甘肃省白银市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

甘肃省白银市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()x
f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】
由题可知：0a <，
所以当0x <时，()0f x >， 又()'
x f x e a =+，
令()'
0f x >，则()ln x a >- 令()'
0f
x <，则()ln x a <-
所以函数()f x 在()()
,ln a -∞-单调递减 在()()
ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【点睛】
本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题. 2．已知抛物线C ：2
14
y x =
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若u u u r u u u r
，则AB 为( )
A ．
409
B ．40
C ．16
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C
，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆:和FPM BPD ∆∆:，联立方程组计算得到答案. 【详解】
如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .
2PA AF =u u u r u u u r ，则2433
AC FM ==，
根据APC BPD ∆∆:得到：AP AC
BP BD =，即
4
343
AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆:得到：AF FM BP BD =，即42343
AP BD AP BD +
=++，
解得83AP =，4BD =，故16
3
AB AF BF AC BD =+=+=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．已知实数,x y 满足不等式组10
240440x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则34x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34
x y +的最小值，作3
4
y x =-，平移直线即可求解. 【详解】
作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
的可行域，如图（阴影部分）
令34z x y =+，则344
z y x =-+， 作出3
4
y x =-
，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 4．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则1
2
z z 等于（ ） A ．345
i
+-
B ．
345
i
+ C ．34i -+
D ．
345
i
-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+
所以
()()()1222234
22255
+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
5．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是
A ．13-
B ．
13 C ．12
-
D ．12
【答案】B 【解析】 【分析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=1
3
，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=1
3
．故选B ． 【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 6．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得,13i
23i
z =+,求解即可.
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.
7．已知函数()()2,2
11,2
2x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．13,
8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()2
12212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭
，
由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()2
201221
2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
． 故选：B. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题. 8．若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =-，则sin cos A A -的值为（ ） A
B
． C
．
3
D ．5-3
【答案】A 【解析】
由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2
A π
π∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1
sin cos 03
A A =-<， 又由角A 是三角形的内角，所以(
,)2
A π
π∈，所以sin cos A A >，
因为()2
25sin cos 12sin cos 1()3
3
A A A A -=-=--=
，
所以sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
9．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
通过列举法可求解，如两角分别为2,63
ππ
时
【详解】
当2,36A B ππ
=
=时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63
A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出；
所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 10．已知集合{}2,1,0,1A =--，{
}2
2
*
|,B x x a a N
=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】
解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.
11．已知13313
711
log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】 【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系.
详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，1
3111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，即01b <<， 1
333
17
552
log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
12．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x L 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据
()()()11221010,,,,,,x y x y x y L ，其线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210
010
y y y y ++=L ”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,
④根据点()00,x y 满足回归直线方程，但点()
00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确; ②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据123,,,,n x x x x L 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为224=,故③正确; ④因为点()00,x y 满足回归直线方程，但点()
00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，即
1210010x x x x +++=
L ，1210
010y y y y ++=L 不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当
1210010x x x x +++=L ，1210
010
y y y y ++=L 时，点 ()00,x y 必满足线性回归方程 ˆˆˆy
bx a =+；因此“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210
010y y y y ++=L ”必要不充分条
件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()()()2
02ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值
范围为_________.
