矩形的性质(1)
九年级数学（北师大版）上册教案：1.2矩形的性质与判定（1）
第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．[来源:学*科*网Z*X*问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。
2_矩形的性质与判定_第1课时_教案1
第一章特别平行四边形2.矩形的性质与判断（一）一、学生知识状况剖析学生的知识技术基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判断，菱形的性质和判断以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年纪段的学生已经具备自主研究和合作学习的能力，他们喜爱着手，喜爱思虑一些有挑战性的问题，喜爱向他人展现自己的成就。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，拥有必定的研究数学识题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大多数学生要把解题的整个过程表述完好、清楚比较困难。
二、教课任务剖析《矩形的性质与判断》一课属于初中平面几何要点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判断以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特别平行四边形的一般研究方法以后学习的，它既是平行四边形的延长，又为后边正方形的学习供给知识、方法的支持，为进一步研究其余图形确立基础。
依照新课标要求，《矩形的性质》不可以只逗留在知识教课上，而是要把经历研究图形的基天性质的过程，发展学生的基本的推理技术放在首要地点。
矩形是的平行四边形中的一种特别图形，在生活中有着宽泛的应用，所以课本好多地方以图片形式体现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促使数学学习。
所以本节课的教课目的是：1.知识与技术 :(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理 ; 会用矩形的性质定理进行推导证明 ;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培育学生的剖析能力．2.过程与方法：(1)经历研究矩形的看法和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）经过灵巧运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思想方法，并浸透运动联系、从量变到质变的看法．3.感情态度与价值观：(1)在察看、丈量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满研究性和创建性，感觉证明的必需性，培育谨慎的推理能力，领会逻辑推理的思想价值。
八年级数学矩形的性质
A
D
O
P
B
C
4.已知:如图,在矩形ABCD中, 对角线相交 于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE 交BC于E,求∠BOE的度数. 75°
A
D
O
B
E
C
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等. O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD 又∵0A=0C=
1
AC,OB=OD=
1
BD.
2
A2
┏C
性质2：
矩形的对角线相等.
符号语言:
∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等.
O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD
又∵0A=0C= 1 AC,OB=OD= 1 BD.
2
2
∴OA=OB=OC=OD.
注: 矩形被两条对角线分成的四个小三角形
都是等腰三角形,并且面积相等.
∴OA=OB=OC=OD.
O
结论:
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳: 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O,E为矩形ABCD外一点，AE⊥CE,
那么BE⊥DE吗？
为什么？
解题思路：
E
由OE=OA=OC
A
D
得到OE=OB=OD 再得到∠BED=90°
O
B
C
人教版九年数学上学期矩形的性质与判定(一)
第一章特殊平行四边形2. 矩形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
二、教学任务分析《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。
依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。
矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。
因此本节课的教学目标是：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．2. 过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3. 情感态度与价值观：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
自学初中数学资料-矩形及其性质矩形(1)
自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 20；B. ；C. ；D. 25．例2．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．例3．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积例4．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__________ ．第2页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．3．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．4．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为__________ ．第3页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．【错题精练】例1．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线与点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50∘，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．例2．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．第4页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．2．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．1．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）第5页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）4．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A、B，过线段AB的中点作CD平行于MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C、D．求证：四边形ACBD是矩形．5．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB．求证：▱ABCD是矩形．6．下列说法中，错误的是（）第6页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形第7页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。
