2009年高考中的选学试题

2
P(4, 4).Q(8cos ,3sin ) 时，
C3为直线 x 2 y 7 0
5 | 4 cos 3sin 13 | M到C3的距离 d 5
4 3 从而当 cos ,sin 时，d取得最小值 8 5 5 5
10、如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为 线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离， y表示C到 A距离4倍与C到B距离的6倍的和. （1）将y表示为x的函数； （2）要使y的值不超过70， x应该在什么范围内取值？
2 2 x y 解：(1) C1 : ( x 4) 2 ( y 3) 2 1, C2 : 1 64 9
C1为圆心是(-4,3) ，半径是1的圆。
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半当 t

3 故 M (2 4 cos , 2 2 sin )
1 x t t , t为参数，且t>0）. 5、已知曲线C的参数方程为 （ y 3(t 1) t
求曲线C的普通方程。 1 1 y 2 2 解：因为 x t 2, 所以 x 2 t , t t 3
故曲线C的普通方程为:
3x y 6 0
0
A
E
为 2
3 求△ABC外接圆的面积
B
C
D F
解：( 1 ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C， CDF = ABC 又AB＝AC ， A D 四点共圆 ∴ ABC ACB且 ADB ACB
∴ ADB CDF 对顶角EDF ADB
O
D
E
故 EDF CDF

3
) 1
1 3 sin 1 解：（1）由 cos( ) 1 得： cos 3 2 2
1 3 ∴曲线C的直角坐标方程为 x y 1 即 2 2
x 3y 2
当θ=0时，ρ=2，∴M的极坐标（2，0）； 2 3 2 3 ( , ) 。 当 时， ，∴ N 的极坐标 3 3 2
2 x a 1,( x 1) f ( x ) 的最小值为a-1; f ( x ) a 1, (1 x a ) 若a> 1, 2 x (a 1),( x a)
所以对于 x R , f ( x) 2 的充要条件是 | a 1| 2 从而a的取值范围 (, 1] [3, )
3 3 { x | x 或x } 2 2
3 3 ∴不等式的解集为 {x | x 或x } 2 2
-------------5分
（2）若a= 1，f ( x) 2 | x 1| 不满足题设条件；
2 x a 1,( x a) 若a< 1， f ( x) 1 a , (a x 1) f ( x ) 的最小值为1-a; 2 x (a 1),( x 1)
故AD 的延长线平分 CDE --------------5分
B
H
C
F
( 2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H ，则 AH⊥BC , 连接 OC ，由题意 OAC＝ OCA = 15 A ACB 75 ∴ OCH 60
3 设圆半径为r，则 r r 2 3 2
O
D H F
E
得：r= 2 ，故外接圆面积为 4π。
---------10 分
B
C
2009年辽宁高考
12、（本小题满分 10 分）选修 4- 4 ：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 cos( M , N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． （1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M , N的极坐标； （2）设M , N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
2
7、设a≥b＞0,求证: 3a 2b ≥
3 3
3a 2b 2ab2
证明：
3a 2b (3a b 2ab ) 3a (a b) 2b (b a) (3a 2b )(a b).
3 3 2 2 2 2 2 2
因为a≥b＞0,所以a-b≥0， 3a 2 2b2 ≥0 从而 (3a 2b )(a b) ≥0
HBD （Ⅱ）连结BH，则BH为 ABC 的平分线，得 30° CED HBD 由（Ⅰ）知 B ， D， H，E四点共圆， EF AD AHE EBD 30° 所以 又 CEF 60°，由已知可得， DEF 可得 30 ° 所以CE平分
x 4 cos t , 9、已知曲线C1 y 3 sin t ,
解：（1）当a= - 1时，f ( x) | x 1| | x 1|
由 f ( x) 3 得：| x 1| | x 1| 3 （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为
x 1 x 1 1 x 1 （法二）不等式可化为 或 或 2 x 3 23 2 x 3
解：(1)
y 4 | x 10 | 6 | x 20 |,0 x 30
4 | x 10 | 6 | x 20 | 70, (2)依题意，满足 0 x 30
解不等式组，其解集为 所以 x [9, 23]
[9, 23]
2009年辽宁高考
11、（本小题满分 10 分）选修 4- l ：几何证明选讲 己知△ABC中，AB=AC , D是△ABC外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A , C重合），延长BD至E。 (1)求证：AD 的延长线平分 CDE ； (2)若 BAC 30，△ABC中BC边上的高
（t为参数），
x 8 cos , C 2: （θ为参数）。 y 3sin ,
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分 别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数 t ,Q为C2上的动点, 2 为 x 3 2t , 求PQ中点M到直线 C3 : （t为参数）距离的最小值。 y 2 t
2
-----------------5分
2 3 ) （2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为 (0, 3
3 ) ∴P的直角坐标为 (1, 3 2 3 则P的极坐标为 ( 3 , 6 )
直线OP的极坐标方程为 , (, ) 6
----10分
2009年辽宁高考
13、（本小题满分 10 分）选修 4- 5 ：不等式选讲 设函数 f ( x) | x 1| | x a | （1）若a= - 1，解不等式 f ( x) 3 （2）如果 x R , f ( x) 2 求a的取值范围。
AB 4, ACB 450 则圆O的面积等于
S圆 (2 2) 8
2
4：几何证明选讲,如图，在四边
形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD. 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA， 故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。 再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此 ∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
2 2
即 3a 3 2b3 ≥ 3a 2b 2ab2
8、如图，已知 ABC中的两条角平分线和相交于H， 。 B= 60，F在AC上，且 AE AF 。 （1）证明：B, D, H , E 四点共圆； （2）证明：CE平分 DEF。 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为 ∠B=60°，所以 ∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD,CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°， 所以B,D,H,E四点共圆。
x s, x 1 2t , 1、若直线 l1 : （为参数）与直线 l2 : y 1 2s. y 2 kt.
（s为参数）垂直,则k=
k 【解析】 (2) 1 得 2
k 1
的实数解为
2、不等式
x 1
x2
1
3、如图4,点A,B,C是圆上的点,且
-------------10分