【答案】(),16ln 224-∞- 【解析】 【分析】
确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求
()()12f x f x +的取值范围．
【详解】
函数()()2
2ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛
⎫'=-+= ⎪⎝⎭
，
则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>， 所以
()()()()()
22
121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2
222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦
，
令()()2
2ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()212
2a h a a a
-''=
-=
， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<， 所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-. 因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-. 故答案为：(),16ln 224-∞-. 【点睛】
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将
()()
12f x f x +的取值范围转化为以a 为自
变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n
n n n a b a a +=
--，数
列{}n b 的前项和为n T ，则满足2017
2018
n T >的最小正整数n 的值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】
本题先根据公式11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-⎩…
初步找到数列{}n a 的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得m 的值，即可确定数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b 的表达式计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和n T ，再代入不等式2017
2018
n T >进行计算可得最小正整数n 的值． 【详解】
由题意，当1n =时，11
1124a S m m +==+=+．
当2n …
时，11222n n n n n n a S S m m +-=-=+--=． 则4
4216a ==，5522230a -=-=．
15422a a a ∴+-=，即430216m ++=⨯，
解得2m =-．
12a ∴=．
2n n a ∴=，*n N ∈．
∴11
1211
(1)(1)(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b a a +++===-------． 12n n T b b b ∴=++⋯+
12231
111111
212121212121
n n +=
-+-+⋯+------- 11
121n +=--．
Q 20172018n T >，112017
1212018n +∴->-．
即111
212018n +<-，
1212018n +∴->，即122019n +>， 10210242019=<Q ，11220482019=>，
111n ∴+…，即10n …
． ∴满足2017
2018
n T >
的最小正整数n 的值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n 项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．
15．如果函数()()()2
2281f x m x n x =-+-+（m ,n R ∈且2m ≥,0n ≥）在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,
那么mn 的最大值为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可. 【详解】
()f x 在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减,
则80n -<,即08n ≤<, 则016mn ≤<.
②当2m >时, ()()()2
2281f x m x n x =-+-+,
函数开口向上,对称轴为()()288
222
n n x m m --=-
=---, 因为()f x 在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减,
则8
22
n m --
≥-, 因为2m >,则()()822n m --≥-, 整理得212m n +≤, 又因为2m >,0n ≥
则2m n +≥
所以
22
m n
+≥即2
2
2122218
22
m n mn +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤=, 所以18mn ≤
当且仅当3,6m n ==时等号成立. 综上所述,mn 的最大值为18. 故答案为:18 【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.
16．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据已知数据直接计算即得. 【详解】
由题得，9.49.79.810.310.8
105
x ++++=
=.
故答案为：10 【点睛】
本题考查求平均数，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值； (2)
若b =
c a -的取值范围.
【答案】
(2)( 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为
2sin 3C π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=
A B C π++=Q ()sin sin A B C ∴=+
()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=
即2cos sin sin B C C =
()0,C π∈Q sin 0C ∴≠ 1
cos 2
B ∴=
()0,B π∈Q 3
B π∴= 23A
C π
∴+=
2sin sin 23A C B π+⎛⎫
∴+==
⎪⎝⎭
（2）由（1
）知：sin sin
3
B π
==
2sin sin sin 2
a c b
A C B
∴
==== 2sin c C ∴=，2sin a A =
()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C
∴-=-=-+=--
2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛
⎫=-==- ⎪⎝
⎭
23A C π
+=
Q 203
C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭
(
2sin 3C π⎛
⎫∴-∈ ⎪⎝
⎭，即c a -的取值范围为(
【点睛】
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果. 18．已知函数()x f x xe =，ln ()x
g x x
=
. （1）求函数()f x 的极值；
（2）当>0x 时，求证：>()()f x g x . 【答案】 (1) ()f x 的极小值为1
(1)f e
-=-，无极大值.（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）对()x
f x xe =求导，确定函数单调性，得到函数极值.
（2）构造函数2
()ln (0)F x x x x =->，证明()0F x >恒成立，得到
2ln 1x
x
<， 2
2ln ln x x x e xe x x
>
⇒>，得证. 【详解】
（1）由题意知，()(1)x
x
x
f x xe e x e '
=+=+，
令()>0f x '
，得>1x -，令()0f x '<，得1x <-.