矩形的性质和用途
矩形的性质和用途矩形是几何学中最基本的形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将就矩形的性质和常见用途展开讨论。
一、性质1. 边长关系：矩形的两对相邻边长相等，对角线长度相等。
这个性质使得矩形有较好的对称性，可以方便地进行计算和推导。
2. 角度特性：矩形的四个角均为直角，即90度。
这使得矩形在建筑、绘图、设计等领域中应用广泛。
3. 面积计算：矩形的面积可以通过长度乘以宽度来计算，公式为A=长×宽。
这个简单的计算公式方便了矩形面积的求解，在测量、工程设计等方面具有重要作用。
4. 对角线性质：矩形的对角线相互垂直且相互平分。
这个性质使得矩形可以用于工程测量、图形构建以及装饰设计等方面。
二、用途1. 建筑和土木工程：矩形在建筑和土木工程中扮演重要角色。
例如，在房屋建设中，房间的墙壁往往是矩形的，矩形的角度特性使得房间更稳定和对称。
此外，建筑平面图中的墙壁、窗户、门等也常常利用矩形的性质来进行设计。
2. 绘图和设计：矩形在绘图和设计中常被使用。
绘制平面图、制作建筑物的模型、设计网页布局等都需要利用矩形的性质和对称性。
矩形还可以用于绘制地图、棋盘等。
3. 数学和几何学：矩形是几何学中最经典的形状之一，形成了许多数学定律和公式。
矩形的性质被广泛应用于数学问题的解决过程中，如计算面积、周长等。
4. 家居和室内设计：矩形的简单性质使得它在家居和室内设计领域中得到广泛运用。
例如，家具的设计往往以矩形为基础，包括桌子、座椅、柜子等。
墙壁、地板、天花板等室内元素也可以利用矩形的性质进行设计和布局。
5. 电子设备：矩形在电子设备中也有重要的应用。
例如，电视屏幕、电脑显示器、手机屏幕等都采用了矩形的形状。
此外，电子电路板的设计和制造也需要矩形的性质来进行布局和连接。
6. 艺术和装饰：矩形在艺术和装饰方面具有重要的地位。
矩形的简洁性和对称性使得它适合于许多装饰设计和艺术创作。
例如，画框、相框、墙画等的形状常常是矩形的。
人教版八年级数学讲义矩形的判定和性质(含解析)(2020年最新)
第17讲矩形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。
矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟矩形的性质和判定1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的对角线相等且互相平分；（3）矩形的四个角都是90°；（4）矩形是轴对称图形.性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称1.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.课堂精讲精练【例题1】如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为BC 上一点，连接EO ，并延长交AD 于点F ，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．8对D ．10对【答案】D【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：∵四边形ABCD 为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分，∴AB=CD ，AD=BC ，AO=CO ，BO=DO ，EO=FO ，∠DAO=∠BCO ，又∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB ，∠AOE=∠COF ，易证△ABC ≌△DCB ，△ABC ≌△CDA ，△ABC ≌△BAD ，△BCD ≌△ADC ，△BCD ≌△DAB ，△ADC ≌△DAB ，△AOF ≌△COE ，△DOF ≌△BOE ，△DOC ≌△AOB ，△AOD ≌△BOC 故图中的全等三角形共有10对．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图：OA=OB=OC=12AC你知道怎么证明吗？讲解用时：3分钟解题思路：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：杭州模拟年份：2017【练习1.1】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．【答案】（1）BD=BE；（2）24【解析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8在Rt△BCD中，BC===4，∴四边形ABED的面积=（4+8）×4=24．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及平行四边形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：肇庆年份：2012【例题2】如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．∠ABD=∠DBC C．AO=BO D．AC⊥BD【答案】C【解析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠DBC，得出四边形ABCD是菱形，不是矩形；故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AO=BO，，∴OA=OC=OB=OD即AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：上城区期末年份：2017【练习2.1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC【答案】C【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：黔南州年份：2012【例题3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，求AB的长.【答案】8【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可．解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，∴AB=2CD=8.讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出AB=2CD，是一道简单的题目．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，求∠DFE的度数.【答案】60°【解析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20°，∠ADC=40°然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出∠DFE=60°．解：∵∠C=90°，AE=BE=EC，AD=DB，∴∠BAD=20°，∠ADC=40°，∠DAC=∠ECA=50°．∴∠ECD=20°，∠FDC=40°．∴∠DFE=60°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的中线等于斜边的一半和三角形的内角和与外角和的运用．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：台湾年份：2007【例题4】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：5：6，AB边上的中线长是2，求△ABC的面积.【答案】2【解析】根据度数比可求出此三角形为直角三角形，然后根据斜边中线的长可得出三角形的面积．