2025届湖北省武汉实验外国语学校数学八年级第一学期期末监测试题含解析

2025届湖北省武汉实验外国语学校数学八年级第一学期期末监
测试题 测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，
DF AB ⊥于点F ，连结EF ，则EF 的长为（ ）
A ．5
B ．2.5
C ．7
D ．3
2．对于实数a 、b 定义一种运算“※”，规定a ※b =
2
1a b -，如1※3=21
13-，则方程
x ※（﹣2）=
23
4x x
--的解是（ ） A ．4x =
B ．5x =
C ．6x =
D ．7x =
3．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（ ） A ．六边形
B ．八边形
C ．正六边形
D ．正八边形
4．已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，下列条件能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::1:1:3a b c = B ．::1:1:2a b c = C ．::2:2:3a b c =
D ．::3:2:5a b c =
5．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
6．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成
的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务．设原计划每天铺设管道x 米，根据题意，则下列方程正确的是（ ） A ．12001200
8x 25%x -= B ．
12001200
8x 1.25x -= C ．
12001200
81.25x x
-= D ．
12001200
8(125%)x x
-=- 7．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23
8．若分式
3
2
x x +-的值为0，则x 的值为 A ．3x =-
B ．2x =
C ．3x ≠-
D ．2x ≠
9．如图,已知点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A ．48
B ．60
C ．76
D ．80
10．石墨烯是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，它的理论厚度仅0.00000000034m ，将这个数用科学计数法表示为（ ） A ．70.3410-⨯
B ．73.410-⨯
C ．103.410-⨯
D ．113.410-⨯
二、填空题(每小题3分,共24分) 11．2018
20192
()
(1.5)3
-⨯=_________
12．使函数6y x =
-x 的取值范围是_______.
133a -+（b+2）2=0，则点M （a ，b ）关于y 轴的对称点的坐标为_________． 14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =8，若点M 在BC 上，且BM =2，点N 是AC 上一动点，则BN ＋MN 的最小值为___________．
15．在△ABC 中，将∠B 、∠C 按如图所示方式折叠，点B 、C 均落于边BC 上一点G 处，线段MN 、EF 为折痕．若∠A ＝82°，则∠MGE ＝_____°．
16．实数
9
4
的平方根是____________． 17．计算：32
2()3a b
-=____________．
18．如图，ABC ∆中，60A ∠=︒，50B ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，连接DE 并延长，交BC 的延长线于点F ，此时，35F ∠=︒，则1∠的度数为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图所示，在△ABC 中：
（1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是怎样（将序号按正确的顺序写出）． ①分别以点M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点P ； ②以点B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB 于点M ，交BC 于N 点； ③画射线BP ，交AC 于点D ．
（2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是什么（填序号）．
①SSS ．②ASA ．③AAS ．④角平分线上的点到角两边的距离相等．
（3）若AB ＝18，BC ＝12，S △ABC ＝120，过点D 作DE⊥AB 于点E ，求DE 的长．
20．（6分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，
(1)如图△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，求证：△ABC 是“美丽三角形”； (2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=23，若△ABC 是“美丽三角形”，求BC 的长．
21．（6分）已知：等边ABC ∆中．
（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN
BN
的值．
（2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．
（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求
BF BE
BC
-的值．
22．（8分）如图，在正方形网格中， ABC ∆的三个顶点都在格点上，
()()()2,3,1,1,4,2A B C ．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)直接写出ABC ∆的面积：
(2)请在图中作出与ABC ∆关于x 轴对称的'''A B C ∆；
(3)在(2)的条件下，若， (),M x y 是ABC ∆内部任意一点，请直接写点M 在'''
A B C ∆
M的坐标．
内部的对应点'
23．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
24．（8分）证明：最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形．25．（10分）在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC=100°，则∠ABD的度数为_____，∠BDF的度数为______；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN，若BN=DN，∠ACB=a．
(I)用a表示∠BAD；
(II)①求证：∠ABN=30°；
②直接写出a的度数以及△BMN的形状．
26．（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，CD＝8，AD＝1．
求：（1）BD 的长； （2）△ABC 的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、C
【分析】根据题意，先由三角形的中位线求得DE 的长，再由含有30角的直角三角形求出FD 的长，最后由勾股定理求得EF 的长即可得解. 【详解】∵ABC ∆是等边三角形且边长为4 ∴4AB BC AC ===，60∠=∠=∠=︒A B C ∵DF AB ⊥ ∴30BDF ∠=︒ ∴90FDE ∠=︒
∵点,D E 分别是边,BC AC 的中点 ∴1
22
DE AB =
=，2BD = ∵3
sin sin 602
FD B BD ∠=︒=
=
∴3
3FD =
=∵在Rt FDE ∆中，22EF FD DE =+∴()
2
2327EF =+=，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线，含有30角的直角三角，勾股定理等相关内容，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键. 2、C
