，
∴S n=1×(1−2n)
1−2
=2n−1．
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
（1）利用等比数列通项公式列方程求出公比q，由此能求出{a n}的通项公式；（2）由a1＝1，q＝2，能求出{a n}的前n项和S n．
【解答】
解：(1)∵在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，
∴1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=−2（舍去），
∴{a n}的通项公式为a n=2n−1.
(2)∵a1=1，q=2，
∴S n=1×(1−2n)
=2n−1．
1−2
20.
【答案】
解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a1，1+a2，a3成等差数列，所以2(1+a2)=a1+a3，
即2(1+2q)=2+2q2，
解得q=0（舍去），q=2；
(2)数列{a n}的前n项和为，
S n=2(1−2n)
=2n+1−2.
1−2
【考点】
等差中项
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a1，1+a2，a3成等差数列，所以2(1+a2)=a1+a3，
即2(1+2q)=2+2q2，
解得q=0（舍去），q=2；
(2)数列{a n}的前n项和为，
S n=2(1−2n)
=2n+1−2.
1−2
21.
【答案】
1
1
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列与不等式的综合
【解析】
1
1
【解答】1
1。