解：设∠A=x°，则x+5x+6x=180，x=15．∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°．如图：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则DA=DC，作斜边上的高CE，在Rt△CED中，∠CDE=2∠A=30°，CD=2，易求得CE=1，又AB=2DC=4．故所求△ABC的面积是2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查直角三角形的斜边中线等于斜边一半这个知识点，解答此题的关键是很据题意确定△ABC是直角三角形．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，点D是BC边上的动点（不与B，C 重合）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，求EF的最小值.【答案】【解析】连接AD，根据矩形的性质可知：EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当EF⊥AD时，则EF最小，再根据三角形的面积为定值即可求出EF的长．解：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8，BA=6，∴BC=10，连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形EAFD是矩形，∴EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，则AD最小，∴EF=AD==.讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求FE的最小值转化为其相等线段AD的最小值．教学建议：熟练掌握矩形的性质和判定并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：萧山区月考年份：2016【例题5】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于°．【答案】60【解析】由直角三角形的性质知，中线CE=AE=BE，所以∠EAC=∠ECA，∠B=∠BCE，由三角形内角和即可求得．解：由直角三角形性质知，∵E为AB之中点，∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，∴∠ACF=70°，又∵AD=DB，∴∠B=∠BAD=20°，∴∠FAC=50°，∴在△ACF中，∠AFC=180°﹣70°﹣50°=60°，∴∠DFE=∠AFC=60°．故答案为60讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，是基础题．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：鼓楼区一模年份：2013【练习5.1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE= ．【答案】4【解析】由题意知，△ABC是等腰三角形，所以，D是BC边上的高和中线，即D是边BC的中点；由于△ADC是直角三角形，E为AC中点，所以DE=．解：在△ABC中，AB=AC=8，∴△ABC中是等腰三角形，又∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，∴在△ADC中，∠ADC=90°，∵E为AC中点，∴DE===4，∴DE=4．讲解用时：3分钟解题思路：本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：益阳年份：2012【例题6】如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为．【答案】2【解析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度．解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再根据等腰三角形边上的三线合一的性质来证明此题的△EFD为等腰三角形，这是证明此题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：海淀区校级期中年份：2010【练习6.1】已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．【答案】（1）四边形ADCF是平行四边形；（2）AB=AC【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．（1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，理由是：∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC．∵AB=AC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形，即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键.教学建议：全面掌握矩形的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：杭州期末年份：2015【例题7】如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）．【答案】（1）当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形；（2）当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．【解析】由矩形的判定定理：先测量四边形ABCD是否为平行四边形即两组对边是否分别相等，再测量对角线是否相等．解：方案如下：（1）用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：本题涉及矩形的判定定理，且涉及实际问题，难度适中．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）AF=CE；（2）矩形【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：成都年份：2006【练习7.2】如图，四边形ABCD是由一个锐角为30°的直角△ABC与一个等腰直角△ACD拼成，E为斜边AC的中点．（1）判断线段BE、DE的大小，并说明理由（2）求∠BDE的大小．【答案】（1）BE=DE；（2）15°【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=AC；（2）求出∠BED的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．解：（1）∵E为斜边AC的中点，∴BE=DE=AC，∴BE=DE；（2）由题意得，∠BAC=90°﹣30°=60°，所以，∠AEB=∠BAC=60°，∠AED=90°，所以，∠BED=60°+90°=150°，所以，∠BDE=×（180°﹣150°）=15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】D【解析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：昆山市二模年份：2016【作业2】直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为cm．【答案】10【解析】根据直角三角形的性质直接求解．解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边长=2×5=10cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC 于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【答案】（1）2.5；（2）∠1=∠2【解析】（1）由勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．【答案】（1）7；（2）2√14【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