【分析】根据定义新运算公式列出分式方程，然后解分式方程即可． 【详解】解：∵x ※（﹣2）=
234x x
-- ∴
()
2
12342x x
x =
---- 解得：x=6
经检验：x=6是原方程的解 故选C ． 【点睛】
此题考查的是定义新运算和解分式方程，掌握定义新运算公式和解分式方程的一般步骤是解决此题的关键． 3、D
【解析】设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为120°求得外角度数，360°÷这个外角度数的结果就是所求的多边形的边数．
【详解】解：设正多边形的每个外角为x 度，则每个内角为3x 度， ∴x +3x ＝120， 解得x ＝1．
∴多边形的边数为360°÷1°＝2． 故选D ． 【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为120°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数，解题关键是熟练掌握多边形内角与外角之间的关系． 4、B
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A 、设a ＝x ，则b ＝x ，c ，
∵（x ）2＋（x ）2≠）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、设a＝x，则b＝x，c x，
∵（x）2＋（x）2x）2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C、设a＝2x，则b＝2x，c＝3x，
∵（2x）2＋（2x）2≠（3x）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设a，则b＝2x，c，
）2＋（2x）2≠）2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5、B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选B.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6、B
【解析】关键描述语为：“提前了1天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际用时=1．
【详解】原计划用时为1200
x
天，而实际用时()
1200
125%x
-＝
1200
1.25x
天．那么方程应该
表示为12001200
8
1.25
x x
-=．
故选B．
【点睛】
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7、C
【详解】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴BD=2BE=2，
∵D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
故选：C．
8、A
【分析】根据分式值为0，分子为0，分母不为0，得出x+3=0,解方程即可得出答案．
【详解】因为分式
3
2
x
x
+
-
的值为0，
所以x+3=0，
所以x=-3.
故选A.
【点睛】
考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注：“分母不为零”这个条件不能少．
9、C
【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴10
==
∴S阴影部分=S正方形ABCD-S Rt△ABE=102-1
68 2
⨯⨯
=100-24
=76.
故选C.
考点：勾股定理.
10、C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×1-n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 000 034=3.4×1-1．
故选C．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×1-n，解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的表示形式.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3 2
【解析】首先把化（1.5）2019为×（3
2
）2018
3
2
⨯，再利用积的乘方计算
（
2
3
-）2018×（
3
2
）2018，进而可得答案．
【详解】原式＝（
2
3
-）2018×（
3
2
）2018
3
2
⨯=（
23
32
-⨯）2018
33
22
⨯=．
故答案为3
2
．
【点睛】
本题考查了积的乘方，关键是掌握（ab）n＝a n b n（n是正整数）．
12、6
x≤
a≥0，可得6-x≥0，解不等式即可.
【详解】解：∵y=
∴6-x≥0
∴6
x≤
故答案为：6
x≤
【点睛】
，被开方数a≥0是解题的关键.
13、（-3，-2）．
（b+2）2=0，
∴a=3，b=-2；
∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（-3，-2）．
考点：1．关于x轴、y轴对称的点的坐标；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的
性质：算术平方根．
14、10
【分析】过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB'=OB，连接MB'，交AC于N，
此时MB'=MN+NB'=MN+BN的值最小
【详解】解：连接CB'，
∵BO⊥AC，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBO=1
2
×90°=45°，
∵BO=OB'，BO⊥AC，
∴CB'=CB，
∴∠CB'B=∠OBC=45°，
∴∠B'CB=90°，
∴CB'⊥BC，
根据勾股定理可得MB′=1O，MB'的长度就是BN+MN的最小值．
故答案为：10
【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题；勾股定理．确定动点E何位置时，使BN+MN的值最小是关键．
15、1
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝1°，
∴∠B+∠C＝180°﹣1°＝98°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，
∴∠MGE＝180°﹣98＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC 的度数．
16、32
± 【分析】直接利用平方根的定义计算即可． 【详解】∵±
32的平方是94，∴94的平方根是±32． 故答案为±
32
． 【点睛】
本题考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 17、6
249a b
【分析】按照分式的乘方运算法则即可得到答案． 【详解】解：3
6
22232(2)4(3)(392)a b
b a a b ==- 故答案为：6
249a b
． 【点睛】
本题考查的是分式的乘方，熟知分式的乘方是关键，结果的符号要注意好．
18、145°
【分析】根据三角形外角性质求出ADE B F ∠=∠+∠，1A ADE ∠=∠+∠，代入求出即可．
【详解】解：50B ∠=︒，35F ∠=︒，
85ADE B F ∴∠=∠+∠=︒，
60A ∠=︒，
16085145A ADE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故答案为：145︒．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、解答题(共66分)
19、（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③；（2）①；（3）DE＝1．
【分析】（1）根据基本作图方法即可得出；
（2）证明△MBP≌△NBP即可；
（3）过点D作DF⊥BC与F，由题意推出DE＝DF，再由S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可求出DE的长度.