则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 所以()f x 的极小值为1
(1)f e
-=-
，无极大值. （2）当0x>时，要证()()f x g x >，即证2ln x
x
e x
>
. 令2
()ln (0)F x x x x =->，则1
()2(0)x x F x x
'
=-
>，
令'()0F x >，得2
x >
，令'()0F x <，得02x <<，
则()F x 在0,
2⎛ ⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以当0x>时，1()ln 0222F x F ⎛≥=-> ⎝⎭
， 所以2ln x x >，即
2ln 1x
x <.因为0x>时，01x e e >=， 所以当0x>时，2
2ln ln x x x e xe x x
>⇒>，
所以当0x>时，不等式()()f x g x >成立. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数2
()ln (0)F x x x x =->是解题的关键.
19．已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一
点,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2
14x y +=；（Ⅱ）2,,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知：由32
PQ QB =u u u r u u u r
，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >u u u u r u u u r
g ，
由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形 2a ∴=，
()20B ∴,，
设()
,Q Q Q x y 由:3:2PQ QB =
得32
PQ QB =u u u r u u u r
则65
45Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y +=
（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y
由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22
1416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆ 即()(
)2
2
16412140k k --⨯⨯+>
得2
34
k >
又122
12216141214k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
⎪=
⎪+⎩
∠Q MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>u u u u r u u u r
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>Q
即(
)2
22121612401414k
k
k k k +-+>++
24k ∴< ②
由①②得
22k <<
或22
k -<<-
故直线l
斜率可取值范围是2,2⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
20．已知函数()2x
f x xe x =-
（1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <- 【解析】 【分析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0
g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可. 【详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x
f x x e f e '=+-=-，
此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--. （2）由已知()22ln x
g x xe x x =--， 故12'()(1)2(1)(1)()x
x
g x x e x e x
x
=+-+=+-. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>， 设2()x
h x e x =-
由于2()x
h x e x
=-在(0,)+∞单调递增 同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞， 故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >， 所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >， 所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值， 故0min 0000()()2(ln )x
g x g x x e x x ==-+
由于0
000000
2
()02ln ln 2x x h x e x e x x x =-
=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21．已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明： （1）()()()21212127a b c +++≥；
（2）
()
()
()
2
2
2
11134
a b c b a c c a b +
+
≤
+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用均值不等式a b c ++≥即可求证； （2）利用()
2
1
4
ab
a b ≤
+，结合1abc =，即可证明. 【详解】
（1）∵211a a a +=++≥21b +≥21c +≥，
∴()()()21212127a b c +++≥=. （2）∵()2
2
2
24a b a ab b ab +=++≥，∴
()
2
14
ab
a b ≤
+. 同理有
()
2
14ac
a c ≤
+，
()21
4bc b c ≤+. ∴
()()()2
2
2
1
1
1a b c b a c c a b +
+
+++
()()()
2
2
2abc abc abc a b c b a c c a b =
+
+
+++
()
()
()
2
2
2
bc
ac
ab
b c a c a b =+
+
+++
11134444
≤
++=. 【点睛】
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.
22．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .
（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】 【分析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；
（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积. 【详解】
（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，
又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，
因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，
由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO = 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形， 所以11111
23348333
A BCC
B V OA B
C B B -=
⨯⨯⨯=⨯⨯=
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.
23．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ(单位：元)，求ξ的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
【答案】（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】
【分析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出ξ的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为
1
+++++++++=.
(410390330360320400330340370350)360
10
众数为330.
（2）设乙公司员工B1天的投递件数为随机变量X，则
当340X =时，13400.6204,(204)10
P ξξ=⨯===
当360X =时，33500.6(360350)0.9219,(219)10P ξξ=⨯+-⨯=== 当370X =时，1
3500.6(370350)0.9228,(228)5P ξξ=⨯+-⨯===
当420X =时，3
3500.6(420350)0.9273,(273)10P ξξ=⨯+-⨯===
当440X =时，1
3500.6(440350)0.9291,(291)10
P ξξ=⨯+-⨯===
ξ∴的分布列为
()204219228273291242.7101051010
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
360300.657020⨯⨯=(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
242.7307281⨯=(元).
【点睛】
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.。