矩形的性质及判定方法
矩形的性质及判定方法
一分耕耘一份收获，付出了就能收获回报，想要了解矩形的性质的小伙伴快来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“矩形的性质及判定方法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。
2、从角看，标准矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。
标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。
平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。
矩形的性质和计算方法
矩形的性质和计算方法矩形，是数学中一种简单而重要的几何形状。
它具有一些独特的性质和计算方法，使得它在数学、几何学以及实际生活中都有着广泛的运用。
在本文中，我们将深入探讨矩形的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的定义和基本性质矩形是一个平面上的四边形，它的四个内角均为直角。
相较于其他四边形，矩形具有以下基本性质：1. 四个内角均为直角：在一个矩形中，每个内角都是90度，这使得矩形在建筑、绘画等领域有广泛应用。
2. 两对相对边相等：矩形的相对边长相等，即两条相对边的长度相同。
这个性质使得矩形在制作家具等方面有着重要作用。
3. 对角线相等且相互平分：矩形的对角线相等且相互平分，这使得对角线在计算和绘制矩形时有重要作用。
二、矩形的计算方法1. 矩形的周长计算：矩形的周长等于其各边长之和的两倍。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的周长C计算公式为C=2(L+W)。
2. 矩形的面积计算：矩形的面积等于其长乘以宽。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S计算公式为S=L×W。
3. 矩形的对角线计算：矩形的对角线长度可以通过两条边长计算得到。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的对角线D计算公式为D=√(L²+W²)。
三、矩形的应用领域矩形作为一种常见的几何形状，在许多领域都有广泛的运用，下面列举了一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形被广泛应用于房屋的平面设计中。
例如，房间的墙壁、门窗等常常采用矩形形状，使得建筑结构更加稳定和美观。
2. 图形绘制：绘画和图形设计中经常使用矩形作为基本的几何形状。
矩形可以用于绘制桌子、窗户、书架等物品，使得画面更具立体感。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩形被广泛用于表示屏幕、视窗等显示区域。
矩形的性质和计算方法也为计算机图形学提供了基础。
4. 统计学和金融计算：在统计学和金融计算中，矩形被用作柱状图、条形图、表格等的基本形状，方便数据的展示和分析。
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
矩形性质总结知识点
矩形性质总结知识点1. 矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它具有两对相等并且平行的边，且相邻的两条边互相垂直。
由此可以得出矩形的性质：:（1）四个角都是直角；（2）对角线相等；（3）对角线互相垂直。
2. 矩形的性质2.1 矩形对角线的性质矩形的对角线是矩形内角的分割线，并且是等分矩形的。
具体来说，矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
证明如下：假设矩形ABCD的对角线AC和BD相等。
我们已经知道AB和CD、BC和AD是相等的，接下来我们通过三角形全等性质来证明这一点。
由于矩形的对角线是等分矩形的，所以三角形ABC与三角形CDA是相似的，根据三角形相似的性质可知三角形ABC与三角形CDA 是全等的，所以AB=CD且BC=AD，说明对角线AC和BD相等。
2.2 矩形的面积与周长矩形的面积可以通过其长和宽来计算，具体的公式为S=ab，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
其周长为P=2(a+b)。
证明如下：设长为a，宽为b，则矩形的周长为P=2(a+b)，矩形的面积为S=ab。
2.3 矩形的对角线长度对角线的长度可以通过矩形的长和宽来计算，具体的公式为d=√(a^2+b^2)，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
证明如下：通过勾股定理，我们可以得出对角线长度的公式为d=√(a^2+b^2)。
2.4 矩形的特殊点矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
证明如下：矩形的对角线交点是矩形的重心、垂心和外心。
由于对角线是矩形的对称轴，所以对角线交点就是重心。
另外，由于矩形的对角线相等，所以对角线的交点也是垂心。
最后，由于矩形是一种特殊的四边形，所以对角线的交点也是外心。
2.5 矩形的旋转对称性矩形具有旋转对称性，即矩形可以绕其重心进行旋转180度而不改变其形状。
证明如下：矩形的对角线是其对称轴，所以矩形可以绕对角线交点进行旋转。
又因为对角线相等，所以可以证明矩形可以绕重心进行旋转180度而不改变其形状。
3. 矩形的相关定理3.1 矩形与正方形正方形是一种特殊的矩形，正方形的四条边相等，对角线相等；矩形是正方形的特殊情况。
矩形面积公式
矩形面积公式一四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a*b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。
矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法如下：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
二一、矩形面积计算公式是怎样的矩形面积的计算公式：(上边+下底)*高/2。
矩形是属于平行四边形的特殊情况，因此在求矩形的面积时，需根据平形四边的面积计算方法。
由于平行四边形的面积是底乘以高，而矩形的上边和下边长度不同，因此需要使用上边加上下底的和除以2，再乘以高。
二、面积是如何计算的1、圆公式给到一个圆形之后，需要先测量出圆的半径r，将其套入圆的公式，即可计算出圆形的面积。
圆面积等于圆周率与圆半径平方的积，用公式表示为：S=π*r²。
2、三角形公式规则的三角形计算公式比较简单，而对于任意的三角形，那么计算起来就有点麻烦了，不过有一个公式，对于所有的三角形都试用，被称为是“海伦公式”，设三角形的三边分别为a、b、c，那么面积S 等于p(p-a)(p-b)(p-c)，且p等于(a+b+c)/2。
3、椭圆公式若是给到一个椭圆形，要计算其的面积，需要计算出椭圆的长半轴以及短半轴，然后将长半轴与短半轴相乘，再将其与圆周率相乘，所得出的结果就是椭圆的面积了。
即椭圆面积S等于πab。
初中数学知识点：矩形的性质
初中数学知识点：矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的
两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点
（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面
看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形
四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相
平分且相等.