【详解】（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为②①③；
（2）在△MBP和△NBP中，
，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
故答案为①；
（3）过点D作DF⊥BC与F，
∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
S△ABC＝S△ABD+S△CBD，即×AB×DE+×BC×DF＝120，
∴×11×DE+×12×DE＝120，
解得，DE＝1．
【点睛】
本题考查的知识点是作图-基本作图及全等三角形，解题的关键是熟练的掌握作图-基本作图及全等三角形.
20、（1）见解析；（2）BC=3或BC=4.
【分析】（1）由“美丽三角形”的定义知，要求出△ABC的中线长，再作比较，由
AB=AC=5，可知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC的中线AD,则AD 即为BC的高线，由勾股定理求AD的长即可证明；
（2）Rt△ABC中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答.
【详解】（1）证明：如图，作BC的中线AD，如图，
∵AB=AC= ，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC, BD=CD= ,
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,
∴AD=BC，
∴△ABC是美丽三角形.
（2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”，
当BD=AC= 时，
则CD= ,
由勾股定理得.
②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”，
当BC=AD 时，
则CD= ,
在Rt△ACD 中，由勾股定理得
， 则
，解得CD=2，
∴BC=2CD=4.
故BC=3或BC=4.
【点睛】 本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确“美丽三角形”的定义是解答本题的关键.
21、（1）3；（2）见解析；（3）32
． 【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；
（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；
（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．
【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点
∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒
∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒
∵60AMN ∠=︒
∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN
∴90ANM ∠=︒
∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠
∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =
在Rt ABM ∆中，2AB BM =
∴24AB AN BN BM BN =+==
∴3AN BN =即3AN BN
=． （2）如下图：
过点M 作ME ∥BC 交AC 于E
∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB
∵ABC ∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒
∴60AEM ACB ∠=∠=︒，120MBN =︒∠
∴120CEM MBN ∠==︒∠，60AEM A ∠=∠=︒
∴AM=ME
∵MNB MCB ∠=∠
∴∠CME=∠MNB ，MN=MC
∴在MEC ∆与NBM ∆中
CME MNB CEM MBN MC MN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()MEC NBM AAS ∆∆≌
∴ME BN =
∴AM BN =
（3）如下图：
过点P 作PM ∥BC 交AB 于M
∴AMP ABC =∠∠
∵ABC ∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC ==
∴60AMP A ==︒∠∠
∴AP MP =，180120EMP AMP =︒-=︒∠∠，180120FCP ACB =︒-=︒∠∠ ∴AMP ∆是等边三角形，120EMP FCP ==︒∠∠
∴AP MP AM ==
∵P 点是AC 的中点 ∴111222AP PC MP AM AC AB BC ====
== ∴12
AM MB AB == 在EMP ∆与FCP ∆中
EMP FCP AEP PFC MP PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()EMP FCP AAS ∆∆≌
∴ME FC = ∴1322
BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+= ∴3322
BC BF BE BC BC -==． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．
22、（1）2.5（2）见解析（3）(),x y -
【分析】(1)根据割补法即可求解；
(2)先找到各顶点关于x 轴的对称点，再顺次连接即可；
(3)根据关于x 轴的对称的性质即可写出'M 的坐标.
【详解】（1）ABC ∆的面积=11123211231222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=2.5；
（2）如图，'''A B C ∆为所求；
（3）∵ABC ∆、'''A B C ∆关于x 轴对称
∴点(),M x y 在'''A B C ∆内部的对应点'M 的坐标为(),x y -.
【点睛】
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知轴对称的性质.
23、，把解集在数轴上表示见解析.
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】
解不等式①得：.
解不等式②得：.