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19.1.1矩形的性质(一)
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90°
又∵ 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D， 且 ∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 即矩形的四个角都是直角
A
D
如果
A
D
B
C
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B
C
平行四边形ABCD
边
平行四边形的性质：
角
• 平行四边形的对边平行； • 平行四边形的对边相等； • 平行四边形的对角相等； • 平行四边形的邻角互补；
对角线
• 平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的
性质是 ( C )
A.对角相等； B.对边相等；
C.对角线相等； D.对角线互相平分
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD
相交于点O，若OA=2，则BD的长为( A )
A.4
B .3
C .2
D.1
3.在矩形ABCD中，已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝___1_0___ ㎝ OB=___5____ ㎝
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角是 直角
矩形
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.1 矩形的性质（一）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矩形是特殊的平行四边形
平行 四边形
一个角是 直角
矩形
矩形的定义：
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的性质(基础过关题)
矩形的性质基础过关题一、选择题1. 如图，在矩形中，对角线，交于点A. B.C. D.2. 如图，在矩形A. 是等腰三角形B.C.D. AO=BO=CO=DO3. 如图，矩形的对角线与相交于点，，，则A. B. C. D.4. 如图，矩形中，对角线，相交于点，于，若，则A. B. C. D.二、填空题5. 矩形的性质：（1）矩形的对边；（2）矩形的四个角都是；（3）矩形的对角线；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有条对称轴．6. 矩形的周长为，对角线，相交于点，若与的周长差为，则矩形中较长的边长是．7. 如图，矩形的对角线，的和是，且，则的长度为．8. 如图，矩形的对角线，相交于点，，则9.已知，如图，在矩形ABCD中，∠CDE：∠ADE=3:1求：∠ADE= °；∠CDE= °；∠DOE= °∠EDO= °。
∠DAE= °；∠ODC= °（写出简单的计算过程）10.已知，如图，E,F分别是矩形ABCD对角线AC,BD上的点，且AE=BF求证：BE=CF答案第一部分1. C2. C3. B4. B第二部分5. 平行且相等，直角，相等，【解析】如图所示：四边形是矩形，，，，，，，矩形的周长为，与的周长差为，，得：，，即矩形．7.【解析】本题考查矩形的性质、勾股定理．由题意可知在中，，，根据勾股定理得，即，解得．8.。
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
矩形的性质练习(一)-最新,经典试题,通用
第1题第2题第4题 第6题 第9题 第12题 《18.2.1 矩形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．5cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，EF ⊥AD交AD 于点F ，若EF =3，AE =5，则AD 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角为30°，最短边长为5cm ，则最长边上的中线是（ ）A ．5cmB ．15cmC ．10cmD ．2.5cm4．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =7，BC=10，则△EFM 的周长是（ ）A ．17B ．21C ．24D ．27 5．如图，在矩形ABCD 中，AF ⊥BD 于E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，则图中面积相等但不全等的三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ，OA =3，OC =6，将△ABC沿对角线AC 翻折，使点B 落在点B ′处，AB ′与y 轴交于点D ，则点D的坐标为（ ）A ．（0，-）B ．（0，-）C ．（0，-）D ．（0，-）7.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）8.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）A .B .C .D .9.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A .1.6B .2.5C .3D .3.410.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或2011.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）第5题第13题 第14题 第15题 第16题 第18题 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分且相等12.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF .EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED ．正确的是（ ）A.②③B.③④C.①②④D.②③④13.如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对14. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED 的大小是（ ）A.60°B.50°C.75°D.55°15.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连接CE ，则△CDE 的周长为（ ）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm16.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A.6对B.5对C.4对D.3对17.矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B 、D 两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（ ）A.（1，1）B.（1，﹣1） C .（1，﹣2） D.（，﹣）18.如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）A.600m 2B.551m 2C.550m 2D.500m 2二、填空——知识巩固运用19．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是 .20．