将不等式解集表示在数轴如下：
得不等式组的解集为.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24、证明见解析．
=，【分析】如图，在△ABC中，AB是最长边，CD是边AB的中线，可得BD AD
==，根据等边对等角以及再根据最长边上的中线等于最长边的一半可得CD BD AD
三角形内角和定理即可得证．
【详解】证明：如图，在△ABC中，AB是最长边，CD是边AB的中线
∵CD是边AB的中线
=
∴BD AD
∵最长边上的中线等于最长边的一半
==
∴CD BD AD
∴,A ACD B BCD ==∠∠∠∠
∵180A B ACB ∠+∠+∠=︒ ∴1180902
ACB ACD BCD =+=
⨯︒=︒∠∠∠ ∴△ABC 是直角三角形
∴最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了直角三角形的证明问题，掌握直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、中线的性质是解题的关键．
25、 (1)10°，20°；（2）（Ⅰ）2402BAD a ∠=︒-；(II)①证明见解析；②a =40°，△BMN 等腰三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD=AC ，∠CAD=60°，利用等量代换可得AD=AB ，根据等腰三角形的性质即可求出∠ABD 的度数，由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠ADE=30°，进而可求出∠BDF 的度数；
（2）（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可用a 表示出∠BAC ，由∠CAD=60°即可表示出∠BAD ；
（Ⅱ）①如图，连接AN ，由角平分线的定义可得∠CAN=12
a ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DN 是AC 的垂直平分线，可得AN=CN ，∠CAN=∠CAN ，即可求出
∠DAN=
12
a +60°，由（Ⅰ）可知∠BAD=240°-2a ，由△ABN ≌△AND 可得∠BAN=∠DAN ，可得∠BAN=120°+a ，列方程即可求出a 的值，利用外角性质可求出∠ANM 的度数，根据三角形内角和可求出∠AMN 的度数，利用外角性质可求出∠MNB 的度数，可得∠BMN=∠ABN ，可证明△BMN 是等腰三角形．
【详解】（1）∵△ACD 是等边三角形，
∴AD=AC=CD ，∠CAD=∠ADC=60°，
∵AB=AC ，
∴AD=AB ，
∵∠BAC=100°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，
∴∠ABD=∠ADB=12
（180°-∠BAD ）=10°， ∵点E 为AC 中点，
∴ ∠ADE=∠CDE=30°，
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°，
故答案为：10°，20°
（2）（Ⅰ）∵AB=AC ，∠ACB=a ， ∴∠ABC=∠ACB=a ，
∴1802BAC a ∠=-，
∵△ACD 为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=240°
+a ． (II)①如图，连接AN ，
∵△ACD 为等边三角形，
∴CA AD AB ==，
在△ABN 和△AND 中，AD AB DN BN AN AN =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABN ≌△AND ，
∴∠ABN=∠ADN ，
∵点E AC 的中点，
∴DF ⊥AC ，ED 平分∠ADC ，
∴∠ADE=30°，
∴∠ABN=∠ADE=30°．
②∵CM 平分∠ACB ，∠ACB=a ， ∴∠CAM=∠BCM=12a ，
∵点E是AC的中点，△ACD是等边三角形，∴DN是AC的垂直平分线，
∴AN=CN，
∴∠CAN=∠ACM=1
2
a，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=60°+1
2
a，
∵△ABN≌△AND，
∴∠BAN=∠DAN=60°+1
2
a，
∴∠BAN=2∠BAN=120°+a，由（Ⅰ）得：∠BAD=240°-2a，∴120°+a=240°-2a，
解得：a=40°，
∴∠BAN=60°+1
2
a=80°，∠ANM=∠NAC+∠NCA=a=40°，
∴∠AMC=180°-∠BAN-∠ANM=60°，
∵∠ABN=30°，
∴∠MNB=∠AMC-∠ABN=30°，
∴∠ABN=∠MNB，
∴MB=MN，
∴BMN
△是等腰三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，等边三角形的三条边都相等，每个内角都是60°；等腰三角形的两个底角相等，顶角的角平分线、底边的高、底边的中线“三线合一”；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．26、（1）BD=15；（2）S△ABC=2．
【分析】（1）由AC＝10，CD＝8，AD＝1，利用勾股定理的逆定理可判断∠ACD＝９０°，在利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）由三角形的面积公式即可求得．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵AC2=102=100，AD2+CD2=12+82=100，∴AC2=AD2+CD2，∴∠ADC=90°，∵∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，=15；
（2）S△ABC=1
2
×（1+15）×8=4×21=2．
【点睛】
本题考查勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的面积，综合性较强，难度不大．。