长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .21.如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB ＝，21＝OC BC ，求点A ′的坐标为 ．22.在矩形ABCD 中，A （4，1），B （0，1），C （0，3），则点D 的坐标为 ．23.如图，一张矩形纸片沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．第21题 第22题 第24题第23题24.如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小关系为______________．三、解答——知识提高运用25．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF =BD，连接AF，求∠BAF的大小.26．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的.27．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.（1）求证：AF=EF；（2）求EF长．第27题28．八年级（12）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？29.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？30.如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？31.如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？32.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？4.参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D。
16.2.1矩形的性质(1)
16.2.1矩形的性质(1)教学目标：1．知道什么是矩形。
2．掌握矩形的性质，会利用性质解决一些简单的运算。
3、知道矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.复习导学：1． 什么叫平行四边形？有哪些性质？（从边、角、对角线上说）。
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况，即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形 矩形。
情景创设：（ ）你能说说什么叫矩形吗？有一个角是直角的 四边形叫做矩形。
矩形的性质的研究： 我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗? 一、矩形的两组对边分别 二、矩形的两组对边分别三、矩形的两组对角分别四、矩形的两条对角线 五、矩形的邻角问题1： 已知：四边形ABCD 是矩形∠C=90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∠C=90° ∴∠A= = ∠B+∠C=∴∠B=180－∠C=∴∠D= =即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 由此可得矩形的性质1：矩形的四个角都是 。
问题2：矩形是中心对称图形吗？对称中心在哪？矩形是轴对称图形吗？对称轴在哪？有几条？D C B有哪些相等的角和相等的线段？你能得出什么结论？概括：性质2 矩形的对角线 。
试一试：1.已知△ABC 中∠ACB=90°，AD = BD求证：CD =21AB 证明：延长CD 到E 使DE=CD ，连结AE 、BE.∵AD = BD ， DE =CD∴四边形ACBE 是 又∵∠ACB = 90°∴ 是矩形∴CE = AB（ ）由于CD= CE 所以CD = AB2.已知△ABC 是Rt △，∠ABC=900，BD 是斜边AC 上的中线.（1）、若BD=3㎝则AC ＝_______ ㎝（2）、若∠C=30°，AB ＝5㎝，则AC ＝_____㎝，BD ＝______㎝，∠BDC ＝________3.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？做一做：如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线的长是13cm ，那么矩形的周长是多少？课堂小结：1.矩形的定义：2.矩形的性质：3.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.课堂作业：课本P 103练习题2 P 107习题16.2第一题课后反思：AC D。
九年级- 矩形知识点典型例题及练习
矩形一、矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
二、矩形的性质：（1）从边来说，矩形的对边平行且相等；（2）从角来说，矩形的四个角都是直角；（3）从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；（4）从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（5）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。
因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
推论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
（6）矩形内任意一点P到四个顶点的长满足下列关系：22PD22=+（如何论证）PCPA+PB三、矩形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（4）对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（5）每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
主要特点①两条对角线相等；②两条对角线互相平分；③两组对边分别平行；④两组对边分别相等；⑤四个角都是直角；⑥顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；⑦有2条对称轴（正方形有4条）.例题分析例题1 下列迷命题中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.一组邻边相等的平行四边形是矩形例题2 如图1-2-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上一动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 的值为.图1-2-1例题3 如图1-2-2，将一张长方形的纸片ABCD的角C折起到E处，作∠EFB 的平分线HF，则∠HFG的大小为.图1-2-2例题4 如图1-2-3，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边上的F处，若AB=12，BC=13，求FC的长度.图1-2-3例题5 如图1-2-4，在矩形ABCD中，AD>AB，O为两条对角线的交点，过O 作一直线分别交BC，AD于M，N.（1）求证:梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积相等（2）当MN满足什么条件的时候，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点与A点重合？（3）在满足（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是不折叠部分的一半（重叠部分计算一次），求BM：MC的值1-2-4例题6 如图1-2-5，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，MN=BN，且BDMN .则ON与CN 的关系是.1-2-51-2-6例题7 在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BD CE 于E ，若∠DCE ：∠BCE =2：1，BC =6，则∠OCD 的度数为 ，对角线AC 的长为 .例题8 如图1-2-6，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，将矩形ABCD 折叠，使A ，C 两点重合，则折痕EF 的长为 .课堂练习1.直角三角形斜边上的中线等于 ．2.如图1-2-7所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是边AB 上的中线，若∠ADC=70°，则∠ACD= ． 3.四边形ABCD 是矩形，若已知AB=8cm ，AC=10cm ， 则AD= ，矩形的周长＝ ，矩形的面积＝ .4.已知矩形的两边长分别为8和6，则矩形的对角线长为 .5.已知矩形的对角线长为3cm ，一边长为2cm ，则另一边长为 . 60如图1-2-8所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE=2∠BAE ，则∠FAC= ．7.如图1-2-9所示，在四边形ABCD 中，∠BDC=90°，AB ⊥BC 于B ，E 是BC•的中点，•连结AE ，DE ，则AE 与DE 的大小关系是（ ）.图1-2-7图1-2-8图1-2-9图1-2-10图1-2-12图1-2-13A ．AE=DEB ．AE>DEC ．AE<DED ．不能确定 8.在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，则四边形AFCE 为 .9.如图1-2-10所示，矩形AB C D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有（ ）.A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10.如图1-2-11，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD = 120°，AB =2.5cm ，则∠DAO = ，AC = cm ，ABCD S 矩形= .11.如图1-2-12，在矩形ABCD 中，AD =6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE .求AE 的长.12.如图1-2-13，在△ABC 中，AB =AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.图1-2-1113.如图1-2-14，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O .（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中 还存在其他的全等三角形，请你找出来 . （2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 . （3）若AB =6，BC =8，则O 点到BD 的距离是 .14.如图1-2-15所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE =2∠BAE ，则∠F AC = ．15.如图1-2-16所示，矩形ABC D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有 .16.矩形的两邻边差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 .17.如图1-2-17，已知矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE =15°，则∠BOE 的度数为 .EOACBED图1-2-14图1-2-15图1-2-161-2-13ABCDEF图1-2-19F1 32 CBAED A 'F1 32 CBAED A '图1-2-1818.点P 是矩形ABCD 内一点，且P A =3，PB =4，PC =5，则PD = .19 .一个矩形纸片如图1-2-18折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF .（1）找出图中全等的三角形，并证明. （2）重合部分是什么图形？证明你的结论.（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明.20. 如图1-2-19，在矩形ABDC 中，把∠A 沿CF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，若AB ＝a ，AC ＝b ，请你计算 ba的值.21.如图1-2-20，在矩形ABCD 中，已知AD =8，AB =6，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ,PF ⊥AC 于F ，求PE +PF 的值.APDCBOEF图1-2-2022.如图1-2-21，长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的平分线与BC交于点E，EF⊥ED，求EF的长度.A DFB E C图1-2-21。
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燕子砭镇初级中学八年级数学教（学）案
序号：38 授课时间：审核人签名:
（2）总结：矩形的定义：有一个角是__________ 的平行四边形，叫做矩形
（3）、练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？
2）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质。
填写下表：
课堂检测： 1 .填空
(1) 矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 (2) 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30。
，则矩形两条对角线相交所 得的四个角的度数分别为 _________ 、 _______ 、 ________ 、 _______ . (3) 已知矩形的一条对角线长为 10cm,两条对角线的一个交角为 120°,则
矩形的边长分别为 cm , cm
2、 选择 (1) 下列说法错误的是( ).
(A )矩形的对角线互相平分
(C )有一个角是直角的四边形是矩形 叫做矩形
(2) 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有(
(A ) 2 对 (B ) 4 对(C ) 6 对(D ) 8 对 (3) 矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为(). (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 3、 已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 0,/ AOB=0°, AB=4cm 求矩形对角线的长. 4、 已知：如图，矩形ABCD , AB 长8 cm
归纳：“直角三角形斜边上的中线等于
(B )矩形的对角线相等 (D )有一个角是直角的平行四边形 ， cm ， cm 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离 )
.
D。